Krull–Schmidts sats

Inom matematiken säger Krull -Schmidt-satsen att en grupp som utsätts för vissa ändlighetsvillkor på kedjor av undergrupper , kan skrivas unikt som en ändlig direkt produkt av oupplösliga undergrupper.

Definitioner

Vi säger att en grupp G uppfyller stigande kedjevillkor (ACC) på undergrupper om varje sekvens av undergrupper av G :

1=G_{0}\leq G_{1}\leq G_{2}\leq \cdots \,

är slutligen konstant, dvs det finns N så att G _N = G _{N +1} = G _{N +2} = ... . Vi säger att G uppfyller ACC för normala undergrupper om varje sådan sekvens av normala undergrupper av G till slut blir konstant.

På samma sätt kan man definiera det fallande kedjevillkoret på (normala) undergrupper, genom att titta på alla minskande sekvenser av (normala) undergrupper:

G=G_{0}\geq G_{1}\geq G_{2}\geq \cdots .\,

Uppenbarligen uppfyller alla finita grupper både ACC och DCC på undergrupper. Den oändliga cykliska gruppen $\mathbf {Z}$ uppfyller ACC men inte DCC, eftersom (2) > (2) ² > (2) ³ > ... är en oändligt minskande sekvens av undergrupper. Å andra sidan uppfyller $p^{\infty }$ -torsionsdelen av $\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$ (den kvasicykliska p -gruppen ) DCC men inte ACC.

Vi säger att en grupp G är oupplöslig om den inte kan skrivas som en direkt produkt av icke-triviala undergrupper G = H × K .

Påstående

Om $G$ är en grupp som uppfyller antingen ACC eller DCC på normala undergrupper, så finns det exakt ett sätt att skriva $G$ som en direkt produkt ${\ displaystyle G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{k}\,}$ av ändligt många oupplösliga undergrupper av $G$ . Här innebär unikhet att direkta nedbrytningar till oupplösliga undergrupper har utbytesegenskapen. Det vill säga: anta att $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ är ett annat uttryck för $G$ som en produkt av oupplösliga undergrupper. Då $k=l$ och det sker en omindexering av $H_{i}$ som uppfyller

$G_{i}$ och $H_{i}$ isomorfa för varje $i$ ;
$G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ för varje $r$ .

Bevis

Att bevisa existens är relativt enkelt: låt $S$ vara mängden av alla normala undergrupper som inte kan skrivas som en produkt av oupplösliga undergrupper. Dessutom är varje oupplöslig undergrupp (trivialt) den enterm direkta produkten av sig själv, och därför nedbrytbar. Om Krull-Schmidt misslyckas, så innehåller $S$ $G$ ; så vi kan iterativt konstruera en fallande serie av direkta faktorer; detta motsäger DCC. Man kan sedan invertera konstruktionen för att visa att alla direkta faktorer av $G$ framträder på detta sätt.

Beviset på unikhet är å andra sidan ganska långt och kräver en sekvens av tekniska lemman. För en fullständig utställning, se.

Anmärkning

Satsen hävdar inte att det finns en icke-trivial sönderdelning, utan bara att alla sådana två sönderdelningar (om de finns) är desamma.

Remak sönderdelning

En Remak-nedbrytning , introducerad av Robert Remak , är en nedbrytning av en abelisk grupp eller liknande föremål till en finit direkt summa av oupplösliga föremål. Krull–Schmidt-satsen ger förutsättningar för att en Remak-nedbrytning ska existera och för att dess faktorer ska vara unika.

Krull–Schmidts teorem för moduler

Om $E\neq 0$ är en modul som uppfyller ACC och DCC på undermoduler (det vill säga den är både Noetherian och Artinian eller – på motsvarande sätt – av finit längd ), så är ${\displaystyle E} en$ direkt summa av oupplösliga moduler . Upp till en permutation är de oupplösliga komponenterna i en sådan direkt summa unikt bestämda upp till isomorfism.

I allmänhet misslyckas satsen om man bara antar att modulen är Noetherian eller Artinian.

Historia

Den nuvarande Krull-Schmidt-satsen bevisades först av Joseph Wedderburn ( Ann. of Math (1909)), för ändliga grupper, även om han nämner att en del krediter beror på en tidigare studie av GA Miller där direkta produkter från abelska grupper ansågs . Wedderburns teorem anges som en utbytesegenskap mellan direkta nedbrytningar av maximal längd. Wedderburns bevis gör dock ingen användning av automorfismer.

