Algebraisk stack

I matematik är en algebraisk stack en stor generalisering av algebraiska utrymmen , eller scheman , som är grundläggande för att studera modulteori . Många modulrum är konstruerade med tekniker som är specifika för algebraiska stackar, såsom Artins representabilitetssats , som används för att konstruera modulutrymmet för spetsiga algebraiska kurvor ${\mathcal {M}}_{g,n}$ och modulstapeln av elliptiska kurvor . Ursprungligen introducerades de av Grothendieck för att hålla reda på automorfismer på modulutrymmen, en teknik som gör det möjligt att behandla dessa modulutrymmen som om deras underliggande scheman eller algebraiska utrymmen är jämna . Men genom många generaliseringar upptäcktes begreppet algebraiska stackar till slut av Michael Artin .

Definition

Motivering

Ett av de motiverande exemplen på en algebraisk stack är att överväga ett groupoidschema $(R,U,s,t,m)$ över ett fast schema $S$ . Till exempel, om ${\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}} ($ där ${\ displaystyle \mu _{n}}$ är gruppschemat för enhetsrötter), $U=\mathbb {A} _{S}^{n}$ , $s={\text{pr}}_{U}$ är projektionskartan, $t$ är gruppåtgärden

$\zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n} )=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})$

och $m$ är multiplikationskartan

$m:(\mu _{n}\ gånger _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\ mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{ n}$

på $\mu _{n}$ . Sedan, givet ett $S$ -schema $\pi :X\to S$ , gruppoidschemat ${ \displaystyle (R(X),U(X),s,t,m)}$ bildar en groupoid (där $R,U$ är deras associerade funktorer). Dessutom är denna konstruktion funktionell på $(\mathrm {Sch} /S)$ bildar en kontravariant 2-

$(R(-),U(-),s,t,m): (\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}$

där ${\text{Cat}}$ är 2-kategorin av små kategorier . Ett annat sätt att se detta är som en fiberkategori $[U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)$ genom Grothendieck-konstruktionen . Att få de korrekta tekniska förhållandena, såsom Grothendieck-topologin på ${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)} ,$ ger definitionen av en algebraisk stack. Till exempel, i den associerade groupoiden av $k$ -punkter för ett fält $k$ , över ursprungsobjektet $0\in \mathbb {A} _{ S}^{n}(k)$ det finns gruppoiden för automorfismer $\mu _{n}(k)$ . Observera att för att få en algebraisk stack från $[U/R]} ,$$] {\displaystyle [U/R ]}$ och inte bara en stack, krävs ytterligare tekniska hypoteser för .

Algebraiska stackar

Det visar sig att använda fppf-topologin (troget platt och lokalt av ändlig presentation) på $(\mathrm {Sch} /S)$ , betecknad ${\displaystyle (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}} ,$ utgör grunden för att definiera algebraiska stackar. Sedan är en algebraisk stack en fiberkategori

$p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$

Så att

1. ${\mathcal {X}}$ är en kategori som består av groupoids , vilket betyder att överkategorin för vissa $\pi :X\to S$ är en groupoid
2. Diagonalkartan ${\displaystyle \Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}} av$ fiberkategorier representeras som algebraiska rum
3. Det finns ett $fppf$ -schema $U\to S$ och en tillhörande 1-morfism av fiberkategorier ${\mathcal {U}}\to {\ mathcal {X}}$ som är surjektiv och smidig kallas en atlas .

Förklaring av tekniska förhållanden

Använder fppf-topologin

Först och främst används fppf-topologin eftersom den beter sig bra med avseende på nedstigning . Till exempel, om det finns scheman $X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)$ och $X\to Y$ kan förfinas till ett fppf-omslag av $Y$ , om $X$ är platt, lokalt ändlig typ eller lokalt av ändlig presentation, så har ${\displaystyle Y} detta$ fast egendom. denna typ av idé kan utökas ytterligare genom att betrakta egenskaper som är lokala antingen på målet eller källan till en morfism $f:X\to Y$ . För ett omslag $\{X_{i}\to X\}_{i\in I}$ säger vi en egenskap ${\mathcal {P}}$ är lokal på källan om

$f:X\to Y$ har ${\mathcal {P}}$ om och endast om varje $X_{i}\to Y$ har ${\mathcal {P}}$ .

