Principalisering (algebra)

Inom det matematiska fältet för algebraisk talteori hänvisar begreppet principalisering till en situation när, givet en förlängning av algebraiska talfält , något ideal (eller mer allmänt bråksideal ) av ringen av heltal i det mindre fältet inte är principiellt men dess förlängning till ringen av heltal i det större fältet är. Dess studie har sitt ursprung i Ernst Kummers arbete om idealtal från 1840-talet, som särskilt bevisade att det för varje algebraiskt talfält finns ett förlängningstalfält så att alla ideal för ringen av heltal i basfältet (som alltid kan genereras av högst två element) blir huvudsakliga när de utvidgas till det större fältet. År 1897 David Hilbert att den maximala abeliska oframifierade förlängningen av basfältet, som senare kallades Hilbert-klassfältet för det givna basfältet, är en sådan förlängning. Denna gissning, nu känd som huvudidealsatsen , bevisades av Philipp Furtwängler 1930 efter att den hade översatts från talteori till gruppteori av Emil Artin 1929, som använde sin allmänna ömsesidighetslag för att fastställa omformuleringen. Eftersom detta länge önskade bevis uppnåddes med hjälp av Artin-överföringar av icke-abelska grupper med härledd längd två, försökte flera utredare att utnyttja teorin om sådana grupper ytterligare för att få ytterligare information om principaliseringen i mellanfält mellan basfältet och dess Hilbert klassfält. De första bidragen i denna riktning beror på Arnold Scholz och Olga Taussky 1934, som myntade synonymen kapitulation för principalisering. En annan oberoende tillgång till principaliseringsproblemet via Galois kohomologi av enhetsgrupper beror också på Hilbert och går tillbaka till kapitlet om cykliska förlängningar av talfält av prime grad i hans talrapport , som kulminerar i den berömda sats 94 .

Förlängning av klasser

Låt $K$ vara ett algebraiskt talfält, kallat basfältet , och låt $L/K$ vara en fältförlängning av ändlig grad. Låt ${\mathcal {O}}_{K},{\mathcal {I}}_{K},{\mathcal {P}}_{K}$ och ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L},{\mathcal {I}}_{L},{\mathcal {P}}_{L}} anger ringen$ av heltal, gruppen av bråksideal som inte är noll och dess undergrupp av huvudsakliga bråkideal för fälten $K,L$ respektive. Sedan förlängningskartan över bråksideal

$${\begin{cases}\iota _{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}\\{\mathfrak {a}}\mapsto {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\end{cases}}$$

är en injektiv grupp homomorfism . Eftersom $\iota _{L/K}({\mathcal {P}}_{K})\subseteq {\mathcal {P}}_{L}$ , inducerar denna karta förlängningen homomorfism av ideala klassgrupper

$${\begin{cases}j_{L/K}:{\mathcal {I} }_{K}/{\mathcal {P}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}/{\mathcal {P}}_{L}\\{\mathfrak {a} }{\mathcal {P}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}\end{cases} }$$

Om det finns ett icke-principiellt ideal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{K}} ($ dvs. ${\displaystyle {\mathfrak) {a}}{\mathcal {P}}_{K}\neq {\mathcal {P}}_{K}} ) vars förlängningsideal$ i $L$ är principal (dvs. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}} för vissa A ∈ O L {\$ displaystyle ${O}}_{L}}$$\$$({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L }){\mathcal {P}}_{L}=(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}={\mathcal {P}}_{L }$ och ), då talar vi om principalisering eller kapitulation i $L/K$ . I det här fallet sägs idealen ${\mathfrak {a}}$ och dess klass ${\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}$ principalisera eller kapitulera i $L$ . Detta fenomen beskrivs mest bekvämt av principaliseringskärnan eller kapitulationskärnan , det vill säga kärnan $\ker(j_{L/K})$ i klasstillägget homomorfism.

Mer allmänt, låt ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{0}{\mathfrak {m}}_{\infty }} vara$ en modul i ${ \displaystyle K}$ , där ${\mathfrak {m}}_{0}$ är ett ideal som inte är noll i ${\mathcal {O}}_{K}$ och ${\mathfrak {m}}_{\infty }$ är en formell produkt av parvis olika reella oändliga primtal av $K$ . Sedan

$${\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}}=\langle \alpha {\mathcal {O}}_{K }|\alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}\rangle \leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),$$

är strålen modulo ${\mathfrak {m}}$ , där ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m} })={\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{0})} är$ gruppen av bråksideal som inte är noll i $K$ relativt prime till ${ \mathfrak {m}}_{0}$ och villkoret $\alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}$ betyder $\alpha \equiv 1{\bmod {{\mathfrak {m}}_{0}}}$ och $v(\alpha )>0$ för varje verklig oändlig primtal $v$ som dividerar ${\mathfrak {m}}_{\infty }.$ Låt ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m }}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),} sedan$ gruppen ${ \mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}})/{\mathcal {H}}$ kallas en generaliserad idealklassgrupp för ${\mathfrak {m}}.$ Om ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/ {\mathcal {H}}_{K}$ och ${\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/ {\mathcal {H}}_{L}$ är generaliserade idealklassgrupper så att ${\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L} \in {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})$ för varje ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in { \mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})} och$ en $\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{ L}\in {\mathcal {H}}_{L}}$ för varje ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {H}}_{K}} ,$ sedan $\iota _{L/K}$ inducerar förlängningen homomorfism av generaliserade idealklassgrupper:

$${\begin{cases}j_{L/K }:{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L }({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}_{K}\mapsto ({ \mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}\end{cases}}$$

