P-gruppsgenereringsalgoritm

I matematik, särskilt gruppteori , ändliga grupper av primtalsordning $p^{n}$ , för ett fast primtal $p$ och varierande heltalsexponenter $n\geq 0$ , kallas kortfattat ändliga p-grupper .

Algoritmen för generering av p - grupp av MF Newman och EA O'Brien är en rekursiv process för att konstruera det efterkommande trädet för en tilldelad finit p -grupp som tas som trädets rot.

Lägre exponent- p central serie

För en finit p -grupp ${\displaystyle G} är$ den lägre exponent -p centralserien (kortvarigt lägre p -central serie ) av $G$ en fallande serie ${\ displaystyle (P_{j}(G))_{j\geq 0}}$ av karakteristiska undergrupper av $G$ , definierade rekursivt av

$(1)\qquad P_{0}(G):=G$ och $P_{j}(G):=\lbrack P_{j-1}(G),G\rbrack \cdot P_{j-1}(G)^{p}$ , för $j\geq 1$ .

Eftersom varje icke-trivial finit p -grupp $G>1$ är nilpotent, finns det ett heltal $c\geq 1$ så att $P_{c-1}(G)>P_{c}(G)=1$ och $\mathrm {cl} _{p}( G):=c$ kallas exponent- p -klassen (kortfattat p -klass ) för $G$ . Endast trivialgruppen $1$ har $\mathrm {cl} _{p}(1)=0$ . I allmänhet, för vilken ändlig p -grupp ${\displaystyle G} som helst$ , kan dess p -klass definieras som $\mathrm { cl} _{p}(G):=\min \lbrace c\geq 0\mid P_{c}(G)=1\rbrace$ .

Den fullständiga nedre p -centralserien av $G$ ges därför av

$(2) \qquad G=P_{0}(G)>\Phi (G)=P_{1}(G)>P_{2}(G)>\cdots >P_{c-1}(G)>P_{c }(G)=1$ ,

eftersom ${\displaystyle P_{1}(G)=\lbrack P_{ 0}(G),G\rbrack \cdot P_{0}(G)^{p}=\lbrack G,G\rbrack \cdot G^{p}=\Phi (G)} är Frattini$ - undergruppen av $G$ .

För att underlätta för läsaren och för att påpeka den förskjutna numreringen, minns vi att den (vanliga) lägre centrala serien av $G$ också är en fallande serie $( \gamma _{j}(G))_{j\geq 1}$ av karakteristiska undergrupper av $G$ , definierade rekursivt av

$(3)\qquad \gamma _{1}(G):=G$ och ${\displaystyle \gamma _{j}(G):=\lbrack \gamma _{j-1}(G),G\rbrack } , för j ≥ 2 {\displaystyle$ j $}$ .

Som ovan, för varje icke-trivial finit p -grupp $G>1$ , finns det ett heltal $c\geq 1$ så att $\gamma _{c}(G)>\gamma _{c+1}(G)=1$ och $\mathrm {cl} ( G):=c$ kallas nilpotensklassen för $G$ , medan $c+1$ kallas nilpotensindexet för $G$ . Endast trivialgruppen $1$ har $\mathrm {cl} (1)=0$ .

Den fullständiga nedre centrala serien av $G$ ges av

$(4)\ qquad G=\gamma _{1}(G)>G^{\prime }=\gamma _{2}(G)>\gamma _{3}(G)>\cdots >\gamma _{c}( G)>\gamma _{c+1}(G)=1$ ,

eftersom $\gamma _{2}(G)=\lbrack \gamma _{1}(G), G\rbrack =\lbrack G,G\rbrack =G^{\prime }$ är kommutatorundergruppen eller härledd undergrupp av $G$ .

Följande regler bör komma ihåg för exponent- p -klassen:

Låt $G$ vara en finit p -grupp.

R

1. Regel: ${\displaystyle \mathrm {cl} (G)\leq \mathrm {cl} _{p}(G)} ,$ eftersom ${\ displaystyle \gamma _{j}(G)}$ sjunker snabbare än $P_{j}(G)$ .
2. Regel: Om ${\displaystyle \vartheta \in \mathrm {Hom} (G,{\tilde {G}})} ,$ för någon grupp ${\tilde {G}}$ , sedan $\vartheta (P_{j}(G))=P_{j}(\vartheta (G))$ , för alla $j\geq 0$ .
3. Regel: För alla $c\geq 0$ , villkoren $N\triangleleft G$ och $\mathrm {cl} _{p }(G/N)=c$ innebär $P_{c}(G)\leq N$ .
4. Regel: Låt $c\geq 0$ . Om $\mathrm {cl} _{p}(G)=c$ , då ${\ displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=\min(k,c)} , för alla k ≥ {\displaystyle k\geq$, for all $k\geq 0$, in particular, $\mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=k$, for all $0\leq k\leq c$.

Föräldrar och ättlingträd

Föräldern $\pi (G)$ för en finit icke-trivial p -grupp $G>1$ med exponent- p klass ${ \displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=c\geq 1}$ definieras som kvoten $\pi (G):= G/P_{c-1}(G)$ av $G$ av den sista icke-triviala termen $P_{c-1}(G)>1$ av den lägre exponent- p centrala serien av $G$ . Omvänt, i det här fallet kallas ${\displaystyle G} en$ omedelbar ättling av $\pi (G)$ . P -klasserna för förälder och närmaste ättling är sammankopplade med $G)=\mathrm {cl } _{p}(\pi (G))+1}$ ( .

