Dirigent (klassfältteori)

I algebraisk talteori ger ledaren av en finit abelsk förlängning av lokala eller globala fält ett kvantitativt mått på förgreningen i förlängningen. Definitionen av konduktören är relaterad till Artin-kartan .

Lokal konduktör

Låt L / K vara en finit abelsk förlängning av icke-arkimediska lokala fält . Ledaren för L / K , betecknad ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)} ,$ är det minsta icke-negativa heltal n så att den högre enhetsgruppen

$U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{ K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatörsnamn {mod} {\mathfrak {m}}_{ K}^{n}\right)\right\}$

ingår i N _{L / K} ( L ^× ), där N _{L / K} är fältnormkarta och ${\mathfrak {m}}_{K}$ är det maximala idealet för K . På motsvarande sätt n det minsta heltal så att den lokala Artin-kartan är trivial på $U_{K}^{(n)}$ . Ibland definieras ledaren som ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ där n är som ovan.

Ledaren av en förlängning mäter förgreningen. Kvalitativt är förlängningen oförgrenad om, och endast om, ledaren är noll, och den är tam förgrenad om, och endast om, ledaren är 1. Närmare bestämt beräknar ledaren icke-trivialiteten hos högre förgreningsgrupper : om s är det största heltal för vilket den " lägre numreringen " högre förgreningsgruppen G _s är icke-trivial, då ${\mathfrak {f}}(L /K)=\eta _{L/K}(s)+1$ , där η _{L / K} är funktionen som översätts från "lägre numrering" till " övre numrering " av högre förgreningsgrupper.

Dirigenten för L / K är också relaterad till Artin-ledarna av karaktärer från Galois-gruppen Gal( L / K ). Specifikt,

${\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatörsnamn {lcm } \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}$

där χ varierar över alla multiplikativa komplexa tecken i Gal( L / K ), ${\mathfrak {f}}_{\chi }$ är Artin-ledaren för χ, och lcm är den minsta gemensamma multipeln .

Mer allmänna fält

Ledaren kan definieras på samma sätt för L / K en inte nödvändigtvis abelsk finit Galois-förlängning av lokala fält. Det beror dock bara på L ^ab / K , den maximala abelska förlängningen av K i L , på grund av "normbegränsningssatsen", som säger att i denna situation,

$N_{L/K}\left(L^{\times}\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab} }\right)^{\times }\right).$

Dessutom kan ledaren definieras när L och K tillåts vara något mer generella än lokala, nämligen om de är kompletta värderade fält med kvasiändligt restfält.

Arkimedeiska fält

Mestadels för globala ledares skull definieras ledaren för den triviala förlängningen R / R till 0 och ledaren för förlängningen C / R är definierad till 1.

Global ledare

Algebraiska nummerfält

Ledaren för en abelsk förlängning L / K av nummerfält kan definieras, på samma sätt som det lokala fallet, med hjälp av Artin-kartan. Specifikt, låt θ : I ^m → Gal( L / K ) vara den globala Artin-kartan där modulen m är en definierande modul för L / K ; vi säger att Artin reciprocitet gäller för m om θ faktorer genom strålklassgruppen modulo m . Vi definierar ledaren för L / K , betecknad ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)} ,$ att vara den högsta gemensamma faktorn av alla moduler för vilka reciprocitet gäller; i själva verket gäller reciprocitet för ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)} ,$ så det är den minsta sådan modul.

Exempel

• Med utgångspunkt från fältet för rationella tal, säger Kronecker–Weber-satsen att ett algebraiskt talfält K är abelskt över Q om och endast om det är ett underfält till ett cyklotomiskt fält $\mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)$ , där $\zeta _{n}$ betecknar en primitiv n :te rot av enhet. Om n är det minsta heltal som detta gäller, är ledaren för K då n om K är fixerad genom komplex konjugation och $n\infty$ annars.
• Låt L / K vara $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ där d är ett kvadratfritt heltal. Då

  ${\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases} \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{för }}d>0\\\infty \left|\Delta _ {\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{för }}d<0\end{cases}}$

där $\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ är diskriminanten för $\mathbf {Q} \left( {\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ .

Relation till lokala dirigenter och förgreningar

Den globala ledaren är produkten av lokala ledare:

${\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak { p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.$

Som en konsekvens förgrenas ett ändligt primtal i L / K om, och endast om, det delar ${\mathfrak {f}}(L/K)$ . Ett oändligt primtal v uppstår i ledaren om, och endast om, v är reell och blir komplex i L .

Anteckningar

•    Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1967], Klassfältteori , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4426-7 , MR 2467155
•   Cohen, Henri (2000), Advanced topics in computational number theory , Graduate Texts in Mathematics , vol. 193, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
•    Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields , Pure and Applied Mathematics, vol. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4 , Zbl 0307.12001
• Milne, James (2008), Klassfältteori (v4.0 utg.) , hämtad 2010-02-22
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•    Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", i Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (red.), Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at University of Sussex, Brighton, 1965 , London: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2 , MR 0220701