Artin ömsesidighetslag

Artin reciprocity law , som fastställdes av Emil Artin i en serie artiklar (1924; 1927; 1930), är en allmän teorem inom talteorin som utgör en central del av global klassfältteorin . Termen " reciprocitetslag " hänvisar till en lång rad mer konkreta talteoretiska påståenden som den generaliserade, från den kvadratiska ömsesidighetslagen och Eisensteins och Kummers ömsesidighetslagar till Hilberts produktformel för normsymbolen . Artins resultat gav en dellösning på Hilberts nionde problem .

Påstående

Låt $L/K$ vara en Galois-förlängning $L$ globala fält och $C_{L}$ står för den inaktiva klassgruppen L . Ett av uttalandena i Artins ömsesidighetslag är att det finns en kanonisk isomorfism som kallas den globala symbolkartan

{\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\

där ${\text{ab}}$ betecknar abelianiseringen av en grupp. Kartan $\theta$ definieras genom att sammanställa kartorna som kallas den lokala Artin-symbolen , den lokala ömsesidighetskartan eller normrestsymbolen

\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_ {v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},

för olika platser $v$ av $K$ . Mer exakt, $\theta$ ges av de lokala kartorna $\theta _{v}$ på $v$ -komponenten i en inaktiv klass. Kartorna $\theta _{v}$ är isomorfismer. Detta är innehållet i den lokala ömsesidighetslagen , en huvudsats inom lokal klassfältteorin .

Bevis

Ett kohomologiskt bevis på den globala ömsesidighetslagen kan uppnås genom att först fastställa det

(\operatörsnamn {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})

utgör en klassbildning i betydelsen Artin och Tate. Då bevisar man det

{\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatörsnamn {

där ${\hat {H}}^{i}$ betecknar Tate-kohomologigrupperna . Genom att utarbeta kohomologigrupperna fastställs att $\theta$ är en isomorfism.

Betydelse

Artins ömsesidighetslag innebär en beskrivning av abelianiseringen av den absoluta Galois-gruppen av ett globalt fält K som bygger på Hasse lokal-globala princip och användningen av Frobenius-elementen . Tillsammans med Takagi existenssatsen används den för att beskriva de abelska förlängningarna av K i termer av aritmetiken av K och för att förstå beteendet hos de icke-arkimediska platserna i dem. Därför kan Artins ömsesidighetslag tolkas som en av huvudsatserna inom global klassfältteorin. Det kan användas för att bevisa att Artin L-funktioner är meromorfa , och även för att bevisa Chebotarevs densitetssats .

Två år efter publiceringen av sin allmänna ömsesidighetslag 1927, återupptäckte Artin I. Schurs överföringshomomorfism och använde ömsesidighetslagen för att översätta principaliseringsproblemet för idealklasser av algebraiska talfält till den gruppteoretiska uppgiften att bestämma överföringarnas kärnor av ändliga icke-abelska grupper.

Finita förlängningar av globala fält

Definitionen av Artin-kartan för en finit abelisk förlängning L / K av globala fält (som en finit abelisk förlängning av $\mathbb {Q}$ ) har en konkret beskrivning i termer av primideal och Frobenius-element .

Om ${\mathfrak {p}}$ är ett primtal av K så är nedbrytningsgrupperna av primtal ${\mathfrak {P}}$ ovanför ${\mathfrak {p}}$ lika i Gal( L / K ) eftersom den senare gruppen är abelisk . Om ${\mathfrak {p}}$ är oframifierad i L , då är nedbrytningsgruppen $D_{\mathfrak {p}}$ kanoniskt isomorf till Galois-gruppen av förlängningen av restfält ${\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}$ över ${\mathcal { O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}$ . Det finns därför ett kanoniskt definierat Frobenius-element i Gal( L / K ) betecknat med $\mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}$ eller $\ vänster({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\höger)$ . Om Δ betecknar den relativa diskriminanten för L / K , definieras Artin-symbolen (eller Artin-kartan , eller (global) reciprocitetskarta ) av L / K på gruppen av primtal-till-Δ-bråkideal , $I_{K}^{\Delta }$ , genom linjäritet:

