Icke-holonomiskt system

Ett icke-holonomiskt system i fysik och matematik är ett fysiskt system vars tillstånd beror på den väg som tas för att uppnå det. Ett sådant system beskrivs av en uppsättning parametrar som är föremål för differentiella begränsningar och icke-linjära begränsningar, så att när systemet utvecklas längs en väg i dess parameterrymd (parametrarna varierar kontinuerligt i värden) men slutligen återgår till den ursprungliga parameteruppsättningen värden i början av sökvägen, kanske systemet självt inte har återgått till sitt ursprungliga tillstånd. Icke-holonomisk mekanik är autonom uppdelning av Newtons mekanik.

Detaljer

Mer exakt är ett icke-holonomiskt system, även kallat ett anholonomiskt system, ett där det finns en kontinuerlig sluten krets av de styrande parametrarna, genom vilken systemet kan omvandlas från vilket som helst givet tillstånd till vilket annat tillstånd som helst. Eftersom systemets slutliga tillstånd beror på de mellanliggande värdena för dess bana genom parameterrymden, kan systemet inte representeras av en konservativ potentialfunktion , vilket t.ex. gravitationskraftens omvända kvadratlag kan. Det senare är ett exempel på ett holonomiskt system: vägintegraler i systemet beror endast på systemets initiala och slutliga tillstånd (positioner i potentialen), helt oberoende av övergångsbanan mellan dessa tillstånd. Systemet sägs därför vara integrerbart , medan det icke-holonomiska systemet sägs vara icke-integrerbart . När en vägintegral beräknas i ett icke-holonomiskt system, representerar värdet en avvikelse inom ett visst intervall av tillåtna värden och denna avvikelse sägs vara en anholonomi producerad av den specifika vägen i fråga. Denna term introducerades av Heinrich Hertz 1894.

Den allmänna karaktären hos anholonomiska system är implicit beroende parametrar. Om det implicita beroendet kan tas bort, till exempel genom att höja rummets dimension, och därigenom lägga till minst en ytterligare parameter, är systemet inte riktigt icke-holonomiskt, utan är helt enkelt ofullständigt modellerat av det lägre dimensionella rummet. Om systemet däremot inte kan representeras av oberoende koordinater (parametrar), så är det verkligen ett anholonomiskt system. Vissa författare ^{[ citat behövs ]} gör mycket av detta genom att skapa en distinktion mellan så kallade interna och externa tillstånd i systemet, men i själva verket är alla parametrar nödvändiga för att karakterisera systemet, vare sig de är representativa för "internt" eller "externt" processer, så distinktionen är i själva verket artificiell. Det finns dock en mycket verklig och oförenlig skillnad mellan fysiska system som lyder bevarandeprinciper och de som inte gör det. I fallet med parallell transport på en sfär är distinktionen tydlig: ett Riemann-grenrör har en metrik som är fundamentalt skild från den i ett euklidiskt utrymme . För parallell transport på en sfär är det implicita beroendet inneboende i den icke-euklidiska metriken. Ytan på en sfär är ett tvådimensionellt utrymme. Genom att höja dimensionen kan vi tydligare se ^{[ förtydligande behövs ]} metrikens natur, men det är fortfarande i grunden ett tvådimensionellt utrymme med parametrar oåterkalleligt sammanflätade i beroende av den riemannska metriken .

Däremot kan man betrakta en XY- plotter som ett exempel på ett holonomiskt system där tillståndet för systemets mekaniska komponenter kommer att ha en enda fast konfiguration för varje given position av plotterpennan. Om pennan flyttas mellan positionerna 0,0 och 3,3 kommer mekanismens växlar att ha samma slutpositioner oavsett om förflyttningen sker genom att mekanismen först ökar 3 enheter på x-axeln och sedan 3 enheter på y-axeln , inkrementera Y-axelns position först, eller utföra någon annan sekvens av positionsändringar som resulterar i en slutposition på 3,3. Eftersom maskinens sluttillstånd är detsamma oavsett vilken väg plotterpennan tar för att komma till sin nya position, kan slutresultatet sägas inte vara vägberoende . Om vi ersätter en sköldpaddsplotter kan processen att flytta pennan från 0,0 till 3,3 resultera i att kugghjulen i robotens mekanism slutar i olika positioner beroende på vilken väg som tas för att flytta mellan de två positionerna. Se detta mycket liknande portalkran för en matematisk förklaring av varför ett sådant system är holonomiskt.