Galois-förlängningar av nummerfält

Låt $F/K$ vara en Galois-förlängning av algebraiska talfält med Galois-gruppen $G=\mathrm {Gal} (F/K)$ och låt $\mathbb {P} _{K},\mathbb {P} _{F}$ betecknar uppsättningen av primideal för fälten $K,F$ respektive. Antag att ${\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}$ är ett primideal av $K$ som inte delar den relativa diskriminanten ${\displaystyle {\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K)} ,$ och är därför oframifierad i $F$ , och låt ${\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}$ vara ett främsta ideal för $F$ som ligger över ${\mathfrak {p}}$ .

Frobenius automorfism

Det finns en unik automorfism $\sigma \in G$ så att $A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}} )}\equiv \sigma (A){\bmod {\mathfrak {P}}}$ för alla algebraiska heltal ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{F}} ,$ där $\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})$ är normen för ${\mathfrak {p}}$ . Kartan ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]:=\sigma }$ kallas Frobenius automorfism av ${\ displaystyle {\mathfrak {P}}}$ . Den genererar sönderdelningsgruppen $D_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G|\sigma ({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}\}$ av ${\mathfrak {P}}$ och dess ordning är lika med tröghetsgraden $f:=f( {\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})=[{\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/ {\mathfrak {p}}]$ av ${\mathfrak {P}}$ över ${\mathfrak {p}}$ . (Om ${\mathfrak {p}}$ är förgrenad så är [ $\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ endast definierad och genererar $D_{\mathfrak {P}}$ modulo tröghetsundergruppen

$$I_{\mathfrak {P}}=\ {\sigma \in G|\sigma (A)\equiv A{\bmod {\mathfrak {P}}}{\text{ för alla }}A\in {\mathcal {O}}_{F}\} =\ker(D_{\mathfrak {P}}\to \mathrm {Gal} ({\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}|{\mathcal {O}}_{K }/{\mathfrak {p}}))$$

vars ordning är förgreningsindexet $e({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})$ av ${\mathfrak {P}}$ över ${ \displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ). Alla andra primideal för $F$ som delar ${\mathfrak {p}}$ har formen $\tau ({\mathfrak {P}})$ med någon $\tau \in G$ . Dess Frobenius automorfism ges av

$$\left[{\frac {F/K}{\tau ({\mathfrak {P}})}}\ höger]=\tau \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1},$$

eftersom

$$\tau (A)^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}} )}\equiv (\tau \sigma \tau ^{-1})(\tau (A)){\bmod {\tau ({\mathfrak {P}})}}$$

för alla $A\in {\mathcal {O}}_{F}$ , och därmed dess nedbrytningsgrupp ${\displaystyle D_{\tau ( {\mathfrak {P}})}=\tau D_{\mathfrak {P}}\tau ^{-1}} är$ konjugerat till $D_{\mathfrak {P}}$ . I denna allmänna situation Artin-symbolen en kartläggning

$${\mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right):=\left.\left\{\tau \ vänster[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1}\right|\tau \in G\right\}$$

som associerar en hel konjugationsklass av automorfismer till alla oförgrenade primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {d}}} ,$ och vi har ${\ textstil \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=1}$ om och endast om ${\mathfrak {p}}$ delas helt i $F$ .