Avhandlingen av Robert Remak (1911) härledde samma unika resultat som Wedderburn men bevisade också (i modern terminologi) att gruppen av centrala automorfismer agerar transitivt på uppsättningen av direkta nedbrytningar av maximal längd av en ändlig grupp. Från det starkare teorem visade Remak också olika följder inklusive att grupper med ett trivialt centrum och perfekta grupper har en unik Remak-upplösning .

Otto Schmidt ( Sur les produits directs, SMF Bull. 41 (1913), 161–164), förenklade Remaks huvudsatser till föregångaren på tre sidor till dagens läroboksbevis. Hans metod förbättrar Remaks användning av idempotenter för att skapa lämpliga centrala automorfismer. Både Remak och Schmidt publicerade efterföljande bevis och följder till sina satser.

Wolfgang Krull ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, MZ 23 (1925) 161–196), återvände till GA Millers ursprungliga problem med direkta produkter från abelska grupper genom att utvidga till abelska operatörsgrupper med stigande och fallande kedjeförhållanden. Detta anges oftast på modulernas språk. Hans bevis observerar att de idempotenter som används i bevisen av Remak och Schmidt kan begränsas till modulhomomorfismer; de återstående detaljerna i beviset är i stort sett oförändrade.

O. Ore förenade bevisen från olika kategorier inkluderar finita grupper, abelska operatorgrupper, ringar och algebror genom att bevisa att Wedderburns utbytessats gäller för modulära gitter med fallande och stigande kedjeförhållanden. Detta bevis använder sig inte av idempotenter och motbevisar inte transitiviteten hos Remaks satser.

Kuroshs The Theory of Groups och Zassenhaus The Theory of Groups inkluderar bevisen för Schmidt och Ore under namnet Remak–Schmidt men erkänner Wedderburn och Ore. Senare texter använder titeln Krull–Schmidt ( Hungerfords algebra) och Krull–Schmidt – Azumaya (Curtis–Reiner). Namnet Krull–Schmidt ersätts nu populärt för alla teorem om unika direkta produkter av maximal storlek. Vissa författare väljer att kalla direkta nedbrytningar av maximal storlek för Remak-nedbrytningar för att hedra hans bidrag.

Se även

Krull–Schmidt kategori

^ Thomas W. Hungerford (6 december 2012). Algebra . Springer Science & Business Media. sid. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8 .
^ Hungerford 2012, s.86-8.
^ Remak, Robert (1911), "Über die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzerlegbare Faktoren" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (på tyska), 139 : 293–308, doi : 10.1515/crll.1911.139.293 , ISSN . 0075-4102 , JFM 42.0156.01
^ Jacobson, Nathan (2009). Grundläggande algebra . Vol. 2 (andra upplagan). Dover. sid. 115. ISBN 978-0-486-47187-7 .
^ Facchini, Alberto; Herbera, Dolors; Levy, Lawrence S.; Vámos, Peter (1 december 1995). "Krull-Schmidt misslyckas för Artinian-moduler" . Proceedings of the American Mathematical Society . 123 (12): 3587. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .

Vidare läsning

A. Facchini: Modulteori. Endomorfismringar och direkta summanedbrytningar i vissa klasser av moduler. Progress in Mathematics, 167. Birkhäuser Verlag, Basel, 1998. ISBN 3-7643-5908-0
CM Ringel: Krull–Remak–Schmidt misslyckas för Artinian-moduler över lokala ringar. Algebr. Representera. Teori 4 (2001), nr. 1, 77–86.

externa länkar

Sida på PlanetMath

[Hungerford2012-1] Thomas W. Hungerford (6 december 2012). Algebra . Springer Science & Business Media. sid. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8 .

[2] Hungerford 2012, s.86-8.

[3] Remak, Robert (1911), "Über die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzerlegbare Faktoren" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (på tyska), 139 : 293–308, doi : 10.1515/crll.1911.139.293 , ISSN . 0075-4102 , JFM 42.0156.01

[4] Jacobson, Nathan (2009). Grundläggande algebra . Vol. 2 (andra upplagan). Dover. sid. 115. ISBN 978-0-486-47187-7 .

[5] Facchini, Alberto; Herbera, Dolors; Levy, Lawrence S.; Vámos, Peter (1 december 1995). "Krull-Schmidt misslyckas för Artinian-moduler" . Proceedings of the American Mathematical Society . 123 (12): 3587. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .