Gauss princip om minsta begränsning

Karl Friedrich Gauss

Principen om minsta tvång är en variationsformulering av klassisk mekanik som uttalades av Carl Friedrich Gauss 1829, motsvarande alla andra formuleringar av analytisk mekanik . Intuitivt säger det att accelerationen av ett begränsat fysiskt system kommer att vara så likt det som möjligt för det motsvarande obegränsade systemet.

Påstående

Principen om minsta begränsning är en minsta kvadratprincip som anger att de verkliga accelerationerna för ett mekaniskt system med $n$ massor är minimum av kvantiteten

$Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}$

där den j: te partikeln har massan $m_{j}$ , positionsvektorn $\mathbf {r} _{j}$ och applicerad icke-begränsningskraft $\mathbf { F} _{j}$ som verkar på massan.

Notationen ${\dot {\mathbf {r} }}$ indikerar tidsderivata av en vektorfunktion $\mathbf {r} (t)$ , dvs position. Motsvarande accelerationer ${\ddot {\mathbf {r} }}_{j}$ uppfyller de pålagda begränsningarna, som i allmänhet beror på systemets nuvarande tillstånd, $\{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}$ .

Det erinras om det faktum att på grund av att aktiva $\mathbf {F} _{j}$ och reaktiva (restriktioner) $\mathbf {F_{c}} _{j}$ krafter är tillämpas, med resulterande ${\textstil \mathbf {R} =\summa _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$ , ett system kommer att uppleva en acceleration ${\ textstil {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\summa _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c }} _{j}}$ .

Kopplingar till andra formuleringar

Gauss princip är likvärdig med D'Alemberts princip .

Principen om minsta tvång är kvalitativt lik Hamiltons princip , som säger att den verkliga vägen som ett mekaniskt system tar är ett extremum av handlingen . Gauss princip är dock en sann (lokal) minimal princip, medan den andra är en extrem princip.

Hertz princip om minsta krökning

Heinrich Hertz

Hertz princip om minsta krökning är ett specialfall av Gauss princip, begränsad av de två villkoren att det inte finns några externt applicerade krafter, inga interaktioner (vilket vanligtvis kan uttryckas som en potentiell energi), och alla massor är lika . Utan förlust av allmänhet kan massorna sättas lika med en. Under dessa förhållanden kan Gauss minimerade kvantitet skrivas

$Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r}}}_{j}\right|^{2}$

Den kinetiska energin $T$ bevaras också under dessa förhållanden

$T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\summa _{j=1}^{n}\left|{\dot { \mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}$

Eftersom linjeelementet $ds^{2}$ i det $3N$ -dimensionella rymden för koordinaterna definieras

$ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j} \right|^{2}$

bevarande av energi kan också skrivas

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T$

Att dividera $Z$ med $2T$ ger ytterligare en minimal kvantitet

$K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}$

Eftersom ${\sqrt {K}}$ är den lokala krökningen av banan i det $3n$ -dimensionella utrymmet för koordinaterna, är minimering av $K$ ekvivalent med att hitta banan minsta krökning (en geodetisk ) som överensstämmer med begränsningarna.

Hertz princip är också ett specialfall av Jacobis formulering av principen om minsta verkan .

Se även

• Appells rörelseekvation

•   Gauss, CF (1829). "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik" . Crelles tidning . 1829 (4): 232–235. doi : 10.1515/crll.1829.4.232 . S2CID 199545985 .
• Gauss, CF Werke . Vol. 5. sid. 23.
• Hertz, H. (1896). Mekanikens principer . Diverse papper. Vol. III. Macmillan.
•   Lanczos, Cornelius (1986). "IV §8 Gauss princip om minsta begränsning". Mekanikens variationsprinciper (Reprint of University of Toronto 1970 4th ed.). Kurir Dover. s. 106–110. ISBN 978-0-486-65067-8 .
•   Papastavridis, John G. (2014). "6.6 Gaussprincipen (omfattande behandling)". Analytisk mekanik: En omfattande avhandling om dynamiken i begränsade system (Reprint ed.). Singapore, Hackensack NJ, London: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. s. 911–930. ISBN 978-981-4338-71-4 .

externa länkar

• [1] En modern diskussion och bevis på Gauss princip
• Gauss princip i Encyclopedia of Mathematics
• Hertz-principen i Encyclopedia of Mathematics