Maximal modulprincip

En kurva över modulen för cos( z ) (i rött) för z i enhetsskivan centrerad vid origo (visas i blått). Som förutspått av satsen kan det maximala av modulen inte vara inuti skivan (så det högsta värdet på den röda ytan är någonstans längs dess kant).

Inom matematiken anger principen om maximal modul i komplex analys att om f är en holomorf funktion så är modul | f | kan inte uppvisa ett strikt lokalt maximum som är korrekt inom domänen för f .

₀₀ Med andra ord, antingen är f lokalt en konstant funktion , eller för vilken punkt z som helst inom domänen av f finns det andra punkter godtyckligt nära z där | f | tar större värden.

Formellt uttalande

₀ Låt f vara en holomorf funktion på någon ansluten öppen delmängd D av det komplexa planet ℂ och ta komplexa värden. Om z är en punkt i D så att

$|f(z_{0})|\geq |f(z)|$

₀ för alla z i någon omgivning av z , då är f konstant på D .

Detta påstående kan ses som ett specialfall av den öppna mappningssatsen , som säger att en icke-konstant holomorf funktion mappar öppna mängder till öppna mängder: If | f | uppnår ett lokalt maximum vid z , då kan bilden av ett tillräckligt litet öppet område av z inte vara öppen, så f är konstant.

Relaterat uttalande

Antag att $D$ är en begränsad icke-tom öppen delmängd av $\mathbb {C}$ . Låt ${\overline {D}}$ vara stängningen av $D$ . Antag att $f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C}$ är en kontinuerlig funktion som är holomorf på $D$ . Sedan $|f(z)|$ uppnår ett maximum vid någon punkt av gränsen för $D$ .

Detta följer av den första versionen enligt följande. Eftersom ${\overline {D}}$ är kompakt och icke-tom, är den kontinuerliga funktionen $|f(z)|$ uppnår ett maximum vid någon punkt $z_{0}$ av ${\overline {D}}$ . Om $z_{0}$ inte är på gränsen, så innebär principen för maximal modul att $f$ är konstant, så $|f(z)|$ uppnår också samma maximum vid vilken punkt som helst av gränsen.

Minsta modulprincip

₀ För en holomorf funktion f på en ansluten öppen mängd D av $\mathbb {C}$ , om z är en punkt i D så att

$0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|$

₀ för alla z i någon omgivning av z , då är f konstant på D .

Bevis: Tillämpa principen om maximal modul på $1/f$ .

Skisser av bevis

Använder maximiprincipen för harmoniska funktioner

Man kan använda jämställdheten

$\log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)$

₀ för komplexa naturliga logaritmer för att härleda att $\ln |f(z)|$ är en harmonisk funktion . Eftersom z är ett lokalt maximum även för denna funktion, följer det av maximumprincipen att $|f(z)|$ är konstant. Sedan, med hjälp av Cauchy–Riemanns ekvationer, visar vi att $f'(z)$ = 0, och därmed att $f(z)$ också är konstant. Liknande resonemang visar att $|f(z)|$ kan bara ha ett lokalt minimum (som nödvändigtvis har värdet 0) vid en isolerad noll av $f(z)$ .

Med hjälp av Gauss medelvärdessats

Ett annat bevis fungerar genom att använda Gauss medelvärdessats för att "tvinga" alla punkter inom överlappande öppna skivor att anta samma värde som maximum. Skivorna läggs så att deras centra bildar en polygonal bana från värdet där $f(z)$ är maximerad till vilken annan punkt som helst i domänen, samtidigt som de är helt inneslutna i domänen. Förekomsten av ett maximalt värde innebär alltså att alla värden i domänen är desamma, så $f(z)$ är konstant.

Fysisk tolkning

En fysisk tolkning av denna princip kommer från värmeekvationen . Det vill säga eftersom $\log |f(z)|$ är harmonisk, det är alltså det stabila tillståndet för ett värmeflöde i området D . Antag att ett strikt maximum uppnåddes på det inre av D , skulle värmen vid detta maximum spridas till punkterna runt den, vilket skulle motsäga antagandet att detta representerar ett systems stabila tillstånd.

Ansökningar

Maximimodulprincipen har många användningsområden i komplex analys och kan användas för att bevisa följande:

• Grundsatsen för algebra .
• Schwarz lemma , ett resultat som i sin tur har många generaliseringar och tillämpningar inom komplex analys.
• Phragmén –Lindelöf-principen , en utvidgning till obegränsade domäner.
• Borel –Carathéodory-satsen , som begränsar en analytisk funktion vad gäller dess verkliga del.
• Hadamards tre-linjers sats , ett resultat om beteendet hos avgränsade holomorfa funktioner på en linje mellan två andra parallella linjer i det komplexa planet.

• Titchmarsh, EC (1939). Theory of Functions (2:a uppl.). Oxford University Press. (Se kapitel 5.)
• ED Solomentsev (2001) [1994], "Maximum-modulus princip" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Maximum Modulus Principle" . MathWorld .