Det finns en analog uppfattning om målet som kallas lokal på målet . Detta betyder att ges ett omslag $\{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}$

$f:X\to Y$ har ${\mathcal {P}}$ om och endast om varje $X\times _{Y }Y_{i}\to Y_{i}$ har ${\mathcal {P}}$ .

För fppf-topologin är att ha en nedsänkning lokalt på målet. Förutom de tidigare egenskaperna lokalt på källan för fppf-topologin, $f$ som är universellt öppen också lokal på källan. Att vara lokalt Noetherian och Jacobson är också lokala på källan och målet för fppf-topologin. Detta håller inte i fpqc-topologin, vilket gör att den inte är lika "snäll" när det gäller tekniska egenskaper. Även om detta är sant, har användning av algebraiska stackar över fpqc-topologin fortfarande sin användning, till exempel i kromatisk homotopi-teori . Detta beror på att Moduli-stacken av formella grupplagar ${\mathcal {M}}_{fg}$ en fpqc-algebraisk stack ^{pg 40} .

Representativ diagonal

Per definition är en 1-morfism $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ av kategorier fiberformade i groupoider representerad med algebraiska mellanslag om för någon fppf-morfism $U\to S$ av scheman och eventuell 1-morfism $y:(Sch/U)_{fppf}\to {\ mathcal {Y}}$ , den associerade kategorin fiberformad i groupoider

$(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$

kan representeras som ett algebraiskt utrymme , vilket betyder att det finns ett algebraiskt utrymme

$F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$

så att den tillhörande fiberkategorin $\displaystyle {\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}} är$$(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$ med . Det finns ett antal ekvivalenta villkor för representativiteten av diagonalen som hjälper till att ge intuition för detta tekniska tillstånd, men en av huvudmotiveringarna är följande: för ett schema $U$ och objekt ${\displaystyle x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})} kärven Isom ⁡ ($ x $operatorname {Isom} (x,y) }$ representeras som ett algebraiskt utrymme. Speciellt stabilisatorgruppen för valfri punkt på stacken $x:\operatörsnamn {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{ \operatorname {Spec} (k)}$ kan representeras som ett algebraiskt mellanslag. En annan viktig motsvarighet till att ha en representativ diagonal är det tekniska villkoret att skärningen av två algebraiska utrymmen i en algebraisk stack är ett algebraiskt utrymme. Omformulerad med fiberprodukter

${\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\ matematisk {X}}\end{matris}}$

diagonalens representabilitet är ekvivalent med att $Y\to {\mathcal {X}}$ är representerbar för ett algebraiskt rymd $Y$ . Detta beror på att givna morfismer $Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}$ från algebraiska utrymmen, de sträcker sig till kartor ${\ displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}$ från diagonalkartan. Det finns ett analogt uttalande för algebraiska utrymmen som ger representabilitet av en bunt på $(F/S)_{fppf}$ som ett algebraiskt utrymme.

Observera att ett analogt villkor för representativitet av diagonalen gäller för vissa formuleringar av högre stackar där fiberprodukten är en $(n-1)$ -stack för en $n$ -stack ${\mathcal {X}}$ .

Surjektiv och slät atlas

2-Yoneda lemma

Förekomsten av ett $fppf$ -schema $U\to S$ och en 1-morfism av fiberkategorier ${\mathcal {U}}\to {\ mathcal {X}}$ som är surjektiv och smidig beror på att definiera en jämn och surjektiv morfismer av fibrerade kategorier. Här ${\mathcal {U}}$ den algebraiska stacken från den representerbara funktorn $h_{U}$ på $h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$ uppgraderad till en kategori fiberformad i groupoider där kategorierna endast har triviala morfismer. Detta betyder uppsättningen

$h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{ fppf}}(T,U)$

betraktas som en kategori, betecknad $h_{\mathcal {U}}(T)$ , med objekt i $h_{U}(T)$ som $fppf$ morfismer

$f:T\to U$

och morfismer är identitetsmorfismen. Därav

$h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op }\to Groupoids$

är en 2-funktion av groupoids. Att visa att denna 2-funktion är en kärve är innehållet i 2-Yoneda-lemmat. Genom att använda Grothendieck-konstruktionen finns det en associerad kategori som består av gruppoider betecknade ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ .

Representativa morfismer av kategorier fibrerade i groupoider

För att säga att denna morfism ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ är jämn eller surjektiv, måste vi introducera representativa morfismer. En morfism $p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ av kategorier fiberformade i groupoider över $( Sch/S)_{fppf}$ sägs vara representerbar om det ges ett objekt $T\to S$ i $(Sch/S)_ {fppf}$ och ett objekt $t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})$ den 2-fibriga produkten

$(Sch/T)_{fppf}\ gånger _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}} _{T}$

representeras av ett schema. Sedan kan vi säga att morfismen för kategorier som finns i gruppoider $p$ är jämn och surjektiv om den associerade morfismen

$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}$

av scheman är smidig och surjektiv.

Deligne-Mumford stackar

Algebraiska stackar, även kända som Artin stackar , är per definition utrustade med en jämn surjektiv atlas ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}} ,$ där ${\mathcal {U}}$ är stacken som är kopplad till något schema $U\to S$ . Om atlasen ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ dessutom är étale, så sägs ${\mathcal {X}}$ vara en Deligne- Mumford stack . Underklassen av Deligne-Mumford-stackar är användbar eftersom den ger den korrekta inställningen för många naturliga stackar, som modulstacken av algebraiska kurvor . Dessutom är de tillräckligt strikta för att objekt som representeras av punkter i Deligne-Mumford-stackar inte har oändliga automorfismer . Detta är mycket viktigt eftersom oändliga automorfismer gör det mycket svårt att studera deformationsteorin för Artin stackar. Till exempel, deformationsteorin för Artin-stacken $BGL_{n}=[*/GL_{n}]$ , modulstapeln av rang $n$ vektorbuntar, har infinitesimala automorfismer som delvis kontrolleras av Lie-algebra ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Detta leder till en oändlig sekvens av deformationer och hinder i allmänhet, vilket är en av motiven för att studera moduler av stabila buntar. Endast i specialfallet med deformationsteorin för linjebuntar $[*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m} ]$ är deformationsteorin som kan användas, eftersom den associerade Lie-algebra är abelisk .

Observera att många stackar inte naturligt kan representeras som Deligne-Mumford-stackar eftersom det bara tillåter finita omslag, eller algebraiska stackar med ändliga omslag. Observera att eftersom varje Etale-omslag är platt och lokalt av ändlig presentation, subsumerar algebraiska stackar definierade med fppf-topologin denna teori; men det är fortfarande användbart eftersom många stackar som finns i naturen är av denna form, såsom modulerna för kurvorna ${\mathcal {M}}_{g}$ . Den differentialgeometriska analogen av sådana staplar kallas också orbifolds . Etale-villkoret innebär 2-funktion

$B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat} }$

skicka ett schema till dess groupoid av $\mu _{n}$ - torsorer kan representeras som en stack över Etale-topologin, men Picard-stacken $B\mathbb {G} _{ m}$ av $\mathbb {G} _{m}$ -torsorer (motsvarande kategorin linjebuntar) kan inte representeras. Staplar av denna form kan representeras som staplar över fppf-topologin. Ett annat skäl till att överväga fppf-topologin kontra etale-topologin är över karakteristiska $p$ Kummer-sekvensen

$0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0$

är exakt endast som en sekvens av fppf-kärvar, men inte som en sekvens av etale-kärvar.

Definiera algebraiska stackar över andra topologier

Genom att använda andra Grothendieck-topologier på $(F/S)$ alternativa teorier om algebraiska stackar som antingen inte är tillräckligt generella eller inte beter sig bra med avseende på utbyte av egenskaper från basen av ett omslag till det totala utrymmet för ett lock. Det är användbart att komma ihåg att det finns följande generaliseringshierarki

${\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\ text{Zariski}}$

av stora topologier på $(F/S)$ .