Historia

NM Ferrers föreslog först att utöka rörelseekvationerna med icke-holonomiska begränsningar 1871. Han introducerade uttrycken för kartesiska hastigheter i termer av generaliserade hastigheter. 1877 skrev E. Routh ekvationerna med Lagrange-multiplikatorerna. I den tredje upplagan av sin bok för linjära icke-holonomiska begränsningar av stela kroppar introducerade han formen med multiplikatorer, som nu kallas Lagrange-ekvationerna av det andra slaget med multiplikatorer. Termerna holonomiska och icke-holonomiska system introducerades av Heinrich Hertz 1894. År 1897 föreslog SA Chaplygin först att bilda rörelseekvationer utan Lagrange-multiplikatorer. Under vissa linjära begränsningar introducerade han på vänster sida av rörelseekvationerna en grupp extra termer av typen Lagrange-operator. De återstående extra termerna kännetecknar systemets icke-holonomiitet och de blir noll när de givna begränsningarna är integrerbara. År 1901 generaliserade PVVronets Chaplygins arbete till fall av icke-cykliska holonomiska koordinater och icke-stationära begränsningar.

Begränsningar

Betrakta ett system av $N$ -partiklar med positionerna $\mathbf {r} _{i}$ för $i\in \{1,\ldots ,N\}$ med avseende på en given referensram. I klassisk mekanik, alla begränsningar som inte kan uttryckas som

f(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3 },\ldots ,t)=0,

är en icke- holonomisk begränsning . Med andra ord, en icke-holonomisk begränsning är icke-integrerbar och i Pfaffisk form :

\sum _{i=1}^{n}a_{s, i}\,dq_{i}+a_{s,t}\,dt=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k)

$n$ är antalet koordinater.
$k$ är antalet begränsningsekvationer.
$q_{i}$ är koordinater.
$a_{s,i}$ är koefficienter.

För att ovanstående form ska vara icke-holonomisk krävs också att den vänstra sidan varken är en total differential eller kan omvandlas till en, kanske via en integrerande faktor .

för virtuella förskjutningar är begränsningens differentialform

\sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\delta q_{i}=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k).

Det är inte nödvändigt för alla icke-holonomiska begränsningar att ta denna form, i själva verket kan det innebära högre derivator eller ojämlikheter. Ett klassiskt exempel på en ojämlikhetsbegränsning är en partikel som placeras på ytan av en sfär, men ändå tillåts falla av den:

r^{2}-a^{2}\geq 0.

$r$ är partikelns avstånd från sfärens mitt.
$a$ är sfärens radie.

Exempel

Rullande hjul

Ett hjul (ibland visualiserat som en enhjuling eller ett rullande mynt) är ett icke-holonomiskt system.

Lekmans förklaring

Tänk på hjulet på en cykel som är parkerad på en viss plats (på marken). Inledningsvis uppblåsningsventilen i ett visst läge på hjulet. Om cykeln körs runt, och sedan parkeras på exakt samma plats, kommer ventilen nästan säkert inte att vara i samma läge som tidigare. Dess nya position beror på vilken väg man tar. Om hjulet var holonomiskt, skulle ventilskaftet alltid hamna i samma position så länge som hjulet alltid rullades tillbaka till samma plats på jorden. Det är dock uppenbart att detta inte är fallet, så systemet är icke-holonomiskt.

Matematisk förklaring

En individ som kör en motoriserad enhjuling. Enhjulingens konfigurationsutrymme och hjulets radie

{\displaystyle r} är markerade.

De röda och blå linjerna låg på marken.

Det är möjligt att modellera hjulet matematiskt med ett system av begränsningsekvationer och sedan bevisa att det systemet är icke-holonomiskt.

Först definierar vi konfigurationsutrymmet. Hjulet kan ändra sitt tillstånd på tre sätt: att ha en annan rotation kring sin axel, att ha en annan styrvinkel och att vara på en annan plats. Vi kan säga att $\phi$ är rotationen runt axeln, $\theta$ är styrvinkeln relativt $x$ -axeln, och $x$ och $y$ definierar den rumsliga positionen. Konfigurationsutrymmet är alltså:

\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }

Vi måste nu relatera dessa variabler till varandra. Vi märker att när hjulet ändrar sin rotation, ändrar det sin position. Förändringen i rotation och position som innebär hastigheter måste vara närvarande, vi försöker relatera vinkelhastighet och styrvinkel till linjära hastigheter genom att ta enkla tidsderivator av lämpliga termer:

{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}

Hastigheten i

x

-riktningen är lika med vinkelhastigheten gånger radien gånger cosinus för styrvinkeln, och y {\

y}

-hastigheten är liknande. Nu gör vi lite algebraisk manipulation för att transformera ekvationen till Pfaffisk form så att det är möjligt att testa om den är holonomisk, med början:

{\begin{pmatrix}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \ theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}=\mathbf {0}

Låt oss sedan separera variablerna från deras koefficienter (vänster sida av ekvationen, härledd från ovan). Vi inser också att vi kan multiplicera alla termer med ${\text{d}}t$ så att vi bara får differentialerna (höger sida av ekvationen):

{\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot { y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ={\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \ \0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \ \{\text{d}}\phi \end{pmatrix}}

Den högra sidan av ekvationen är nu i Pfaffian form :

\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2

Vi använder nu det universella testet för holonomiska begränsningar . Om det här systemet var holonomiskt skulle vi kanske behöva göra upp till åtta tester. Men vi kan använda matematisk intuition för att göra vårt bästa för att bevisa att systemet är icke-holonomiskt vid det första testet. Med tanke på testekvationen är:

A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }} {\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta}\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\ partiell A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }} }-{\frac {\partial A_{\beta}}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0

vi kan se att om någon av termerna $A_{\alpha }$ , $A_{\beta }$ eller $A_{\gamma }$ var noll, att en del av testekvationen skulle vara trivial att lösa och skulle vara lika med noll. Därför är det ofta bästa praxis att låta den första testekvationen ha så många termer som inte är noll för att maximera chansen att summan av dem inte blir lika med noll. Därför väljer vi:

A_{\alpha }=1

A_{\beta }=0

A_{\gamma }=-r\cos \theta

u_{\alpha }=dx

u_{\beta }=d\theta

u_{\gamma } =d\phi

Vi ersätter i vår testekvation:

-r\cos \theta \left({\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \ theta }}(1)\right)+0\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta )\right)+1\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0 )\right)=0

och förenkla:

r\sin \theta =0

Vi kan lätt se att detta system, som beskrivs, är icke-holonomiskt, eftersom $\sin \theta$ inte alltid är lika med noll.

Ytterligare slutsatser

Vi har slutfört vårt bevis på att systemet är icke-holonomiskt, men vår testekvation gav oss några insikter om huruvida systemet, om det begränsas ytterligare, kunde vara holonomiskt. Många gånger kommer testekvationer att returnera ett resultat som $-1=0$ vilket antyder att systemet aldrig skulle kunna begränsas till att vara holonomiskt utan att radikalt ändra systemet, men i vårt resultat kan vi se att ${\ displaystyle r\sin \theta }$ kan vara lika med noll, på två olika sätt:

$r$ , hjulets radie, kan vara noll. Detta är inte till hjälp eftersom systemet i praktiken skulle förlora alla sina frihetsgrader.
$\sin \theta$ kan vara noll genom att sätta $\theta$ lika med noll. Detta innebär att om hjulet inte fick rotera och bara måste röra sig i en rak linje hela tiden, skulle det vara ett holonomiskt system.

Det finns en sak som vi dock inte har övervägt ännu, att för att hitta alla sådana modifieringar för ett system måste man utföra alla åtta testekvationer (fyra från varje begränsningsekvation) och samla in alla misslyckanden för att samla alla krav för att göra systemet holonomiskt , om möjligt. I detta system, av de sju ytterligare testekvationerna, presenterar sig ytterligare ett fall:

-r\cos \theta =0

Detta innebär dock inte mycket svårigheter, eftersom att lägga till ekvationerna och dividera med

r

resulterar i:

\sin \theta -\cos \theta =0

vilket med någon enkel algebraisk manipulation blir:

\tan \theta =1

som har lösningen ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} \;} (från θ$ = $displaystyle \theta =\arctan(1)}$ ).

Se tillbaka till lekmannens förklaring ovan där det sägs, "[Ventilstammens] nya position beror på den väg som tagits. Om hjulet var holonomiskt, så skulle ventilskaftet alltid hamna i samma position så länge som hjulet var alltid rullade tillbaka till samma plats på jorden. Det är dock uppenbart att detta inte är fallet, så systemet är icke-holonomiskt." Det är dock lätt att visualisera att om hjulet bara fick rulla i en helt rak linje och tillbaka, skulle ventilskaftet hamna i samma läge! Det är faktiskt inte nödvändigt att flytta parallellt med den givna vinkeln $\pi /4$ i den verkliga världen eftersom orienteringen av själva koordinatsystemet är godtycklig. Systemet kan bli holonomiskt om hjulet endast rör sig i en rät linje i någon fast vinkel i förhållande till en given referens. Således har vi inte bara bevisat att det ursprungliga systemet är icke-holonomiskt, utan vi har också kunnat hitta en begränsning som kan läggas till systemet för att göra det holonomiskt.

Det är dock något matematiskt speciellt med begränsningen av $\theta =\arctan(1)$ för att systemet ska göra det holonomiskt, eftersom ${\ displaystyle \theta =\arctan(y/x)}$ i ett kartesiskt rutnät. Genom att kombinera de två ekvationerna och eliminera $\theta$ ser vi verkligen att $y=x$ och därför är en av dessa två koordinater helt redundant. Vi vet redan att styrvinkeln är en konstant, så det betyder att det holonomiska systemet här bara behöver ha ett konfigurationsutrymme på $\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&\ phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ . Som diskuterats här måste ett system som är modellerbart med en Pfaffian-begränsning vara holonomiskt om konfigurationsutrymmet består av två eller färre variabler. Genom att modifiera vårt ursprungliga system för att begränsa det till att bara ha två frihetsgrader och således kräva att endast två variabler beskrivas, och anta att det kan beskrivas i Pfaffian form (vilket vi redan i detta exempel vet är sant), är vi säkra på att det är holonomiskt.

Rullande sfär

Det här exemplet är en förlängning av problemet med "rullande hjul" som behandlas ovan.

Betrakta en tredimensionell ortogonal kartesisk koordinatram, till exempel en plan bordsskiva med en punkt markerad på den för origo och x- och y -axlarna utlagda med blyertslinjer. Ta en sfär med enhetsradie, till exempel en pingisboll, och markera en punkt B i blått. Motsvarar denna punkt är sfärens diameter, och planet vinkelrätt mot denna diameter placerat i sfärens centrum C definierar en storcirkel som kallas ekvatorn associerad med punkt B . På denna ekvator, välj en annan punkt R och markera den med rött. Placera sfären på z = 0-planet så att punkten B sammanfaller med origo, C är placerad vid x = 0, y = 0, z = 1, och R ligger vid x = 1, y = 0, och z = 1, dvs R sträcker sig i den positiva x -axelns riktning. Detta är den initiala eller referensorienteringen för sfären.