Faktorisering av främsta ideal

När $K\subseteq L\subseteq F$ är ett mellanfält med relativ Galois-grupp $H=\mathrm {Gal} (F/ L)\leq G$ , mer exakta påståenden om homomorfismerna $\iota _{L/K}$ och $j_{L/K}$ är möjliga eftersom vi kan konstruera faktoriseringen av ${\mathfrak {p}}$ (där ${\mathfrak {p}}$ är oförgrenad i $F$ enligt ovan) i ${\mathcal {O}}_{L}$ från dess faktorisering i ${\mathcal {O}}_{F}$ enligt följande. Primsideal i ${\mathcal {O}}_{F}$ som ligger över ${\mathfrak {p}}$ är i $G$ -ekvivariant bijektion med ${\ displaystyle G}$ -uppsättning av vänster cosets $G/D_{\mathfrak {P}}$ , där $\tau ({\mathfrak {P}})$ motsvarar coset $\tau D_{\mathfrak {P}}$ . För varje primideal ${\mathfrak {q}}$ i ${\mathcal {O}}_{L}$ som ligger över ${\mathfrak {p}}$ Galois grupp $H$ verkar transitivt på uppsättningen av primideal i ${\mathcal {O}}_{F}$ som ligger över ${\mathfrak {q}}$ , alltså sådana ideal ${\mathfrak {q}}$ är i bijektion med banorna för verkan av $H$ på $G/D_{\mathfrak {P}}$ till vänster multiplikation. Sådana banor är i sin tur i bijektion med de dubbla coseterna $H\backslash G/D_{\mathfrak {P}}$ . Låt $(\tau _{1},\ldots ,\tau _{g})$ vara ett komplett system av representanter för dessa dubbla cosets, alltså $G={\dot {\cup }}_{i=1}^{g}\,H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$ . Låt vidare $H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$ beteckna omloppsbanan för coseten $\tau _{i}D_ {\mathfrak {P}}$ i handlingen av $H$ på uppsättningen av vänster cosets $G/D_{\mathfrak {P}}$ genom vänstermultiplikation och låt $H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}}$ betecknar omloppsbanan för coseten $H\tau _{i}$ i verkan av $D_{\mathfrak {P}}$ på uppsättningen av höger cosets $H\backslash G$ med höger multiplikation. Sedan ${\mathfrak {p}}$ i ${\mathcal {O}}_{L}$ som ${\textstyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}} , där q$ i $displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\in \mathbb {P} _{L}}$ för $1\leq i\leq g$ är de främsta idealen som ligger över ${\mathfrak {p}}$ i $L$ som uppfyller ${\textstyle {\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {O}}_{ F}=\prod _{\varrho }\varrho ({\mathfrak {P}})}$ med produkten som körs över valfritt system av representanter för $H\cdot \tau _{i} D_{\mathfrak {P}}$ .

Vi har

$$\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\mathfrak {P}}=\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})\cdot \#H.$$

Låt $D_{i}$ vara nedbrytningsgruppen för $\tau _{i}({\mathfrak {P}})$ över $L$ . Då $D_{i}=H\cap D_{\tau _{i}({\mathfrak {P}})}$ stabilisatorn för $\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}$ i handlingen $H$ på $G/D_{\mathfrak {P}}$ , så av orbit -stabilizer theoremet vi har $\#D_{i}=\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_ {\mathfrak {P}})$ . Å andra sidan är det $\#D_{i}=f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{ \mathfrak {q}}_{i})$ , som tillsammans ger

$$f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})={\frac {f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\ mathfrak {p}})}{f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})}}={\frac {f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})}{\#D_{i}}}={\frac {\#D_{\mathfrak {P}}}{\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}}={\frac {\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\ mathfrak {P}}}{\#H}}={\frac {\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}=\#(H\tau _{ i}\cdot D_{\mathfrak {P}}).$$

Med andra ord, tröghetsgraden $f_{i}:=f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})$ är lika med storleken på omloppsbanan för coset $H\tau _{i}$ i verkan av ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{ \mathfrak {P}}}\right]}$ på uppsättningen av höger cosets $H\backslash G$ med höger multiplikation. Genom att ta inverser är detta lika med storleken på omloppsbanan $D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H$ för coset $\tau _{i}^{-1}H$ i verkan av ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P }}}\right]}$ på uppsättningen av vänster cosets $G/H$ med vänster multiplikation. Även de primära idealen i ${\mathcal {O}}_{L}$ som ligger över ${\mathfrak {p}}$ motsvarar banorna för denna handling.

Följaktligen ges den ideala inbäddningen av ${\textstyle \iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\ mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}} och klasstillägget$ av

$$j_{L/K}({\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}_{K})=({\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}) {\mathcal {H}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {H}}_{L}.$$

Artins ömsesidighetslag

Antag nu vidare att $F/K$ är en abelsk förlängning , det vill säga $G$ är en abelsk grupp. Sedan sammanfaller alla konjugerade nedbrytningsgrupper av primideal för $F$ som ligger över ${\displaystyle {\mathfrak {p}}} , så$$D_{\mathfrak { p}}:=D_{\tau ({\mathfrak {P}})}$ för varje $\tau \in G$ och Artin-symbolen ${\textstil \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right] }$ blir lika med Frobenius automorfism för alla ${\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}$ och ${\textstil A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)(A){\ bmod {\mathfrak {P}}}}$ för alla $A\in {\mathcal {O}}_{F}$ och varje ${\mathfrak {P}}\ mitten av {\mathfrak {p}}$ .

Enligt klassfältteori motsvarar den abelska förlängningen $}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K, {\mathfrak {f}}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})} mellan strålmodulen f {\$ unikt en mellangrupp displaystyle $\ mathfrak {f}}}$ av $K$ och ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})} ,$ där ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}_{0}{\mathfrak {f}}_{\infty }={\mathfrak {f}}( F/K)$ betecknar den relativa ledaren ( ${\mathfrak {f}}_{0}$ är delbart med samma primideal som ${\mathfrak {d}}$ ). Artin-symbolen

$${\begin{cases}\mathbb {P} _{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\ mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)\end{cases}}$$

som associerar Frobenius-automorfismen av ${\mathfrak {p}}$ till varje primideal ${\mathfrak {p}}$ av $K$ som är oförgrenad i $F$ , kan utökas genom multiplikativitet till en surjektiv homomorfism

$${\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\mathfrak {a}}=\prod {\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}( {\mathfrak {a}})}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right):=\prod \left({\frac {F/K}{\ mathfrak {p}}}\right)^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\end{cases}}$$

med kärnan ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {f}}} \cdot \mathrm {N} _{F/K}({\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}))} (där I F ( f )$ { ${ I}}_{F}({\mathfrak {f}})}$ betyder ${\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}_{0 }{\mathcal {O}}_{F})$ ), kallad Artin map , som inducerar isomorfism

$${\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({ \mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}\to G=\mathrm {Gal} (F/K)\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}\mapsto \left( {\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right)\end{cases}}$$

av den generaliserade idealklassgruppen ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}$ till Galois-gruppen $G$ . Denna explicita isomorfism kallas Artin ömsesidighetslag eller allmän ömsesidighetslag .

Figur 1: Kommutativt diagram som förbinder klasstillägget med Artin-överföringen.

Gruppteoretisk problemformulering

Denna ömsesidighetslag gjorde det möjligt för Artin att översätta det allmänna principaliseringsproblemet för talfält $K\subseteq L\subseteq F$ baserat på följande scenario från talteori till gruppteori. Låt $F/K$ vara en Galois-förlängning av algebraiska talfält med automorfismgrupp $G=\mathrm {Gal} (F/K)$ . Antag att $K\subseteq L\subseteq F$ är ett mellanfält med relativ grupp $H=\mathrm {Gal} (F/ L)\leq G$ och låt $K'/K,L'/L$ vara den maximala abeliska subextensionen av $K,L$ respektive inom ${ \displaystyle F}$ . Då är de motsvarande relativa grupperna kommutatorundergrupperna ${\displaystyle G'=\mathrm {Gal} (F/K')\leq G} ,$ resp. $H'=\mathrm {Gal} (F/L')\leq H$ . Enligt klassfältteori finns det mellangrupper ${\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}_{K}}\ leq {\mathcal {H}}_{K}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})$ och ${\mathcal {S}}_{L,{\mathfrak {m}}_{L}}\leq {\mathcal {H}}_{L}\leq {\mathcal {I}}_{ L}({\mathfrak {d}})$ så att Artin-kartorna etablerar isomorfismer

$${\begin{aligned}&\left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}} _{K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to \mathrm {Gal} (K'/K)\simeq G/G'\\&\left( {\frac {L'/L}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L} \to \mathrm {Gal} (L'/L)\simeq H/H'\end{aligned}}$$

Här ${\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K),{\mathcal {I}}_{L} ({\mathfrak {d}})$ betyder ${\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L })$ och ${\mathfrak {m}}_{K},{\mathfrak {m}}_{L}$ är några moduler delbara med ${\mathfrak {f}}(K'/K),{\mathfrak {f}}(L'/L)$ respektive med alla primtal som dividerar ${\ displaystyle {\mathfrak {d}},{\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L}}$ respektive.

Den ideala förlängningen homomorfism ${\displaystyle \iota _{L/K}:\,{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak { d}})\till {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})} , den$ inducerade Artin-överföringen ${\tilde {T}}_{G ,H}$ och dessa Artin-kartor är sammankopplade med formeln

$${\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\frac {L'/L }{\cdot }}\right)\circ \iota _{L/K}.$$

Eftersom ${\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})$ av primideal $K$ som inte delar ${\ displaystyle {\mathfrak {d}}}$ , det räcker för att verifiera denna likhet på dessa generatorer. Antag därför att ${\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}$ är ett primideal av $K$ som inte delar ${\ mathfrak {d}}$ och låt ${\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}$ vara ett primideal för $F$ som ligger över ${\ displaystyle {\mathfrak {p}}}$ . Å ena sidan avbildar den ideala förlängningen homomorfism $\iota _{L/K}$ det ideala ${\mathfrak {p}}$ för basfältet $K$ till förlängningsidealet ${\displaystyle \iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p} }{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}} i fältet L {\displaystyle$ L $och$ Artin map ${\textstyle \left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right)}$ av fältet $L$ mappar denna produkt av primära ideal till produkten av konjugat av Frobenius automorfismer

$$\prod _{i=1}^{g}\left({\frac {L '/L}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=\prod _{i=1}^{g}\left[{\frac {F/L}{\tau _{ i}({\mathfrak {P}})}}\right]\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/L} {\mathfrak {P}}}\right]\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\ frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H',$$

där den dubbla cosetnedbrytningen och dess representanter som används här är desamma som i det sista avsnittet. Å andra sidan kartor Artin-kartan ${\textstyle \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)}$ för basfältet $K$ det ideala ${\mathfrak {p}}$ till Frobenius automorfism ${\textstyle \left({\frac {K'/K} {\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'}$ . g $g$ -tuppel $tau _{1}^{-1},\ldots ,\tau _{g}^{- 1})}$ är ett system av representanter för dubbla cosets ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}\backslash G/H} ,$ som motsvarar banorna för verkan av ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ på uppsättningen av vänster cosets $G/H$ genom vänstermultiplikation, och ${\displaystyle f_{i}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}} )=\#(D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H)} är lika med storleken på omloppsbanan för$ coset $\tau _ {i}^{-1}H$ i den här åtgärden. Därför mappar den inducerade Artin-överföringen ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'} till$ produkten

$${\tilde {T}}_{G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'\right)=T_ {G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\right)=\prod _{i=1}^{g}(\tau _ {i}^{-1})^{-1}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^ {-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^ {f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'.$$

Detta produktuttryck var den ursprungliga formen av Artin-överföringshomomorfismen, vilket motsvarar en nedbrytning av permutationsrepresentationen i osammanhängande cykler .