Strukturkärve

Strukturbunten för en algebraisk stack är ett objekt som dras tillbaka från en universell strukturbunt ${\mathcal {O}}$ på platsen $(Sch/S )_{fppf}$ . Denna universella struktur kärve definieras som

${\mathcal {O}}:(Sch/S) _{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ där }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$

och den tillhörande strukturen på en kategori fibrerad i groupoider

$p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}$

är definierad som

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}$

där $p^{-1}$ kommer från kartan över Grothendieck-topologier. Detta betyder särskilt att $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})$ ligger över $U$ , så $p(x)=U$ , sedan ${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$ . Som en förnuftskontroll är det värt att jämföra detta med en kategori som består av gruppoider som kommer från ett $S$ -schema $X$ för olika topologier. Till exempel om

$({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{ \mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})$

är en kategori som består av gruppoider över ${\displaystyle (Sch/S)_{fppf}} ,$ för ett öppet delschema ${\displaystyle U\to X$ ger

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{ X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$

så denna definition återställer den klassiska strukturen på ett schema. Dessutom, för en kvotstack ${\displaystyle {\mathcal {X}}=[X/G]} ,$ ger strukturblocket bara de $G$ -invarianta sektionerna

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\ mathcal {O}}_{X})^{G}$

för $u:U\to X$ in $(Sch/S)_{fppf}$ .

Exempel

Klassificering av högar

Se även: Quotient stack

Många klassificerande stackar för algebraiska grupper är algebraiska stackar. Faktum är att för ett algebraiskt grupputrymme $G$ över ett schema ${\displaystyle S} som är platt med ändlig presentation,$ är stacken ${\displaystyle BG} algebraisk$ ^{sats 6.1} .

Se även

• Gerbe
• Chow grupp av en stack
• Kohomologi av en stack
• Quotient stack
• Kärve på en algebraisk stack
• Torisk stack
• Artins kriterium
• Jagar stackar
• Härledd algebraisk geometri

externa länkar

Artins axiom

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Titta på "Axioms" och "Algebraic stacks"
• Artin Algebraization and Quotient Stacks - Jarod Alper

Papper

•   Alper, Jarod (2009). "En guide till litteraturen om algebraiska staplar" (PDF) . S2CID 51803452 . Arkiverad från originalet (PDF) 2020-02-13. {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
•   Hall, Jack; Rydh, David (2014). "Hilbertstacken" . Framsteg i matematik . 253 : 194–233. arXiv : 1011.5484 . doi : 10.1016/j.aim.2013.12.002 . S2CID 55936583 .
•   Behrend, Kai A. (2003). "Härledda ℓ-Adic-kategorier för algebraiska staplar" (PDF) . Memoars of the American Mathematical Society . 163 (774): 1–93. doi : 10.1090/memo/0774 . ISBN 978-1-4704-0372-0 .

Ansökningar

• Lafforgue, Vincent (2014). "Introduktion till chtoucas för reduktiva grupper och till den globala Langlands-parametriseringen". arXiv : 1404.6416 [ math.AG ].
•   Deligne, P.; Rapoport, M. (1973). "Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques". Modulära funktioner för en variabel II . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 349. s. 143–316. doi : 10.1007/978-3-540-37855-6_4 . ISBN 978-3-540-06558-6 .
• Knudsen, Finn F. (1983). "Projektiviteten för modulutrymmet för stabila kurvor, II: Staplarna ${\mathcal {M}}_{g,n}$ " . Mathematica Scandinavica . 52 : 161. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 .
• Jiang, Yunfeng (2019). "Om konstruktionen av modulstapel av projektiva Higgs-buntar över ytor". arXiv : 1911.00250 [ math.AG ].

Mathoverflow-trådar

• Tillfredsställer algebraiska stackar fpqc härkomst?
• Staplar i fpqc-topologin
• fpqc täcker av stackar

Övrig

• Exempel på stackar
• Anteckningar om Grothendieck-topologier, fiberkategorier och härkomstteori
• Anteckningar om algebraiska stackar