Kompositionsserie

I abstrakt algebra ger en kompositionsserie ett sätt att bryta upp en algebraisk struktur , till exempel en grupp eller en modul , i enkla delar. Behovet av att överväga kompositionsserier i samband med moduler uppstår från det faktum att många naturligt förekommande moduler inte är semisenkla och därför inte kan dekomponeras i en direkt summa av enkla moduler . En sammansättningsserie av en modul M är en ändligt ökande filtrering av M av submoduler så att de successiva kvoterna är enkla och tjänar som en ersättning för den direkta summanedbrytningen av M till dess enkla beståndsdelar.

En kompositionsserie kanske inte existerar, och när den gör det behöver den inte vara unik. Icke desto mindre hävdar en grupp av resultat kända under det allmänna namnet Jordan-Hölder-satsen att närhelst kompositionsserier existerar, är isomorfismklasserna av enkla bitar (även om de kanske inte är placerade i kompositionsserien i fråga) och deras mångfald unikt bestämda. Kompositionsserier kan alltså användas för att definiera invarianter av finita grupper och artinska moduler .

Ett relaterat men distinkt koncept är en huvudserie : en kompositionsserie är en maximal subnormal serie , medan en chefserie är en maximal normalserie .

För grupper

Om en grupp G har en normal undergrupp N , kan faktorgruppen G / N bildas, och vissa aspekter av studiet av strukturen hos G kan brytas ner genom att studera de "mindre" grupperna G/N och N. Om G inte har någon normal undergrupp som skiljer sig från G och från triviagruppen, så är G en enkel grupp . Annars uppstår naturligtvis frågan om G kan reduceras till enkla "bitar", och om så är fallet, finns det några unika drag på sättet detta kan göras på?

Mer formellt är en sammansättningsserie av en grupp G en subnormal serie med ändlig längd

$1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,$

med strikta inneslutningar, så att varje _Hi är en maximal normal undergrupp av Hi _{+ 1} . _{+1 På motsvarande sätt är en sammansättningsserie en} subnormal serie så att varje faktorgrupp Hi / Hi är _enkel . Faktorgrupperna kallas sammansättningsfaktorer .

En subnormal serie är en kompositionsserie om och endast om den är av maximal längd. Det vill säga, det finns inga ytterligare undergrupper som kan "sättas in" i en kompositionsserie. Längden n av serien kallas kompositionslängden .

Om en kompositionsserie existerar för en grupp G , så kan vilken subnormal serie av G som helst förfinas till en kompositionsserie, informellt, genom att infoga undergrupper i serien upp till maximalitet. Varje finit grupp har en kompositionsserie, men inte varje oändlig grupp har en. Till exempel $\mathbb {Z}$ ingen kompositionsserie.

Unikhet: Jordan–Hölders teorem

En grupp kan ha mer än en kompositionsserie. Jordan–Hölder-satsen (uppkallad efter Camille Jordan och Otto Hölder ) säger dock att två kompositionsserier av en given grupp är ekvivalenta. Det vill säga att de har samma sammansättningslängd och samma sammansättningsfaktorer, upp till permutation och isomorfism . Denna sats kan bevisas med Schreiers förfiningsteorem . Jordan–Hölder-satsen är också sant för transfinita stigande kompositionsserier, men inte transfinita fallande kompositionsserier ( Birkhoff 1934) . Baumslag (2006) ger ett kort bevis på Jordan–Hölder-satsen genom att skära termerna i en subnormal serie med termerna i den andra serien.

Exempel

För en cyklisk grupp av ordning n motsvarar sammansättningsserier ordnade primtalsfaktoriseringar av n , och ger faktiskt ett bevis för aritmetikens grundsats .

har den cykliska gruppen $C_{12}$$C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},$ och $C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}$ som tre olika kompositionsserier. Sekvenserna av sammansättningsfaktorer som erhålls i respektive fall är $}$$C_{2},C_{3},C_{2},\ \, C_{2},C_{2$$C_{3},C_{2},C_{2}.$ och

För moduler

Se även: Längd på en modul

Definitionen av sammansättningsserier för moduler begränsar all uppmärksamhet till undermoduler och ignorerar alla additiva undergrupper som inte är undermoduler. Givet en ring R och en R -modul M är en sammansättningsserie för M en serie undermoduler

$\{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M$

där alla inneslutningar är strikta och Jk är en maximal submodul av Jk _{. +1 för} varje k När det gäller grupper, om M har en kompositionsserie överhuvudtaget, så kan vilken ändlig strikt ökande serie av submoduler av M som helst förfinas till en kompositionsserie, och vilka två kompositionsserier som helst för M är ekvivalenta. I så fall är de (enkla) kvotmodulerna Jk _{- +1} / Jk kända som sammansättningsfaktorerna för M, och Jordan–Hölder satsen gäller, vilket säkerställer att antalet förekomster av varje isomorfismtyp av enkel _R -modul som en kompositionsfaktor beror inte på valet av kompositionsserie.

Det är välkänt att en modul har en finit sammansättningsserie om och bara om den är både en artinisk modul och en noeterisk modul . Om R är en artinisk ring , så är varje finit genererad R -modul artinisk och noeterisk, och har således en finit sammansättningsserie. Speciellt, för vilket fält K som helst , har varje änddimensionell modul för en änddimensionell algebra över K en sammansättningsserie, unik upp till ekvivalens.

Generalisering

Grupper med en uppsättning operatörer generaliserar gruppåtgärder och ringåtgärder på en grupp. Ett enhetligt förhållningssätt till både grupper och moduler kan följas som i ( Bourbaki 1974 , kap. 1) eller ( Isaacs 1994 , kap. 10), vilket förenklar en del av utläggningen. Gruppen G ses som påverkad av element (operatorer) från en mängd Ω. Uppmärksamheten är helt begränsad till undergrupper som är oföränderliga under verkan av element från Ω, kallade Ω-undergrupper. Således måste Ω-sammansättningsserier endast använda Ω-undergrupper, och Ω-sammansättningsfaktorer behöver bara vara Ω-enkla. Standardresultaten ovan, såsom Jordan–Hölder-satsen, är etablerade med nästan identiska bevis.

De specialfall som återvinns inkluderar när Ω = G så att G verkar på sig själv. Ett viktigt exempel på detta är när element i G verkar genom konjugation, så att uppsättningen av operatorer består av de inre automorfismerna . En kompositionsserie under denna handling är precis en chefsserie . Modulstrukturer är ett fall av Ω-aktioner där Ω är en ring och några ytterligare axiom är uppfyllda.

För objekt i en abelsk kategori

En sammansättningsserie av ett objekt A i en abelsk kategori är en sekvens av subobjekt

$A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0$

så att varje kvotobjekt X _i / X _{i + 1} är enkelt (för 0 ≤ i < n ). Om A har en sammansättningsserie beror heltal n bara på A och kallas längden av A .

Se även

• Krohn–Rhodes teori , en semigruppanalog
• Schreier förfining teorem , två ekvivalenta subnormala serier har ekvivalenta sammansättningsserieförfinningar
• Zassenhaus lemma , som används för att bevisa Schreiers förfiningsteorem

Anteckningar

• Birkhoff, Garrett (1934), "Transfinite subgroup series" , Bulletin of the American Mathematical Society , 40 (12): 847–850, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
• Baumslag, Benjamin (2006), "A simple way of proving the Jordan-Hölder-Schreier theorem", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307/27642092
• Bourbaki, N. (1974), Algebra , Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
•   Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course , Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Kategorier och kärvar