Eftersom kärnorna i Artin-kartorna $\left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)$ och $\ vänster({\tfrac {L'/L}{\cdot }}\right)$ är ${\mathcal {H}}_{K}$ och ${\mathcal {H} }_{L}$ respektive, den föregående formeln innebär att $\iota _{L/K}({\mathcal {H}}_{K})\subseteq {\mathcal {H}}_{L}$ . Det följer att det finns klasstillägget homomorfism $j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{ K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal { H}}_{L}$ och att $j_{L/K}$ och den inducerade Artin-överföringen ${\tilde {T}}_{G,H}$ är förbundna med det kommutativa diagrammet i figur 1 via isomorfismerna som induceras av Artin-kartorna, det vill säga vi har lika två sammansatta ${\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\tfrac { L'/L}{\cdot }}\right)\circ j_{L/K}$ .

Klass fälttorn

Det kommutativa diagrammet i föregående avsnitt, som förbinder den talteoretiska klasstillägget homomorfism $j_{L/K}$ med den gruppteoretiska Artin transfer $T_{G,H$ , gjorde det möjligt för Furtwängler att bevisa huvudidealsatsen genom att specialisera sig på situationen att $L=F^{1}(K)$ är det (första) Hilbert-klassfältet för $K$ , det vill säga den maximala abelska oframifierade förlängningen av $K$ , och $F=F^{2}(K)$ är det andra Hilbert-klassfältet av $K$ , det vill säga den maximala metabelska oframifierade förlängningen av $K$ (och maximala abeliska oframifierade förlängningen av $F^{1}(K)$ ). Då $K'=L,L'=F,{\mathfrak {d}}={\ mathcal {O}}_{K},{\mathcal {H}}_{K}={\mathcal {P}}_{K},{\mathcal {H}}_{L}={\mathcal { P}}_{L}$ och $H=G'$ är kommutatorundergruppen till $G$ . Mer exakt visade Furtwängler att Artin-överföringen $T_{G,G'}$ en finit metabelisk grupp $G$ till dess härledda undergrupp $G'$ är en trivial homomorfism. Faktum är att detta är sant även om $G$ inte är metabelsk eftersom vi kan reducera till det metabelska fallet genom att ersätta $G$ med $G/G''$ . Det gäller även för oändliga grupper förutsatt att $G$ genereras ändligt och $[G:G']<\infty$ . Det följer att varje ideal för $K$ sträcker sig till ett principideal av $F^{1}(K)$ .

Det kommutativa diagrammet innehåller dock potentialen för många mer sofistikerade applikationer. I den situationen att $p$ är ett primtal, är $F=F_{p}^{2}(K)$ det andra Hilbert p-klassfältet av $K$ , det vill säga den maximala metabelska oframifierade förlängningen av $K$ av grad en potens av $p,L$ varierar över det mellanliggande fältet mellan $K$ och dess första Hilbert p-klassfält F $\displaystyle F_{p}^{1}(K)}$ , och $H=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/L)\leq G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{ 2}(K)/K)$ varierar på motsvarande sätt över mellangrupperna mellan $G$ och $G'$ , beräkning av alla principaliseringskärnor $\ker (j_{L/K})$ och alla p-klassgrupper $\mathrm {Cl} _{p}(L)$ översätts till information om kärnorna $\ker(T_{G,H})$$H}}$ , $T_$ { och tillåter exakt specifikation av den andra p-klassgruppen $G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/K)$ av $K$ via mönsterigenkänning , och tillåter ofta till och med att dra slutsatser om hela p-klassens fälttorn i ${\displaystyle K},$ det vill säga Galois-gruppen $\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)/K)$ av den maximala oframifierade pro- p extension $F_{p}^{ \infty }(K)$ av $K$ .

Dessa idéer är explicita redan i tidningen från 1934 av A. Scholz och O. Taussky. I dessa tidiga skeden mönsterigenkänning av att specificera annihilatoridealerna , eller symboliska ordningar , och Schreier-relationerna för metabelska p -grupper och därefter använda en unikhetsteorem om gruppförlängningar av O. Schreier. Nuförtiden använder vi p -gruppsgenereringsalgoritmen från MF Newman och EA O'Brien för att konstruera avkomliga träd av p -grupper och söka mönster, definierade av kärnor och mål för Artin-överföringar, bland hörnen av dessa träd.

Galois kohomologi

I kapitlet om cykliska förlängningar av talfält av primegrad i hans talrapport från 1897, bevisar D. Hilbert en serie avgörande satser som kulminerar i sats 94, den ursprungliga grodden till klassfältteorin. Idag kan dessa satser ses som början på vad som nu kallas Galois kohomologi. Hilbert betraktar en finit relativ förlängning $L/K$ av algebraiska talfält med cyklisk Galois-grupp $G=\mathrm {Gal} (L /K)=\langle \sigma \rangle$ genererad av en automorfism $\sigma$ så att $\sigma ^{\ell }=1$ för den relativa graden $\ell =[L:K]$ , vilket antas vara ett udda primtal.

Han undersöker två endomorfismer av enhetsgruppen $U=U_{L}$ i förlängningsfältet, ses som en Galois-modul med avseende på gruppen $G$ , kortfattat en $G$ -modul. Den första endomorfismen

$${\begin{cases}\Delta :U\to U\\E\mapsto E^{\sigma -1}: =\sigma (E)/E\end{cases}}$$

är den symboliska exponentieringen med skillnaden ${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]} ,$ och den andra endomorfismen

$${\begin{cases}N:U\to U\\E\mapsto E^{T_{G }}:=\prod _{i=0}^{\ell -1}\sigma ^{i}(E)\end{cases}}$$

är den algebraiska normavbildningen , det vill säga den symboliska exponentieringen med spåret

$$T_{G}=\sum _{i=0}^{\ell -1}\sigma ^{i}\in \mathbb {Z} [G].$$

Faktum är att bilden av den algebraiska normkartan finns i enhetsgruppen $U_{K}$ i basfältet och $N(E) =\mathrm {N} _{L/K}(E)$ sammanfaller med den vanliga aritmetiska (fält-)normen som produkten av alla konjugat. Endomorfismernas sammansättning uppfyller relationerna $\Delta \circ N=1$ och $N\circ \Delta =1$ .

Två viktiga kohomologigrupper kan definieras med hjälp av kärnorna och bilderna av dessa endomorfismer. Den nollte Tate-kohomologigruppen för $G$ i $U_{L}$$H^{0}(G,U_{L}):=\ker(\Delta )/\mathrm {im} (N)=U_{K}/\ mathrm {N} _{L/K}(U_{L})$ av kvoten bestående av normresterna av $U_{K}$ och den minus första Tate-kohomologigruppen av $G$ i $L}}$$H^{-1}(G,U_{L}):=\ker(N)/\mathrm {im} (\Delta )=E_{L/K}/U_{L}^{\sigma -1}$ ges av kvoten $E_{L/K}=\{E\in U_{L}|N(E)=1\}$ gruppen av relativa enheter av $L/K$ modulo undergruppen av symboliska potenser av enheter med formell exponent $\sigma -1$ .

I sin sats 92 bevisar Hilbert förekomsten av en relativ enhet $H\in E_{L/K}$ som inte kan uttryckas som $H=\ sigma (E)/E$${\displaystyle H^{-1}(G,U_{L})=E_{L/K}/U_{L}^{\sigma -1}} är icke-trivial av ordningen$ för vilken enhet som helst ${\displaystyle E\in U_{L}} ,$ vilket betyder att minus första kohomologigruppen med $\ell$ . Men med hjälp av en helt liknande konstruktion, minus första kohomologigruppen $H^{-1}(G,L^{\times })=\{A\in L^{\times}|N(A )=1\}/(L^{\times })^{\sigma -1}$ av $G$ -modulen $L^{\times }=L \setminus \{0\}$ , den multiplikativa gruppen för superfältet ${\displaystyle L} ,$ kan definieras, och Hilbert visar dess trivialitet $H^{-1 }(G,L^{\times })=1$ i hans berömda sats 90 .

