Gratis produkt

Inom matematik , närmare bestämt gruppteori , är den fria produkten en operation som tar två grupp G ∗ H. grupper G och H och konstruerar en ny Resultatet innehåller både G och H som undergrupper , genereras av elementen i dessa undergrupper och är den " universella " gruppen som har dessa egenskaper, i den meningen att två homomorfier från G och H till en grupp K -faktor unikt genom en homomorfism från G ∗ H till K . Om inte en av grupperna G och H är trivial, är den fria produkten alltid oändlig. Konstruktionen av en fri produkt liknar till sin anda konstruktionen av en fri grupp (den universella gruppen med en given uppsättning generatorer).

Den kostnadsfria produkten är samprodukten i kategorin grupper . Det vill säga, den fria produkten spelar samma roll i gruppteorin som disjunkt union spelar i mängdteorin , eller som den direkta summan spelar i modulteorin . Även om grupperna är kommutativa är deras gratis produkt inte det, såvida inte en av de två grupperna är den triviala gruppen . Därför är den fria produkten inte biprodukten i kategorin abelska grupper .

Den fria produkten är viktig i algebraisk topologi på grund av van Kampens teorem , som säger att den fundamentala gruppen av föreningen av två väganslutna topologiska rum vars skärningspunkt också är vägbunden alltid är en amalgamerad fri produkt av rummens fundamentala grupper . I synnerhet är grundgruppen av kilsumman av två utrymmen (dvs utrymmet som erhålls genom att sammanfoga två utrymmen i en enda punkt) helt enkelt den fria produkten av utrymmenas fundamentala grupper.

Gratis produkter är också viktiga i Bass-Serre-teorin , studiet av grupper som verkar genom automorfismer på träd . Specifikt kan vilken grupp som helst som verkar med finita vertexstabilisatorer på ett träd konstrueras från finita grupper med användning av amalgamerade fria produkter och HNN-förlängningar . Genom att använda den modulära gruppens verkan på en viss tessellation av det hyperboliska planet , följer det av denna teori att den modulära gruppen är isomorf till den fria produkten av cykliska grupper av ordning 4 och 6 sammanslagna över en cyklisk grupp av ordning 2.

Konstruktion

Om G och H är grupper är ett ord i G och H en produkt av formen

s_{1}s_{2}\cdots s_{n},

där varje s _i är antingen ett element av G eller ett element av H . Ett sådant ord kan reduceras med följande operationer:

Ta bort en instans av identitetselementet (av antingen G eller H ).
Ersätt ett par av formen g ₁ g ₂ med dess produkt i G , eller ett par h ₁ h ₂ med dess produkt i H .

Varje reducerat ord är en alternerande produkt av element av G och element av H , t.ex

g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.

Den fria produkten G ∗ H är gruppen vars element är de reducerade orden i G och H , under operationen sammanlänkning följt av reduktion.

Till exempel, om G är den oändliga cykliska gruppen $\langle x\rangle$ , och H är den oändliga cykliska gruppen $\langle y\rangle$ , då är varje element i G ∗ H är en alternerande produkt av potenser av x med potenser av y . I detta fall G ∗ H isomorf till den fria gruppen som genereras av x och y .

Presentation

Anta att

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle

är en presentation för G (där S _G är en uppsättning generatorer och R _G är en uppsättning relationer), och anta att

H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle

är en presentation för H . Sedan

G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .

Det vill säga, G ∗ H genereras av generatorerna för G tillsammans med generatorerna för H , med relationer som består av relationerna från G tillsammans med relationerna från H (anta här inga notationskrockar så att dessa i själva verket är disjunkta fackföreningar ).

Exempel

Anta till exempel att G är en cyklisk grupp av ordning 4,

G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,

och H är en cyklisk grupp av ordning 5

H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .

Då är G ∗ H den oändliga gruppen

G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .

Eftersom det inte finns några relationer i en fri grupp, är den fria produkten av fria grupper alltid en fri grupp. Särskilt,

F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},

där Fn betecknar _den fria gruppen på n generatorer.

Ett annat exempel är den modulära gruppen $PSL_{2}(\mathbf {Z} )$ . Det är isomorft till den fria produkten av två cykliska grupper

PSL_{2}(\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).

Generalisering: Gratis produkt med sammanslagning

Den mer allmänna konstruktionen av gratis produkt med sammanslagning är på motsvarande sätt en speciell typ av pushout i samma kategori . Antag att $G$ och $H$ ges som tidigare, tillsammans med monomorfismer (dvs. injektiv grupphomomorfismer ):

\varphi :F\rightarrow G\ \,

och

\ \,\psi :F\rightarrow H,

där $F$ är någon godtycklig grupp. Börja med gratisprodukten $G*H$ och angränsa som relationer

\varphi (f)\psi (f)^{-1}=1

för varje $f$ i $F$ . Med andra ord, ta den minsta normala undergruppen $N$ av $G*H$ som innehåller alla element på vänster sida av ovanstående ekvation, som underförstått beaktas i $G*H$ med hjälp av inkluderingarna av $G$ och $H$ i deras fria produkt. Den fria produkten med sammanslagning av $G$ och $H$ , med avseende på $\varphi$ och $\psi$ , är kvotgruppen

(G*H)/N.\,

Sammanslagningen har tvingat fram en identifiering mellan $\varphi (F)$ i $G$ med $\psi (F)$ i $H$ , element efter element. Detta är den konstruktion som behövs för att beräkna den fundamentala gruppen av två sammankopplade utrymmen som är förenade längs ett väganslutet delrum, där $F$ tar rollen som delrummets fundamentala grupp. Se: Seifert–van Kampens sats .

Karrass och Solitar har gett en beskrivning av undergrupperna av en gratis produkt med sammanslagning. Till exempel, homomorfismerna från $G$ och $H$ till kvotgruppen $(G*H)/N$ som induceras av $\ varphi$ och $\psi$ är båda injektiva, liksom den inducerade homomorfismen från $F$ .

Gratisprodukter med sammanslagning och en närbesläktad föreställning om HNN-förlängning är grundläggande byggstenar i Bass-Serres teori om grupper som verkar på träd.

I andra grenar

Man kan på liknande sätt definiera fria produkter av andra algebraiska strukturer än grupper, inklusive algebror över ett fält . Fria produkter av algebror av slumpvariabler spelar samma roll för att definiera " freeness " i teorin om fri sannolikhet som kartesiska produkter spelar för att definiera statistiskt oberoende i klassisk sannolikhetsteori .

Se även

Anteckningar