Kepler problem

I klassisk mekanik är Kepler -problemet ett specialfall av tvåkroppsproblemet , där de två kropparna interagerar med en central kraft F som varierar i styrka som den omvända kvadraten på avståndet r mellan dem. Kraften kan vara antingen attraktiv eller frånstötande. Problemet är att hitta positionen eller hastigheten för de två kropparna över tid givet deras massor , positioner och hastigheter . Med hjälp av klassisk mekanik kan lösningen uttryckas som en Kepler-bana med hjälp av sex orbitala element .

Kepler-problemet är uppkallat efter Johannes Kepler , som föreslog Keplers lagar för planetrörelser (som är en del av klassisk mekanik och löste problemet för planeternas banor) och undersökte vilka typer av krafter som skulle resultera i att banor skulle lyda dessa lagar (kallad). Keplers omvända problem ).

För en diskussion om Kepler-problemet specifikt för radiella banor, se Radiell bana . Allmän relativitetsteori ger mer exakta lösningar på tvåkroppsproblemet, särskilt i starka gravitationsfält .

Ansökningar

Keplerproblemet uppstår i många sammanhang, några utöver den fysik som Kepler själv studerat. Keplerproblemet är viktigt i himlamekaniken , eftersom den Newtonska gravitationen lyder en omvänd kvadratisk lag . Exempel inkluderar en satellit som rör sig runt en planet, en planet runt sin sol eller två dubbelstjärnor om varandra. Keplerproblemet är också viktigt i rörelsen av två laddade partiklar, eftersom Coulombs lag för elektrostatik också lyder en omvänd kvadratisk lag . Exempel inkluderar väteatomen , positronium och muonium , som alla har spelat viktiga roller som modellsystem för att testa fysikaliska teorier och mäta naturens konstanter. ^{[ citat behövs ]}

Keplerproblemet och det enkla harmoniska oscillatorproblemet är de två mest grundläggande problemen inom klassisk mekanik . De är de enda två problemen som har slutna banor för varje möjlig uppsättning initiala villkor, dvs. återgår till sin utgångspunkt med samma hastighet ( Bertrands sats) . Kepler-problemet har ofta använts för att utveckla nya metoder inom klassisk mekanik, såsom Lagrangmekanik , Hamiltonsk mekanik , Hamilton-Jacobi-ekvationen och aktionsvinkelkoordinater . ^{[ citat behövs ]} Kepler-problemet bevarar också Laplace-Runge-Lenz-vektorn, som sedan har generaliserats för att inkludera andra interaktioner. Lösningen av Kepler-problemet gjorde det möjligt för forskare att visa att planetrörelser helt och hållet kunde förklaras av klassisk mekanik och Newtons tyngdlag ; den vetenskapliga förklaringen av planetrörelsen spelade en viktig roll för att inleda upplysningen .

Matematisk definition

Den centrala kraften F mellan två objekt varierar i styrka som den omvända kvadraten på avståndet r mellan dem:

\mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}

där k är en konstant och $\mathbf {\hat {r}}$ representerar enhetsvektorn längs linjen mellan dem. Kraften kan vara antingen attraktiv ( k <0) eller frånstötande ( k >0). Motsvarande skalära potential är:

V(r)={\frac {k}{r}}

Lösning på Kepler-problemet

Rörelseekvationen för radien $r$ för en partikel med massa $m$ som rör sig i en central potential $V(r)$ ges av Lagranges ekvationer

m{\frac {d^{2}r}{dt^ {2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3 }}}=-{\frac {dV}{dr}}

$\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$ och rörelsemängden $L=mr^{2}\omega$ är konserverad. Som illustration är den första termen på vänster sida noll för cirkulära banor, och den applicerade inåtriktade kraften ${\frac {dV}{dr}}$ är lika med centripetalkraftskravet $mr\omega ^{2}$ , som förväntat.

Om L inte är noll tillåter definitionen av rörelsemängd en ändring av oberoende variabel från $t$ till $\theta$

{\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta } }

ger den nya rörelseekvationen som är oberoende av tid

{\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d }{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}} {mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}

Utvidgningen av den första mandatperioden är

{\frac { L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta } }\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}

Denna ekvation blir kvasilinjär när man ändrar variablerna $u\equiv {\frac {1}{r}}$ och multiplicerar båda sidor med ${\frac {mr^ {2}}{L^{2}}}$

{\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr} {d\theta }}

{\frac {d^{2}u}{d \theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac { 1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}

Efter utbyte och omarrangering:

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{ \frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)

För en omvänd kvadratisk kraftlag som gravitations- eller elektrostatisk potential kan potentialen skrivas

V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku

Banan $u(\theta )$ kan härledas från den allmänna ekvationen

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}} }+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\ frac {km}{L^{2}}}

vars lösning är konstanten $-{\frac {km}{L^{2}}}$ plus en enkel sinusform

u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{ 2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]

där $\displaystyle e}$ { ( excentriciteten ) och $\theta _{0}$ (fasförskjutningen ) är integrationskonstanter.

Detta är den allmänna formeln för en konisk sektion som har ett fokus vid ursprunget; $e=0$ motsvarar en cirkel , $e<1$ motsvarar en ellips, $e=1$ motsvarar en parabel , och ${\ displaystyle e>1}$ motsvarar en hyperbel . Excentriciteten $e$ är relaterad till den totala energin $E$ (jfr Laplace–Runge–Lenz-vektorn )

e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}

Att jämföra dessa formler visar att $E<0$ motsvarar en ellips (alla lösningar som är slutna banor är ellipser), $E=0$ motsvarar en parabel , och $E >0$ motsvarar en hyperbel . Speciellt $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ för perfekt cirkulära banor (den centrala kraften är exakt lika med centripetalen kraftkrav , som bestämmer den erforderliga vinkelhastigheten för en given cirkulär radie).

För en repulsiv kraft ( k > 0) gäller endast e > 1.

Se även