Virtuell förskjutning

En grad av frihet.

Två frihetsgrader.

Begränsningskraft C och virtuell förskjutning δ r för en partikel med massa m begränsad till en kurva. Den resulterande icke-begränsningskraften är N . Komponenterna i virtuell förskjutning är relaterade med en begränsningsekvation.

Inom analytisk mekanik , en gren av tillämpad matematik och fysik , visar en virtuell förskjutning (eller infinitesimal variation ) $\delta \gamma$ hur det mekaniska systemets bana hypotetiskt (därav termen virtuell ) kan avvika väldigt lite från den faktiska bana $\gamma$ för systemet utan att bryta mot systemets begränsningar. För varje tidsögonblick $är {\displaystyle t,}$ $\displaystyle \delta \gamma (t)}$ en vektor tangentiell till konfigurationsutrymmet i punkten $\gamma (t).$ Vektorerna $\delta \gamma (t)$ visar i vilka riktningar $\gamma (t)$ kan "gå" utan att bryta begränsningarna.

Till exempel fyller de virtuella förskjutningarna av systemet som består av en enda partikel på en tvådimensionell yta upp hela tangentplanet, förutsatt att det inte finns några ytterligare begränsningar.

Om dock begränsningarna kräver att alla banor $\gamma$ passerar genom den givna punkten $\mathbf {q}$ vid den givna tiden $\tau ,$ dvs $\gamma (\tau )=\mathbf {q} ,$ sedan $\delta \gamma (\tau )=0.$

Noteringar

Låt $M$ vara konfigurationsutrymmet för det mekaniska systemet, $t_{0},t_{1}\in \mathbb {R}$ vara tidsögonblick, $q_{0},q_{1}\in M,$ $C^{\infty }[t_{0},t_{1}]$ består av av smidiga funktioner på $[t_{0},t_{1}]$ och

$P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0} ,\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.$

Begränsningarna $\gamma (t_{0})=q_{0},$ $\gamma (t_{1})=q_{1 }$ är här endast för illustration. I praktiken krävs en individuell uppsättning begränsningar för varje enskilt system.

Definition

För varje väg $\gamma \in P(M)$ och ${\displaystyle \epsilon _{0}>0,} är$ en variant av $\gamma$ en funktion $\Gamma :[t_{0},t_{1}]\ gånger [-\epsilon _{0},\epsilon _{ 0}]\till M$ så att för varje $\epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],$ $\Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)$ och $\Gamma (t,0)=\gamma (t).$ Den virtuella förskjutningen $\delta \gamma :[t_{0},t_{1 }]\till TM$ $displaystyle (TM}$ är tangentbunten av $M)$ som motsvarar variationen $\Gamma$ tilldelar varje ${\displaystyle t\i [t_{0},t_{1}]$ } tangentvektorn

$\delta \gamma (t)={\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\in T_{\gamma ( t)}M.$

När det gäller tangentkartan ,

$\delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\right ).$

Här ${\displaystyle \Gamma _{*}^{t}:T_{0}[-\epsilon , \epsilon ]\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M} är$ tangentkartan för $\Gamma ^ {t}:[-\epsilon ,\epsilon ]\to M,$ där $\Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t, \epsilon ),$ och $\textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ].$

Egenskaper

Koordinera representation. Om $är {\displaystyle \{q_{i}\}_{i=1}^{n}}$ koordinaterna i ett godtyckligt diagram på $M$ och $n=\mathop {\rm {dim}} M,$ sedan

{\displaystyle \delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d[q_{i}(\Gamma (t,\epsilon ))]}{d\epsilon } }{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.} Om, under en viss

tid $\tau$ och varje $\gamma \in P(M),$ $\gamma (\tau )={\text{const }},$ sedan, för varje $\gamma \in P(M),$ $\delta \gamma (\tau )=0.$

Om $\textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),$ så $\delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .$

