Differentiering av trigonometriska funktioner

Fungera	Derivat
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatörsnamn {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatörsnamn {arcsec}(x)$	${\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\operatörsnamn {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Differentieringen av trigonometriska funktioner är den matematiska processen att hitta derivatan av en trigonometrisk funktion , eller dess förändringshastighet med avseende på en variabel. Till exempel skrivs derivatan av sinusfunktionen sin′( a ) = cos( a ), vilket betyder att förändringshastigheten för sin( x ) vid en viss vinkel x = a ges av cosinus för den vinkeln.

Alla derivator av cirkulära trigonometriska funktioner kan hittas från de av sin( x ) och cos( x ) med hjälp av kvotregeln som tillämpas på funktioner som tan( x ) = sin( x )/cos( x ). Genom att känna till dessa derivator hittas derivatorna av de inversa trigonometriska funktionerna med hjälp av implicit differentiering .

Bevis på derivator av trigonometriska funktioner

Gränsen för sin(θ)/θ eftersom θ tenderar till 0

Cirkel, centrum O , radie 1

Diagrammet till höger visar en cirkel med centrum O och radien r = 1. Låt två radier OA och OB göra en båge av θ radianer. Eftersom vi betraktar gränsen eftersom θ tenderar till noll, kan vi anta att θ är ett litet positivt tal, säg 0 < θ < ½ π i den första kvadranten.

R ₁ i diagrammet vara triangeln OAB , R ₂ den cirkulära sektorn OAB , och R ₃ triangeln OAC . Arean av triangeln OAB är:

$\mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.$

Arean av den cirkulära sektorn OAB är ${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta } ,$ medan arean av triangeln OAC ges av

$\mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \, .$

Eftersom varje region ingår i nästa har en:

${\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac { 1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Dessutom, eftersom sin θ > 0 i den första kvadranten, kan vi dividera med ½ sin θ , vilket ger:

$1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta } }>\cos \theta \,.$

I det sista steget tog vi ömsesidigheten i de tre positiva termerna och vänder på orättvisorna.

Squeeze: Kurvorna y = 1 och y = cos θ visas i rött, kurvan y = sin( θ )/ θ visas i blått.

är kvantiteten sin( θ )/ θ alltid mindre än 1 och alltid större än cos(θ). Allteftersom θ kommer närmare 0, " kläms " sin( θ )/ θ mellan ett tak på höjd 1 och ett golv på höjd cos θ , som stiger mot 1; därför måste sin( θ )/ θ tendera till 1 eftersom θ tenderar till 0 från den positiva sidan:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

För fallet där θ är ett litet negativt tal –½ π < θ < 0, använder vi det faktum att sinus är en udda funktion :

$\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}} \!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{ -\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.$

Gräns ​​för (cos(θ)-1)/θ eftersom θ tenderar till 0

Det sista avsnittet gör det möjligt för oss att relativt enkelt beräkna denna nya gräns. Detta görs genom att använda ett enkelt knep. I denna beräkning är tecknet θ oviktigt.

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \ lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.$

Med hjälp av cos ² θ – 1 = –sin ² θ , det faktum att gränsen för en produkt är produkten av gränser, och gränsresultatet från föregående avsnitt, finner vi att:

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac { -\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{ \theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (- 1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.$

Gräns ​​för tan(θ)/θ eftersom θ tenderar till 0

Med hjälp av gränsen för sinusfunktionen , det faktum att tangentfunktionen är udda, och det faktum att gränsen för en produkt är produkten av gränser, finner vi:

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \ theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1) \ =\ 1\,.$

Derivat av sinusfunktionen

Vi beräknar derivatan av sinusfunktionen från gränsdefinitionen :

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\ theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.$

Med hjälp av vinkeladditionsformeln sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α , har vi:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).$

Använda gränserna för sinus- och cosinusfunktionerna :

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.$

Derivat av cosinusfunktionen

Från definitionen av derivat

Vi beräknar återigen derivatan av cosinusfunktionen från gränsdefinitionen:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\ theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.$

Med hjälp av vinkeladditionsformeln cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β , har vi:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{ \delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).$

Använda gränserna för sinus- och cosinusfunktionerna :

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\ sin \theta \,.$

Från kedjeregeln

För att beräkna derivatan av cosinusfunktionen från kedjeregeln, observera först följande tre fakta:

$\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ$

${ \tfrac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }$

Den första och den andra är trigonometriska identiteter , och den tredje är bevisad ovan. Med hjälp av dessa tre fakta kan vi skriva följande,

${\tfrac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\cos \theta ={\ tfrac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

Vi kan särskilja detta med hjälp av kedjeregeln . Låter $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}} -\theta$ , vi har:

${\tfrac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left (g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}} -\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta$ .

Därför har vi bevisat det

${\tfrac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta$ .

Derivat av tangentfunktionen

Från definitionen av derivat

För att beräkna derivatan av tangentfunktionen tan θ använder vi första principer . Per definition:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\ tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).$

Genom att använda den välkända vinkelformeln tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , har vi:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{ \frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0 }\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].$

Att använda det faktum att gränsen för en produkt är produkten av gränserna:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\ höger).$

Använda gränsen för tangentfunktionen och det faktum att tan δ tenderar till 0 som δ tenderar till 0:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\ gånger {\frac {1+\tan ^{2}\theta } {1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .$

Vi ser direkt att:

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{ \cos ^{2}\theta }}=\sek ^{2}\theta \,.$

Från kvotregeln

Man kan också beräkna derivatan av tangentfunktionen med hjälp av kvotregeln .