{\begin{ fall}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatörsnamn {Gal} (L/K)\\\prod _{i =1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K} {{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}

Artin ömsesidighetslagen (eller global ömsesidighetslagen ) säger att det finns en modul c för K så att Artin-kartan inducerar en isomorfism

I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{ \mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal } (L/K)

där K _{c ,1} är strålmodulen c , N _{L / K} är normkartan associerad till L / K och $I_{L}^{\mathbf {c} }$ är bråksidealerna för L prime till c . En sådan modul c kallas en definierande modul för L / K . Den minsta definierande modulen kallas ledaren för L / K och betecknas vanligtvis ${\mathfrak {f}}(L/K).$

Exempel

Kvadratiska fält

Om $d\neq 1$ är ett kvadratfritt heltal , $K=\mathbb {Q} ,$ och $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ , sedan $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ kan identifieras med {±1}. Diskriminanten Δ för L över $\mathbb {Q}$ är d eller 4 d beroende på om d ≡ 1 (mod 4) eller inte. Artin-kartan definieras sedan på primtal p som inte delar Δ med

p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)

där $\left({\frac {\Delta }{p}}\right)$ är Kronecker-symbolen . Mer specifikt är ledaren för $L/\mathbb {Q}$ det huvudsakliga idealet (Δ) eller (Δ)∞ beroende på om Δ är positivt eller negativt, och Artin-kartan på ett primtal-till -Δ ideal ( n ) ges av Kronecker-symbolen $\left({\frac {\Delta }{n}}\right).$ Detta visar att ett primtal p är delat eller inert i L beroende på om $\left({\frac) {\Delta }{p}}\right)$ är 1 eller −1.

Cyklotomiska fält

Låt m > 1 vara antingen ett udda heltal eller en multipel av 4, låt $\zeta _{m}$ vara en primitiv m :te roten av enhet , och låt $L =\mathbb {Q} (\zeta _{m})$ vara det m: te cyklotomiska fältet . $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ kan identifieras med $(\mathbb {Z} /m\mathbb { Z} )^{\times }$ genom att skicka σ till ett _σ som ges av regeln

\sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.

Ledaren för $L/\mathbb {Q}$ är ( m )∞, och Artin-kartan på ett prime-to- m ideal ( n ) är helt enkelt n (mod m ) i $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$

Förhållande till kvadratisk ömsesidighet

Låt p och $\ell$ vara distinkta udda primtal. För enkelhetens skull, låt ${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell } ($ vilket är alltid 1 (mod 4)). Sedan säger kvadratisk ömsesidighet det

\left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).

Relationen mellan kvadratiska och Artin ömsesidighetslagar ges genom att studera kvadratiska fältet $F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})$ och cyklotomiskt fält $L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })$ enligt följande. För det första F ett underfält till L , så om H = Gal( L / F ) och $G=\operatörsnamn {Gal} (L/\mathbb {Q} ),$ sedan $\operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.$ Eftersom den senare har ordning 2 måste undergruppen H vara gruppen av kvadrater i $(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.$ En grundläggande egenskap hos Artin-symbolen säger att för varje primtal-till-ℓ ideal ( n )

\left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\ höger){\pmod {H}}.

När n = p visar detta att $\left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1$ if and only if, p modulo ℓ är i H , dvs om och endast om, p är en kvadratisk modulo ℓ.

Uttalande i termer av L -funktioner

En alternativ version av ömsesidighetslagen, som leder till Langlands-programmet , kopplar Artin L-funktioner associerade med abelska förlängningar av ett nummerfält med Hecke L-funktioner associerade med tecken i klassgruppen idèle.

Ett Hecke-tecken (eller Größencharakter) i ett sifferfält K definieras som ett kvasi-tecken i den inaktiva klassgruppen K . Robert Langlands tolkade Hecke-karaktärer som automorfa former på den reduktiva algebraiska gruppen GL (1) över ringen av adeles av K .

