Produktens regel

Elementen i mängden {A, B} kan kombineras med elementen i mängden {1, 2, 3} på sex olika sätt.

Inom kombinatorik är produktregeln eller multiplikationsprincipen en grundläggande räkneprincip (alias den grundläggande principen för räkning ) . Enkelt uttryckt är det den intuitiva idén att om det finns ett sätt att göra något och b sätt att göra en annan sak, så finns det a · b sätt att utföra båda handlingarna.

Exempel

${\displaystyle {$

${\begin{matrix}\mathrm {är} \ \mathrm {to} \ \mathrm {välj} \ \mathrm { en} \ \mathrm {av} &\mathrm {dessa} .\\&\overbrace {\left\{AX,AY,BX,BY,CX,CY\right\}} \end{matris}}$

I det här exemplet säger regeln: multiplicera 3 med 2, få 6.

Mängderna { A , B , C } och { X , Y } i det här exemplet är disjunkta uppsättningar , men det är inte nödvändigt. Antalet sätt att välja en medlem av { A , B , C } och sedan göra det igen, i själva verket välja ett ordnat par vars komponenter är i { A , B , C }, är 3 × 3 = 9 .

Som ett annat exempel, när du bestämmer dig för att beställa pizza måste du först välja typ av skorpa: tunn eller djup skål (2 val). Därefter väljer du en topping: ost, pepperoni eller korv (3 val).

Med hjälp av produktregeln vet du att det finns 2 × 3 = 6 möjliga kombinationer av att beställa en pizza.

Ansökningar

I mängdteorin tas denna multiplikationsprincip ofta för att vara definitionen av produkten av kardinaltal . Vi har

$|S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|$

där $\times$ är den kartesiska produktoperatören. Dessa mängder behöver inte vara ändliga, och det är inte heller nödvändigt att ha endast ändligt många faktorer i produkten; se kardinalnummer .

En förlängning av produktregeln anser att det finns n olika typer av föremål, säg godis, som ska förknippas med k objekt, säg människor. På hur många olika sätt kan människor ta emot sina godis?

Varje person kan få något av de n godis som finns tillgängliga, och det finns k personer, så det finns $\overbrace {n\cdots \cdot n} ^{k}=n^{ k}$ sätt att göra detta.

Relaterade begrepp

Summaregeln är en annan grundläggande räkneprincip . Enkelt uttryckt är det tanken att om vi har ett sätt att göra något och b sätt att göra en annan sak och vi inte kan göra båda samtidigt, så finns det a + b sätt att välja en av åtgärderna.

Se även

• Kombinatoriska principer