Sfären kan nu rullas längs vilken kontinuerlig stängd bana som helst i z = 0-planet, inte nödvändigtvis en enkelt ansluten bana, på ett sådant sätt att den varken glider eller vrider sig, så att C återgår till x = 0, y = 0, z = 1. I allmänhet är punkt B inte längre sammanfallande med origo, och punkt R sträcker sig inte längre längs den positiva x -axeln. Genom val av en lämplig bana kan sfären faktiskt omorienteras från den initiala orienteringen till vilken som helst möjlig orientering av sfären med C belägen vid x = 0, y = 0, z = 1. Systemet är därför icke-holonomiskt. Anholonomin kan representeras av den dubbelt unika kvaternionen ( q och − q ) som, när den appliceras på punkterna som representerar sfären, bär punkterna B och R till sina nya positioner.

Foucault pendel

Ett ytterligare exempel på ett icke-holonomiskt system är Foucault-pendeln . I den lokala koordinatramen svänger pendeln i ett vertikalt plan med en speciell orientering med avseende på geografiskt norr i början av banan. Systemets implicita bana är latitudlinjen på jorden där pendeln är belägen. Även om pendeln är stationär i jordens ram, rör den sig i en ram som refereras till solen och roterar synkront med jordens rotationshastighet, så att den enda uppenbara rörelsen av pendelplanet är den som orsakas av rotationen av Jorden. Den senare ramen anses vara en tröghetsreferensram, även om den också är icke-trög på mer subtila sätt. Jordramen är välkänd för att vara icke-trög, ett faktum som görs märkbart av den uppenbara närvaron av centrifugalkrafter och Corioliskrafter .

Rörelse längs latitudlinjen parametriseras av tidens gång, och Foucault-pendelns svängningsplan verkar rotera kring den lokala vertikala axeln när tiden går. Rotationsvinkeln för detta plan vid en tidpunkt t med avseende på den initiala orienteringen är systemets anholonomi. Den anholonomi som induceras av en komplett latitudkrets är proportionell mot den rymda vinkeln som täcks av den latitudcirkeln. Vägen behöver inte begränsas till latitudcirklar. Till exempel kan pendeln vara monterad i ett flygplan. Anholonomin är fortfarande proportionell mot den rymliga vinkeln som täcks av banan, som nu kan vara ganska oregelbunden. Foucaultpendeln är ett fysiskt exempel på parallell transport .

Linjärt polariserat ljus i en optisk fiber

Ta en längd optisk fiber, säg tre meter, och lägg ut den i en absolut rak linje. När en vertikalt polariserad stråle introduceras i ena änden, kommer den ut från den andra änden, fortfarande polariserad i vertikal riktning. Markera toppen av fibern med en rand, motsvarande orienteringen av den vertikala polarisationen.

Linda nu fibern tätt runt en cylinder som är tio centimeter i diameter. Fiberns väg beskriver nu en helix som, liksom cirkeln, har konstant krökning . Helixen har också den intressanta egenskapen att ha konstant vridning . Som sådant blir resultatet en gradvis rotation av fibern kring fiberns axel när fiberns mittlinje fortskrider längs spiralen. På motsvarande sätt vrider sig även remsan kring spiralens axel.

När linjärt polariserat ljus återigen införs i ena änden, med orienteringen av polarisationen i linje med remsan, kommer det i allmänhet att framträda som linjärt polariserat ljus inriktat inte med remsan, utan i någon fast vinkel mot remsan, beroende på fiberns längd och helixens stigning och radie. Detta system är också icke-holonomiskt, för vi kan enkelt linda ihop fibern i en andra helix och rikta in ändarna och återföra ljuset till dess ursprungspunkt. Anholonomin representeras därför av avvikelsen av polarisationsvinkeln med varje krets i fibern. Genom lämplig justering av parametrarna är det tydligt att alla möjliga vinkeltillstånd kan åstadkommas.

Robotik

Inom robotteknik har nonholonomic särskilt studerats i omfattningen av rörelseplanering och återkopplingslinjärisering för mobila robotar .

Se även