Trippel produktregel

Trippelproduktregeln , känd på olika sätt som den cykliska kedjeregeln , cykliska relationen , cykliska regeln eller Eulers kedjeregel , är en formel som relaterar partiella derivator av tre interberoende variabler. Regeln finner tillämpning inom termodynamik , där tre variabler ofta kan relateras till en funktion av formen f ( x , y , z ) = 0, så varje variabel ges som en implicit funktion av de andra två variablerna. Till exempel relaterar en tillståndsekvation för en vätska temperatur , tryck och volym på detta sätt. Trippelproduktregeln för sådana inbördes relaterade variabler x , y och z kommer från att använda en reciprocitetsrelation på resultatet av den implicita funktionssatsen , och ges av

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\ frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,$

där varje faktor är en partiell derivata av variabeln i täljaren, som anses vara en funktion av de andra två.

Fördelen med trippelproduktregeln är att man genom att omarrangera termer kan härleda ett antal substitutionsidentiteter som gör att man kan ersätta partiella derivator som är svåra att analytiskt utvärdera, experimentellt mäta eller integrera med kvoter av partiella derivator som är lättare att arbeta med. med. Till exempel,

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\ vänster({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}$

Olika andra former av regeln finns i litteraturen; dessa kan härledas genom att permutera variablerna { x , y , z }.

Härledning

En informell härledning följer. Antag att f ( x , y , z ) = 0. Skriv z som en funktion av x och y . Således är den totala differentialen dz

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({ \frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy$

Antag att vi rör oss längs en kurva med dz = 0, där kurvan parametriseras med x . Således y skrivas i termer av x , så på denna kurva

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx$

blir ekvationen för dz = 0

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\ ,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx$

Eftersom detta måste vara sant för alla dx , ger omarrangering av termer

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\ frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)$

Att dividera med derivatorna på höger sida ger trippelproduktregeln

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1$

Observera att detta bevis gör många implicita antaganden om förekomsten av partiella derivator, förekomsten av den exakta differentialen dz , förmågan att konstruera en kurva i någon grannskap med dz = 0, och värdet som inte är noll för partiella derivator och deras reciproka. Ett formellt bevis baserat på matematisk analys skulle eliminera dessa potentiella oklarheter.

Alternativ härledning

Antag att en funktion f ( x , y , z ) = 0 , där x , y och z är funktioner av varandra. Skriv de totala differentialerna för variablerna

$$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({ \frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

$$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({ \frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz$$

Ersätt dy i dx

$$dx=\left({\frac {\ partiell x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

Genom att använda kedjeregeln kan man visa att koefficienten för dx på höger sida är lika med en, så koefficienten för dz måste vara noll

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac { \partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0$$

Subtrahera den andra termen och multiplicera med dess invers ger trippelproduktregeln

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\ frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.$$

Ansökningar

Exempel: Ideal Gas Law

Den ideala gaslagen relaterar tillståndsvariablerna tryck (P), volym (V) och temperatur (T) via

$PV=nRT$

som kan skrivas som

${\displaystyle f(P,V,T)=PV-nRT=0$

så varje tillståndsvariabel kan skrivas som en implicit funktion av de andra tillståndsvariablerna:

${\begin{aligned}P&= P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T( P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}$

Från ovanstående uttryck har vi

${\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{ \partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2 }}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{ \frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}$

Geometrisk förverkligande

Profilen för en vandringsvåg vid tidpunkten t (heldragen linje) och t +Δ t (streckad linje). I tidsintervallet Δ t kommer punkten p ₂ att stiga upp till samma höjd som p ₁ hade vid tidpunkten t .

En geometrisk realisering av trippelproduktregeln kan hittas i dess nära kopplingar till hastigheten hos en resande våg

$\phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)$

visas till höger vid tidpunkten t (heldragen blå linje) och en kort tid senare t +Δ t (streckad). Vågen bibehåller sin form när den fortplantar sig, så att en punkt i position x vid tidpunkten t kommer att motsvara en punkt vid position x +Δ x vid tidpunkten t +Δ t ,

$A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).$

Denna ekvation kan endast uppfyllas för alla x och t om k Δ x − ω Δ t = 0 , vilket resulterar i formeln för fashastigheten

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.$

För att klargöra sambandet med trippelproduktregeln, betrakta punkten p ₁ vid tidpunkten t och dess motsvarande punkt (med samma höjd) p̄ ₁ vid t +Δ t . Definiera p ₂ som den punkt vid tidpunkten t vars x-koordinat matchar den för p̄ ₁ , och definiera p̄ ₂ till att vara motsvarande punkt för p ₂ som visas i figuren till höger. Avståndet Δ x mellan p ₁ och p̄ ₁ är detsamma som avståndet mellan p ₂ och p̄ ₂ (gröna linjer), och att dividera detta avstånd med Δ t ger vågens hastighet.

För att beräkna Δ x , betrakta de två partiella derivatorna beräknade vid p ₂ ,

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\ Delta t={\text{stiger från }}p_{2}{\text{ till }}{\bar {p}}_{1}{\text{ i tid }}\Delta t{\text{ (guld linje)}}$

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{vågens lutning (röd linje) vid tidpunkten }}t.$

Att dividera dessa två partiella derivator och använda definitionen av lutningen (stigning dividerat med löp) ger oss den önskade formeln för

$\Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\ höger)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},$

där det negativa tecknet står för det faktum att p ₁ ligger bakom p ₂ i förhållande till vågens rörelse. Sålunda ges vågens hastighet av

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left ({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

För infinitesimal Δ t , ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t} }\right)$ och vi återställer trippelproduktregeln

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left ({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

Se även

• Differentieringsregler – Regler för beräkning av derivator av funktioner
• Exakt differential – typ av infinitesimal i kalkyl Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv (har en annan härledning av trippelproduktregeln)
• Produktregel – Formel för derivatan av en produkt
• Totalderivata – Typ av derivata i matematik
• Trippelprodukt – Ternär operation på vektorer och skalärer.

•   Elliott, JR; Lira, CT (1999). Introduktion Kemiteknik Termodynamik (1:a uppl.). Prentice Hall. sid. 184. ISBN 0-13-011386-7 .
•   Carter, Ashley H. (2001). Klassisk och statistisk termodynamik . Prentice Hall. sid. 392. ISBN 0-13-779208-5 .