Så småningom är Hilbert i stånd att ange sin berömda sats 94 : Om $L/K$ är en cyklisk förlängning av talfält med udda prime grad $\ell$ med trivial relativ diskriminant ${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/K}={\mathcal {O}}_{K}} , vilket betyder att den är oframifierad$ vid finita primtal , då finns det ett icke-principiellt ideal ${\mathfrak {j}}\in {\mathcal {I}}_{K}\setminus {\mathcal {P}}_{K}$ i basfältet ${ \displaystyle K}$ som blir principal i tilläggsfältet $L$ , det vill säga ${\displaystyle {\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L }=A{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {P}}_{L}} för$ vissa $A\in {\mathcal {O}}_{L }$ . Dessutom ${\displaystyle \ell }:$ e potensen av detta icke-principiella ideal principiell i basfältet $K$ , i synnerhet ${\ displaystyle {\mathfrak {j}}^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{K}\in {\mathcal {P}}_{ K}}$ , därför måste klassnumret för basfältet vara delbart med $\ell$ och tilläggsfältet $L$ kan kallas ett klassfält av $K$ . Beviset går som följer: Sats 92 säger att det finns enhet $H\in E_{L/K}\setminus U_{L}^{\sigma -1}$ , då säkerställer sats 90 att det finns en (nödvändigtvis icke-enhet) $A\in L^{\times }$ så att $H=A^{\sigma -1}$ , dvs $A^{\sigma }=A\cdot H$ . Genom att multiplicera $A$ med korrekt heltal vid behov kan vi anta att $A$ är ett algebraiskt heltal. Icke-enheten $A$ genererar ett tvetydigt principideal för $L/K$ , eftersom $(A{\mathcal {O}}_{L})^{\sigma }=A^{\sigma }{\mathcal {O}}_{L}=A\cdot H{\mathcal { O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}$ . Det underliggande idealet ${\mathfrak {j}}:=(A{\mathcal {O}}_{L})\cap {\mathcal {O} }_{K}$ i underfältet $K$ kan inte vara principal. Antag tvärtom att ${\mathfrak {j}}=\beta {\mathcal {O}}_{K}$ för vissa $\beta \in {\ mathcal {O}}_{K}$ . Eftersom $L/K$ är oförgrenad är varje tvetydigt ideal ${\mathfrak {a}}$ av ${\mathcal {O}}_{L}$ ett lyft av något ideal i ${\mathcal {O}}_{K}$ , särskilt ${\mathfrak {a}}=({\mathfrak { a}}\cap {\mathcal {O}}_{K}){\mathcal {O}}_{L}$ . Därför $\beta {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}=A{ \mathcal {O}}_{L}$ och därmed $A=\beta E$ för någon enhet $E\in U_{L}$ . Detta skulle innebära motsägelsen $H=A^{\sigma -1}=(\beta E)^{\sigma -1} =E^{\sigma -1}$ eftersom $\beta ^{\sigma -1}=1$ . Å andra sidan,

$${ \mathfrak {j}}^{\ell }{\mathcal {O}}_{L}=({\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L})^{\ell }=\ mathrm {N} _{L/K}({\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N} _{L /K}(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}} _{L},$$

alltså ${\displaystyle {\mathfrak {j}}^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}} _{K}} är$ redan principal i basfältet ${\displaystyle K} .$

Satserna 92 ​​och 94 håller inte som angivet för $\ell =2$ , med fälten $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}} )$ och $L=K(i)$ är ett motexempel (i detta speciella fall är ${\displaystyle L} det$ smala Hilbert-klassfältet för $K$ ). Anledningen är att Hilbert endast överväger förgrening vid ändliga primtal men inte vid oändliga primtal (vi säger att ett reellt oändligt primtal av $K$ förgrenas i $L$ om det finns en icke-real förlängning av detta primtal till $L$ ). Detta gör ingen skillnad när $[L:K]$ är udda eftersom förlängningen då är oframifierad vid oändliga primtal. Han noterar dock att satser 92 och 94 gäller för $\ell =2$ förutsatt att vi vidare antar att antalet fält konjugerat till $L$ som är reella är dubbelt så många reella fält som är konjugerat till $K$ . Detta villkor är ekvivalent med att $L/K$ är oframifierad vid oändliga primtal, så sats 94 gäller för alla primtal $\ell$ om vi antar att $L/K$ är oförgrenad överallt.

Sats 94 innebär den enkla olikheten $\#\ker(j_{L/K})\geq \ell =[L:K]$ för ordningen för principaliseringskärnan för tillägget $L/K$ . En exakt formel för ordningen på denna kärna kan emellertid härledas för cyklisk oframifierad (inklusive oändliga primtal) förlängning (inte nödvändigtvis av primtal) med hjälp av Herbrand-kvotienten $h(G,U_ {L})$ av $G$ -modulen $U_{L}$ , som ges av

$$h(G,U_{L}):=\#H^{-1}(G,U_{L})/\#H^{0}(G,U_{L})=(\ker (N):\mathrm {im} (\Delta ))/(\ker(\Delta ):\mathrm {im} (N))=(E_{L/K}:U_{L}^{\sigma - 1})/(U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L})).$$

Det kan visas att $h(G,U_{L})=[L:K]$ (utan att beräkna ordningen för någon av kohomologigrupperna) Eftersom tillägget $L/K$ är oframifierat är det ${\mathcal {I}}_{L}^{G}={\mathcal {I} }_{K}{\mathcal {O}}_{L}$ så ${\mathcal {P}}_{L}^{G}={\ mathcal {P}}_{L}\cap {\mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}$ . Med hjälp av K. Iwasawas isomorfism ${\displaystyle H^{1}(G,U_{L})\cong {\mathcal {P}} _{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}} , specialiserad på en cyklisk förlängning med periodisk kohomologi av längden 2 {\$ displaystyle $}$ , vi får

$${\begin{aligned}\#\ker(j_{L/K})&=\#({\mathcal {P}}_{L}\cap { \mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#({ \mathcal {P}}_{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#H^{1}(G,U_ {L})=\#H^{-1}(G,U_{L})\\&=h(G,U_{L})\cdot \#H^{0}(G,U_{L} )=[L:K]\cdot \#H^{0}(G,U_{L})=[L:K]\cdot (U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}( U_{L}))\end{aligned}}$$

Denna relation ökar den nedre gränsen med faktorn ${\displaystyle (U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L}))$ , det så kallade enhetsnormindexet .