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn { d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}$

Täljaren kan förenklas till 1 genom den pytagoreiska identiteten , vilket ger oss,

${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sek ^{2}\theta$

Därför,

${\frac {\operatörsnamn {d} }{\operatörsnamn {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$

Bevis på derivator av inversa trigonometriska funktioner

Följande derivator hittas genom att sätta en variabel y lika med den inversa trigonometriska funktionen som vi vill ta derivatan av. Genom att använda implicit differentiering och sedan lösa för dy / dx , hittas derivatan av den inversa funktionen i termer av y . För att konvertera dy / dx tillbaka till existens i termer av x , kan vi rita en referenstriangel på enhetscirkeln och låta θ vara y. Med hjälp av Pythagoras sats och definitionen av de reguljära trigonometriska funktionerna kan vi slutligen uttrycka dy / dx i termer av x .

Differentiering av den omvända sinusfunktionen

Vi låter

$y=\arcsin x\,\!$

Var

$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$

Sedan

$\sin y=x\,\!$

Att ta derivatan med avseende på $x$ på båda sidor och lösa för dy/dx:

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

$\cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!$

Ersätter $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ från ovan,

${\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Ersätter $x=\sin y$ från ovan,

${\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${\ displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Differentiering av den omvända cosinusfunktionen

Vi låter

$y=\arccos x\,\!$

Var

$0\leq y\leq \pi$

Sedan

$\cos y=x\,\!$

Att ta derivatan med avseende på $x$ på båda sidor och lösa för dy/dx:

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-\sin y \cdot {dy \over dx}=1$

Om vi ​​ersätter $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$ från ovan får vi

$-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Genom att ersätta $x=\cos y\,\!$ från ovan får vi

$-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Alternativt, när derivatan av $\arcsin x$ har etablerats, följer derivatan av $\arccos x$ omedelbart genom att differentiera identiteten ${ \displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$ så att $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$ .

Differentiering av den inversa tangentfunktionen

Vi låter

$y=\arctan x\,\!$

Var

$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$

Sedan

$\tan y=x\,\!$

Att ta derivatan med avseende på $x$ på båda sidor och lösa för dy/dx:

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

Vänster sida:

${d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\ cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}$ med den pytagoreiska identiteten

Höger sida:

${d \over dx}x=1$

Därför,

$(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1$

Genom att ersätta $x=\tan y\,\!$ från ovan får vi

$(1+x^{2}){dy \over dx}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Differentiering av den omvända cotangensfunktionen

Vi låter

$y=\operatörsnamn {arccot} x$

där $0<y<\pi$ . Sedan

$\cot y=x$

Att ta derivatan med avseende på $x$ på båda sidor och lösa för dy/dx:

${\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x$

Vänster sida:

${d \over dx}\cot y=-\csc ^{2 }y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}$ med den pytagoreiska identiteten

Höger sida:

${d \over dx}x=1$

Därför,

$-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1$

Ersätter $x=\cot y$ ,

$-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Alternativt, eftersom derivatan av $\arctan x$ härleds enligt ovan, använd sedan identiteten $\arctan x+\operatörsnamn {arccot} x={ \dfrac {\pi }{2}}$ följer omedelbart efter det

$${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatörsnamn {arccot} x& ={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi}{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2 }}}\end{aligned}}$$

Differentiering av den omvända sekantfunktionen

Använder implicit differentiering

Låta

$y=\operatörsnamn {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1$

Sedan

$x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}} \right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

${\ frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(Det absoluta värdet i uttrycket är nödvändigt eftersom produkten av sekant och tangent i intervallet av y alltid är icke-negativ, medan radikalen ${\sqrt {x^{2}-1}}$ är alltid icke-negativ per definition av den huvudsakliga kvadratroten, så den återstående faktorn måste också vara icke-negativ, vilket uppnås genom att använda det absoluta värdet av x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Använder kedjeregeln

Alternativt kan derivatet av arcsecant härledas från derivatet av arccosine med användning av kedjeregeln .

Låta

$y=\operatörsnamn {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

Var

$|x|\geq 1$ och $y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\ höger)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

Använd sedan kedjeregeln på $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$ :

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}} \cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x ^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}} }}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\ sqrt {x^{2}-1}}}}$

Differentiering av den inversa cosecantfunktionen

Använder implicit differentiering

Låta

$y=\operatörsnamn {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1$

Sedan

$x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}} ,0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

${\ displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(Det absoluta värdet i uttrycket är nödvändigt eftersom produkten av cosecant och cotangens i intervallet av y alltid är icke-negativ, medan radikalen ${\sqrt {x^{2}-1}}$ är alltid icke-negativ per definition av den huvudsakliga kvadratroten, så den återstående faktorn måste också vara icke-negativ, vilket uppnås genom att använda det absoluta värdet av x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Använder kedjeregeln

Alternativt kan derivatet av arccosecant härledas från derivatet av arcsine med användning av kedjeregeln .

Låta

$y=\operatörsnamn {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Var

$|x|\geq 1$ och $y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0 \right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

Använd sedan kedjeregeln på $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$ :

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\ cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x ^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}} }}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x |{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Se även

• Calculus – Matematikens gren
• Derivat – Omedelbar förändringshastighet (matematik)
• Differentieringsregler – Regler för beräkning av derivator av funktioner
• Allmän Leibniz-regel – Generalisering av produktregeln i kalkyl
• Omvända funktioner och differentiering – Calculus-identitet Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Differentieringslinjäritet – Kalkylegenskap
• Lista över integraler av inversa trigonometriska funktioner
• Lista över trigonometriska identiteter – Likheter som involverar trigonometriska funktioner
• Tabell över derivator – Regler för beräkning av derivator av funktioner Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Trigonometri – Area av geometri, om vinklar och längder

Bibliografi

• Handbook of Mathematical Functions , redigerad av Abramowitz och Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)