Låt $E/K$ vara en abelsk Galois-förlängning med Galois-grupp G . Sedan för vilket tecken som helst $\sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }$ (dvs endimensionell komplex representation av gruppen G ), finns det ett Hecke-tecken $\chi$ av K så att

L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s) =L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)

där den vänstra sidan är Artin L-funktionen associerad med tillägget med tecknet σ och den högra sidan är Hecke L-funktionen associerad med χ, avsnitt 7.D i.

Formuleringen av Artins ömsesidighetslag som en likhet mellan L -funktioner tillåter formulering av en generalisering till n -dimensionella representationer, även om en direkt överensstämmelse fortfarande saknas.

Anteckningar

^ Helmut Hasse , History of Class Field Theory , i Algebraic Number Theory , redigerad av Cassels och Frölich, Academic Press, 1967, s. 266–279
^ Neukirch (1999) s.391
^ Jürgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, sid. 408. Faktum är att en mer exakt version av ömsesidighetslagen håller reda på förgreningen.
^ Serre (1967) s.140
^ Serre (1979) s.197
^ Serre (1979) s.164
^ Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, kapitel VII
^ Artin, Emil (december 1929), "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159 .
^ ^a ^b Lemmermeyer 2000 , §3.2
^ Milne 2008 , exempel 3.11
^ Milne 2008 , exempel 3.10
^ Milne 2008 , exempel 3.2
^ James Milne, Klassfältteori
^ ^a ^b Gelbart, Stephen S. (1975), Automorphic former on adèle groups , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375 .

Emil Artin (1924) "Über eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Collected Papers , Addison Wesley (1965), 105–124
Emil Artin (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Samlade papper , 131–141
Emil Artin (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Samlade papper , 159–164
Frei, Günther (2004), "Om artins ömsesidighetslags historia i abelska förlängningar av algebraiska talfält: hur Artin leddes till sin ömsesidighetslag", i Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (red.), Arvet efter Niels Henrik Abel. Bidrag från Abels bicentennial-konferens, Universitetet i Oslo, Oslo, Norge, 3–8 juni 2002, Berlin: Springer-Verlag , s. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7 , MR 2077576 , Zbl 1065.11001
Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields , Pure and Applied Mathematics, vol. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
Lang, Serge (1994), Algebraisk talteori , Graduate Texts in Mathematics , vol. 110 (2 uppl.), New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4 , MR 1282723
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9 , MR 1761696 , Zbl 0949.11002
Milne, James (2008), Klassfältteori (v4.0 utg.) , hämtad 2010-02-22
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraisk talteori , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Översatt från tyska av Norbert Schappacher, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6 , Zbl 0956.11021
Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, översatt av Greenberg, Marvin Jay , New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7 , Zbl 0423.12016
Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Local class field theory", i Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (red.), Algebraisk talteori. En instruktionskonferens anordnad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute) med stöd av International Mathematical Union , London: Academic Press, s. 128–161, Zbl 0153.07403
Tate, John (1967), "VII. Global class field theory", i Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (red.), Algebraisk talteori. Handlingar från en instruktionskonferens anordnad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute) med stöd av International Mathematical Union, London: Academic Press, s. 162–203, Zbl 0153.07403

[1] Helmut Hasse , History of Class Field Theory , i Algebraic Number Theory , redigerad av Cassels och Frölich, Academic Press, 1967, s. 266–279

[N99391-2] Neukirch (1999) s.391

[3] Jürgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, sid. 408. Faktum är att en mer exakt version av ömsesidighetslagen håller reda på förgreningen.

[Ser140-4] Serre (1967) s.140

[S79197-5] Serre (1979) s.197

[S79164-6] Serre (1979) s.164

[7] Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, kapitel VII

[8] Artin, Emil (december 1929), "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159 .

[Lemmermeyer_2000_loc=§3.2-9] Lemmermeyer 2000 , §3.2

[10] Milne 2008 , exempel 3.11

[11] Milne 2008 , exempel 3.10

[12] Milne 2008 , exempel 3.2

[milne-13] James Milne, Klassfältteori

[Gelbart-14] Gelbart, Stephen S. (1975), Automorphic former on adèle groups , Annals of Mathematics Studies, vol. 83, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375 .