Ensidig gräns

Funktionen $f(x)=x^{2}+\operatörsnamn {tecken} (x),$ där $\ operatornamn {tecken} (x)$ anger teckenfunktionen , har en vänstergräns på $-1,$ en högergräns på $+1,$ och ett funktionsvärde på $0$ vid punkten $x=0.$

I kalkyl hänvisar en ensidig gräns till någon av de två gränserna för en funktion $f(x)$ för en verklig variabel $x$ när $x$ närmar sig en specificerad punkt antingen från vänster eller från höger.

Gränsen när $x$ minskar i värde som närmar sig $a$ ( $x$ närmar sig $a$ "från höger" eller "från ovan") kan betecknas:

$$\lim _{x\to a^{+}}f (x)\quad {\text{ eller }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ eller }}\quad \lim _{x\ sök a}\,f(x)\quad {\text{ eller }}\quad f(x+)$$

Gränsen när $x$ ökar i värde som närmar sig $a$ ( $x$ närmar sig $a$ "från vänster" eller "underifrån") kan betecknas:

$$\lim _{x\to a^{-}}f (x)\quad {\text{ eller }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ eller }}\quad \lim _{x\ nära a}\,f(x)\quad {\text{ eller }}\quad f(x-)$$

Om gränsen för $f(x)$ när $x$ närmar sig $a$ existerar då gränserna från vänster och från höger både existerar och är lika. I vissa fall där gränsen

$$\lim _{x\to a}f(x)$$

inte existerar, de två ensidiga gränserna existerar ändå. Följaktligen kallas gränsen när $x$ närmar sig $a$ ibland en "dubbelsidig gräns".

Det är möjligt att exakt en av de två ensidiga gränserna existerar (medan den andra inte finns). Det är också möjligt att ingen av de två ensidiga gränserna existerar.

Formell definition

Definition

Om $I$ representerar något intervall som finns i domänen för $f$ och om $a$ är punkten i $I$ så är den högersidiga gränsen ${\ displaystyle x}$ närmar sig $a$ kan strikt definieras som värdet $R$ som uppfyller:

$${\text{för alla }}\varepsilon >0\;{\text{ finns det några }}\delta >0\;{\text{ så att för alla }}x\i I, {\text{ if }}\;0<xa<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,$$

och den vänstersidiga gränsen när $x$ närmar sig $a$ kan strikt definieras som värdet $L$ som uppfyller:

$${\text{för alla }}\varepsilon >0\;{\text{ finns det några }}\delta >0\;{\text{ så att för alla }}x\i I,{\text { if }}\;0<ax<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .$$

Vi kan representera samma sak mer symboliskt, enligt följande.

Låt $I$ representera ett intervall, där $I\subseteq \mathrm {domän} (f)$ , och $a\in I$ .

$$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \ delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<xa<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))$$

$$\lim _{ x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R } _{+},\forall x\in I,(0<ax<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))$$

Intuition

I jämförelse med den formella definitionen för gränsen för en funktion vid en punkt, handlar den ensidiga gränsen (som namnet skulle antyda) endast med ingångsvärden på ena sidan av det närmade ingångsvärdet.

Som referens är den formella definitionen för gränsen för en funktion vid en punkt som följer:

$$\lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|xa|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$$

För att definiera en ensidig gräns måste vi modifiera denna ojämlikhet. Observera att det absoluta avståndet mellan $x$ och $a$ är

$$|xa|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(ax)|=|(-1)||ax|=|ax|$$

.

För gränsen från höger vill vi att $x$ ska vara till höger om $a$ , vilket betyder att $a<x$ , så $xa$ är positivt. Från ovan $xa$ avståndet mellan $x$ och $a$ . Vi vill begränsa detta avstånd till vårt värde på $\delta$ , vilket ger olikheten $xa<\delta$ . Om vi ​​sätter samman olikheterna $0<xa$ och $xa<\delta$ och använder transitivitetsegenskapen för ojämlikheter, har vi den sammansatta olikheten ${\ displaystil 0<xa<\delta }$ .

På samma sätt, för gränsen från vänster, vill vi att $x$ ska vara till vänster om $a$ , vilket betyder att $x<a$ . I det här fallet är det $ax$ som är positiv och representerar avståndet mellan $x$ och $a$ . Återigen vill vi begränsa detta avstånd till vårt värde på $\delta$ , vilket leder till den sammansatta olikheten $0<ax<\delta$ .

Nu, när vårt värde på $x$ är i det önskade intervallet, förväntar vi oss att värdet på $f(x)$ också ligger inom det önskade intervallet. Avståndet mellan $f(x)$ och $L$ , gränsvärdet för den vänstra gränsen, är $|f(x)-L|$ . På liknande sätt är avståndet mellan $f(x)$ och $R$ , gränsvärdet för den högersidiga gränsen, $|f(x)-R|$ . I båda fallen vill vi avgränsa detta avstånd med $\varepsilon$ , så vi får följande: $|f(x)-L|<\varepsilon$ för den vänstra gränsen, och $|f(x)-R|<\varepsilon$ för den högersidiga gränsen.

Exempel

Exempel 1 : Gränserna från vänster och från höger om $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ som $x$ närmar sig $a:=0$ är

$$\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \ qquad {\text{ och }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$$

Anledningen till att ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty } är$ att $x$ är alltid negativ (eftersom $x\to 0^{-}$ betyder att $x\to 0$ med alla värden på $x$ som uppfyller $x<0$ ), vilket innebär att $-1/x$ alltid är positivt så att $\lim _{x\to 0^{-}}{-1 /x}$ avviker till $+\infty$ (och inte till $-\infty$ ) när $x$ närmar sig $0$ från vänster. På liknande sätt, $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$ eftersom alla värden på $x$ satisfy $x>0$ (sagt annorlunda, $x$ är alltid positivt) eftersom $x$ närmar sig $0$ från höger, vilket innebär att ${\ displaystyle -1/x}$ är alltid negativ så att $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}$ divergerar till $-\infty .$

Plotta funktionen $1/(1+2^{-1/x}).$

Exempel 2 : Ett exempel på en funktion med olika ensidiga gränser är $f(x)={\frac {1}{1+2^{- 1/x}}},$ (jfr bild) där gränsen från vänster är $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)= 0$ och gränsen från höger är $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ För att beräkna dessa gränser, först visa det

$$\lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \ qquad {\text{ och }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0$$

(vilket är sant eftersom ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x} =+\infty {\text{ och }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty } ) så att följaktligen$ ,

$$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}} }={\frac {1}{1+0}}=1$$

medan $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}= 0$ eftersom nämnaren divergerar till oändlighet; det vill säga eftersom $\lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .$ Eftersom $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),$ gränsen $\lim _{x\to 0}f(x)$ finns inte.

Relation till topologisk definition av gräns

Se även: Filter i topologi

Den ensidiga gränsen till en punkt $p$ motsvarar den allmänna definitionen av limit , med funktionens domän begränsad till en sida, genom att antingen tillåta att funktionsdomänen är en delmängd av det topologiska rummet, eller genom att med tanke på ett ensidigt delrum, inklusive $p.$ Alternativt kan man överväga domänen med en halvöppen intervalltopologi .

Abels sats

Huvudartikel: Abels sats

En anmärkningsvärd sats som behandlar ensidiga gränser för vissa maktserier vid gränserna för deras konvergensintervall är Abels sats .

Se även

• Projektivt förlängd reell linje
• Semi-differentieringsbarhet
• Begränsa överlägsen och begränsa underlägsen