Exempel

Fri partikel i ^R3

En enskild partikel som rör sig fritt i $\mathbb {R} ^{3}$ har 3 frihetsgrader. Konfigurationsutrymmet är $M=\mathbb {R} ^{3},$ och $P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).$ För varje bana $\gamma \in P(M) )$ och en variant $\Gamma (t,\epsilon )$ av $\gamma ,$ det finns en unik $\sigma \in T_ {0}\mathbb {R} ^{3}$ så att $\Gamma (t,\epsilon )= \gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),$ som $\epsilon \to 0.$ Enligt definitionen,

$\delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\ epsilon ){\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}$

som leder till

$\delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.$

Fria partiklar på en yta

$N$ partiklar som rör sig fritt på en tvådimensionell yta $S\subset \mathbb {R} ^{3}$ har $2N$ frihetsgrad. Konfigurationsutrymmet här är

$M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\in \mathbb {R} ^ {3\,N}\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j} \ {\text{if}}\ i\neq j\},$

där $\mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}$ är radievektorn för den $i^{\text{th}}$ partikel. Det följer att

$T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{ N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,$

och varje väg $\gamma \in P(M)$ kan beskrivas med hjälp av radievektorerna $\mathbf {r} _{i}$ för varje enskild partikel, dvs.

$\gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).$

Detta innebär att för varje $\delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,$

$\delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),$

där ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.} Vissa författare uttrycker detta$ som

$\delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).$

Stel kropp som roterar runt fast punkt

En stel kropp som roterar runt en fast punkt utan ytterligare begränsningar har 3 frihetsgrader. Konfigurationsutrymmet här är $M=SO(3),$ den speciella ortogonala gruppen av dimension 3 (även känd som 3D-rotationsgrupp ), och ${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).} Vi$ använder standardnotationen ${\mathfrak {so} }(3)$ för att hänvisa till det tredimensionella linjära rummet för alla snedsymmetriska tredimensionella matriser. Den exponentiella kartan $\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)$ garanterar existensen av $\epsilon _{0}>0$ så att för varje väg $\gamma \in P(M),$ dess variation $\Gamma (t, \epsilon ),$ och $t\in [t_{0},t_{1}],$ det finns en unik väg $\Theta ^{t}\in C^{\infty }([-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],{\mathfrak {so}} (3))$ så att $\Theta ^{t}(0)=0$ och, för varje $\epsilon \i [-\ epsilon _{0},\epsilon _{0}],$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).} Enligt$ definitionen,

$\delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )) {\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}=\gamma (t){\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}{\ Biggl |}_{\epsilon =0}.$

Eftersom, för vissa funktioner $\sigma :[t_{0},t_{1}]\to {\mathfrak {so}}(3),$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )} ,$ som $\epsilon \to 0$ ,

$\delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}SO(3).$

Se även

^ ^a ^b Takhtajan, Leon A. (2017). "Del 1. Klassisk mekanik". Klassisk fältteori (PDF) . Institutionen för matematik, Stony Brook University, Stony Brook, NY.
^ Goldstein, H. ; Poole, CP; Safko, JL (2001). Klassisk mekanik (3:e upplagan). Addison-Wesley. sid. 16. ISBN 978-0-201-65702-9 .
^ Torby, Bruce (1984). "Energimetoder". Avancerad dynamik för ingenjörer . HRW-serien inom maskinteknik. USA: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4 .

[TakhtajanClassicalFieldTheory2017-1] Takhtajan, Leon A. (2017). "Del 1. Klassisk mekanik". Klassisk fältteori (PDF) . Institutionen för matematik, Stony Brook University, Stony Brook, NY.

[Goldstein2001-2] Goldstein, H. ; Poole, CP; Safko, JL (2001). Klassisk mekanik (3:e upplagan). Addison-Wesley. sid. 16. ISBN 978-0-201-65702-9 .

[Torby1984-3] Torby, Bruce (1984). "Energimetoder". Avancerad dynamik för ingenjörer . HRW-serien inom maskinteknik. USA: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4 .