Historia

Som nämnts i huvudavsnittet försökte flera utredare generalisera Hilbert-Artin-Furtwänglers principidealsats från 1930 till frågor som rör principaliseringen i mellanliggande förlängningar mellan basfältet och dess Hilbertklassfält. Å ena sidan etablerade de allmänna satser om principaliseringen över godtyckliga talfält, såsom Ph. Furtwängler 1932, O. Taussky 1932, O. Taussky 1970 och H. Kisilevsky 1970. Å andra sidan sökte de efter konkreta numeriska exempel på principalisering i oförgrenade cykliska förlängningar av särskilda typer av basfält.

Kvadratiska fält

Principaliseringen av $3$ -klasser av imaginära kvadratiska fält $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ med $3$ -klass rang två i oframifierade cykliska kubiska förlängningar beräknades manuellt för tre diskriminanter $d\in \{-3299,-4027,-9748\}$ av A. Scholz och O Taussky 1934. Eftersom dessa beräkningar kräver sammansättning av binära kvadratiska former och explicit kunskap om grundläggande enhetssystem i kubiktalsfält, vilket var en mycket svår uppgift 1934, stannade undersökningarna i vila i ett halvt sekel tills F.-P . Heider och B. Schmithals använde CDC Cyber ​​76-datorn vid universitetet i Köln för att utöka informationen om principalisering till intervallet $-2\cdot 10^{4}<d< 10^{5}$ innehållande $27$ relevanta diskriminanter 1982, vilket ger den första analysen av fem verkliga kvadratiska fält. Två år senare beräknade JR Brink principaliseringstyperna för $66$ komplexa kvadratiska fält. För närvarande är den mest omfattande beräkningen av principaliseringsdata för alla $4596$ kvadratiska fält med diskriminanter $-10^{6}<d<10^{7}$ och ${ \displaystyle 3}$ -klassgrupp av typen $(3,3)$ beror på DC Mayer 2010, som använde sin nyligen upptäckta koppling mellan överföringskärnor och överföringsmål för utformningen av en ny principalisering algoritm .

$2$ -principaliseringen i oframifierade kvadratiska förlängningar av imaginära kvadratiska fält med $2$ -klassgrupp av typ $(2,2)$ studerades av H. Kisilevsky i 1976. Liknande undersökningar av verkliga kvadratiska fält utfördes av E. Benjamin och C. Snyder 1995.

Kubiska fält

$2$ -principaliseringen i oframifierade kvadratiska förlängningar av cykliska kubiska fält med $2$ -klassgrupp av typ $(2,2)$ undersöktes av A. Derhem i 1988. Sju år senare studerade M. Ayadi $3$ -principaliseringen i oframifierade cykliska kubiska förlängningar av cykliska kubiska fält $K\subset \mathbb {Q} (\zeta _ {f})$ , $\zeta _{f}^{f}=1$ , med $3$ -klassgrupp av typ $(3 ,3)$ och ledaren $f$ delbara med två eller tre primtal.

Sextiska fält

År 1992 undersökte MC Ismaili $3$ -principaliseringen i oframifierade cykliska kubiska förlängningar av den normala stängningen av rena kubiska fält $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[ {3}]{D}})$ , i det fall att detta sextiska talfält $N=K(\zeta _{3})$ , $\zeta _{3}^{3}=1$ , har en $3$ -klassgrupp av typen $(3,3)$ .

Kvartiska fält

År 1993 studerade A. Azizi $2$ -principaliseringen i oframifierade kvadratiska förlängningar av biquadratiska fält av Dirichlet typ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt { d}},{\sqrt {-1}})$ med $2$ -klassgrupp av typ $(2,2)$ . Senast, 2014, utökade A. Zekhnini undersökningarna till Dirichlet-fält med $2$ -klassgrupp av typ $(2,2,2)$ , vilket gav den första exempel på $2$ -principalisering i de två skikten av oframifierade kvadratiska och biquadratiska förlängningar av kvartsfält med klassgrupper om $2$ -rang tre.

Se även

Både den algebraiska, gruppteoretiska tillgången till principaliseringsproblemet av Hilbert-Artin-Furtwängler och den aritmetiska, kohomologiska tillgången av Hilbert-Herbrand-Iwasawa presenteras också i detalj i de två kapitulationsbiblerna av J.-F. Jaulent 1988 och av K. Miyake 1989.

Sekundära källor

•   Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , red. (1967). Algebraisk talteori . Akademisk press. Zbl 0153.07403 .
•     Iwasawa, Kenkichi (1986). Lokal klassfältteori . Oxford matematiska monografier. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-504030-2 . MR 0863740 . Zbl 0604.12014 .
•   Janusz, Gerald J. (1973). Algebraiska nummerfält . Ren och tillämpad matematik. Vol. 55. Akademisk press. sid. 142. Zbl 0307.12001 .
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraisk talteori . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•    Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Kohomologi av nummerfält . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (på tyska). Vol. 323 (andra upplagan). Springer-Verlag . ISBN 3-540-37888-X . Zbl 1136.11001 .