Kedjeregel (sannolikhet)

Ej att förväxla med Chain rule .

I sannolikhetsteorin tillåter kedjeregeln (även kallad den allmänna produktregeln ) beräkningen av vilken medlem som helst av den gemensamma fördelningen av en uppsättning slumpvariabler med endast villkorade sannolikheter . Regeln är användbar i studien av Bayesianska nätverk , som beskriver en sannolikhetsfördelning i termer av betingade sannolikheter.

Kedjeregel för evenemang

Två händelser

Kedjeregeln för två slumpmässiga händelser $A$ och $B$ säger

$$P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A).$$

Exempel

Denna regel illustreras i följande exempel. Urna 1 har 1 svart kula och 2 vita kulor och Urna 2 har en svart kula och 3 vita kulor. Anta att vi väljer en urna slumpmässigt och sedan väljer en boll från den urnan. Låt händelse $A$ välja den första urnan: $P(A)=P({\overline {A}})=1/ 2.$ Låt händelse $B$ vara chansen att vi väljer en vit boll. Chansen att välja en vit boll, givet att vi har valt den första urnan, är $P(B|A)=2/3.$ Händelse ${\ displaystyle A\cap B}$ skulle vara deras skärningspunkt: att välja den första urnan och en vit boll från den. Sannolikheten kan hittas av kedjeregeln för sannolikhet:

$$\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)=2/3\ gånger 1/2=1/3.$$

Fler än två evenemang

För mer än två händelser $A_{1},\ldots ,A_{n}$ sträcker sig kedjeregeln till formeln

$$\displaystyle \mathrm {P} \left$$

som genom induktion kan förvandlas till

$$\mathrm {P} \left(A_{n}\cap \ldots \cap A_{1}\right)=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(A_ {k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right).$$

Exempel

Med fyra händelser ( $n=4$ ), är kedjeregeln

$${\begin{aligned}\mathrm {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3} \cap A_{4})&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3} \cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} ( A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\mid A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{1})\end{aligned}}$$

Kedjeregel för slumpvariabler

Två slumpvariabler

För två slumpvariabler ${\displaystyle X,Y} ,$ för att hitta den gemensamma fördelningen, kan vi tillämpa definitionen av betingad sannolikhet för att få:

$$\mathrm {P} (X=x,Y=y)=\mathrm {P } (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)$$

för alla möjliga värden $x$ av $X$ och $y$ av $Y$ i det diskreta fallet eller, i allmänhet,

$$\mathrm {P} (X\in A,Y\in B)=\mathrm {P} (X\i A\mid Y\i B)\cdot \mathrm {P} (Y\i B)$$

för alla möjliga mätbara uppsättningar $A$ och $B$ .

Om man önskar en notation för sannolikhetsfördelningen av $X$ kan man använda ${\displaystyle P_{X}} ,$ så att $P_ {X}(x):=P(X=x)$ i det diskreta fallet eller i allmänhet $P_{X}(A):=P (X\in A)$ för en mätbar uppsättning $A$ .

Fler än två slumpvariabler

Betrakta en indexerad samling av slumpvariabler $X_{1},\ldots ,X_{n}$ med möjliga värden $x_{1},\dots ,x_{n}$ respektive. Sedan, för att hitta värdet av denna medlem av den gemensamma fördelningen, kan vi tillämpa definitionen av villkorad sannolikhet för att erhålla:

$$\mathrm {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right) =\mathrm {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\cdot \mathrm {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)$$

Genom att upprepa denna process med varje sista term och låta $A_{k}$ beteckna händelsen $X_{k}=x_{k}$ skapas produkten:

$$\mathrm {P} \left(\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left (A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right)=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(X_{k}=x_{k}\,|\,X_{1}=x_{1},\dots X_{k-1}=x_{k-1}\höger).$$

Exempel

Med fyra variabler ( $n=4$ ), beteckna $P(x_{n}\,|\,x_{n-1}\dots ,x_{1}):=P(X_{n}=x_{n}\ ,|\,X_{n-1}=x_{n-1}\dots ,X_{1}=x_{1})$ för korthets skull. Sedan producerar kedjeregeln denna produkt av villkorade sannolikheter:

$${\begin{aligned}\mathrm {P} (x_{4},x_{3},x_{2},x_ {1})&=\mathrm {P} (x_{4}\mid x_{3},x_{2},x_{1})\cdot \mathrm {P} (x_{3},x_{2} ,x_{1})\\&=\mathrm {P} (x_{4}\mid x_{3},x_{2},x_{1})\cdot \mathrm {P} (x_{3}\ mitten x_{2},x_{1})\cdot \mathrm {P} (x_{2},x_{1})\\&=\mathrm {P} (x_{4}\midt x_{3}, x_{2},x_{1})\cdot \mathrm {P} (x_{3}\mid x_{2},x_{1})\cdot \mathrm {P} (x_{2}\mid x_{ 1})\cdot \mathrm {P} (x_{1})\end{aligned}}$$

Se även

• Oberoende (sannolikhetsteori) – Grundläggande begrepp i sannolikhetsteorin

•   Russell, Stuart J .; Norvig, Peter (2003), Artificial Intelligence: A Modern Approach (2nd ed.), Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-790395-2 , sid. 496.
• "The Chain Rule of Probability" , developerWorks , 3 november 2012.