Ett ättlingträd är en hierarkisk struktur för att visualisera relationer mellan föräldrar och ättlingar mellan isomorfismklasser av ändliga p -grupper. Topparna av ett avkommande träd är isomorfismklasser av ändliga p -grupper . En vertex kommer dock alltid att märkas genom att välja en representant för motsvarande isomorfismklass. Närhelst en vertex $\pi (G)$ är föräldern till en vertex $G$ definieras en riktad kant på det efterkommande trädet av $G\to \pi (G)$ i den kanoniska projektionens riktning $\pi :G\to \pi (G)$ på kvoten $\pi (G)=G/P_{c-1}(G)$ .

kan begreppen föräldrar och närmaste ättlingar generaliseras. En vertex $R$ är en avkomling av en vertex $P$ , och $P$ är en förfader till $R$ , om endera $R$ är lika med $P$ eller så finns det en sökväg

$(5)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m -1}\till Q_{m}=P$ , där $m\geq 1$ ,

av riktade kanter från $R$ till $P$ . De hörn som bildar banan sammanfaller med nödvändighet med de itererade föräldrarna $Q_{j}=\pi ^{j}(R)$ av $R$ , med $0\leq j\leq m$ :

${\displaystyle (6)\qquad R=\pi ^{0}( R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P} ,$ där ${ \displaystyle m\geq 1}$ .

De kan också ses som de successiva kvotienterna $Q_{j}=R/P_{cj}(R)$ för p-klass $cj$ av $R$ när p -klassen för $R$ ges av $\mathrm {cl} _{p}(R)=c \geq m$ :

${\ displaystyle (7)\qquad R\simeq R/P_{c}(R)\to R/P_{c-1}(R)\to \cdots \to R/P_{c+1-m}(R) \to R/P_{cm}(R)\simeq P}$ , där $c\geq m\geq 1$ .

definierar varje icke-trivial finit p -grupp ${\displaystyle G>1} en$ maximal väg (bestående av $c=\mathrm {cl} _{p} (G)$ kanter)

${ \displaystyle (8)\qquad G\simeq G/1=G/P_{c}(G)\to \pi (G)=G/P_{c-1}(G)\to \pi ^{2} (G)=G/P_{c-2}(G)\to \cdots }$

$\cdots \to \pi ^{c-1 }(G)=G/P_{1}(G)\to \pi ^{c}(G)=G/P_{0}(G)=G/G\simeq 1$

slutar på trivialgruppen $\pi ^{c}(G)=1$ . Den sista utom en kvoten av den maximala vägen för $G$ är den elementära abelska p -gruppen $\pi ^{c -1}(G)=G/P_{1}(G)\simeq C_{p}^{d}$ av rang $d=d(G)$ , där $d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb { F} _{p}))$ anger generatorrangen för $G$ .

Generellt sett är det avkomliga trädet ${\mathcal {T}}(G)$ i en vertex $G$ underträdet för alla avkomlingar till $G$ , med början vid roten $G$ . Det maximalt möjliga efterkommande trädet ${\mathcal {T}}(1)$ i trivialgruppen $1$ innehåller alla finita p -grupper och är exceptionellt, eftersom trivialgruppen ${\ displaystyle 1}$ har alla oändligt många elementära abelska p -grupper med varierande generatorrang $d\geq 1$ som sina omedelbara ättlingar. Men varje icke-trivial ändlig p -grupp (av ordningen delbar med $p$ ) har bara ändligt många omedelbara ättlingar.

p -täckande grupp, p -multiplikator och kärna

Låt $G$ vara en finit p -grupp med $d$ -generatorer . Vårt mål är att sammanställa en komplett lista över parvisa icke-isomorfa omedelbara ättlingar till $G$ . Det visar sig att alla omedelbara ättlingar kan erhållas som kvoter av en viss förlängning $G^{\ast }$ av $G$ som kallas den p -täckande gruppen av $G$ och kan konstrueras på följande sätt.

Vi kan säkert hitta en presentation av $G$ i form av en exakt följd

$(9)\qquad 1\longrightarrow R\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 1$ ,

där $F$ betecknar den fria gruppen med $d$ -generatorer och $\vartheta :\ F\longrightarrow G$ är en epimorfism med kärnan $R:=\ker(\vartheta )$ . Då $R\triangleleft F$ en normal undergrupp av $F$ som består av de definierande relationerna för $G\simeq F/R$ . För element $r\in R$ och $f\in F$ , konjugatet $f^{-1}rf\in R$ och sålunda ingår även kommutatorn $\lbrack r,f\rbrack =r^{-1}f^{-1}rf\in R$ i $R$ . Följaktligen $R^{\ast }:=\lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p}$ en karakteristisk undergrupp av $R$ , och p -multiplikatorn $R/R^{\ast }$ av $G$ är en elementär abelsk p -grupp, eftersom

$(10)\qquad \lbrack R,R\rbrack \cdot R^{p}\leq \lbrack R ,F\rbrack \cdot R^{p}=R^{\ast }$ .

Nu kan vi definiera den p -täckande gruppen för $G$ med

$(11)\qquad G^{\ast }:=F/R^{\ast }$ ,

och den exakta sekvensen

$(12)\qquad 1\longrightarrow R/R^{\ast }\longrightarrow F/R^{\ast }\ longrightarrow F/R\longrightarrow 1$

visar att $G^{\ast }$ är en förlängning av $G$ av den elementära abelska p -multiplikatorn. Vi ringer

$(13)\qquad \mu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(R /R^{\ast })$

p . -multiplikatorrangen för $\displaystyle G}$ {

Låt oss nu anta att den tilldelade finita p -gruppen $G\simeq F/R$ är av p -klassen $\mathrm {cl} _{p }(G)=c$ . Då innebär villkoren $R\triangleleft F$ och ${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(F/R)=c$ } ${\displaystyle P_{c}(F)\leq R} ,$ enligt regeln (R3), och vi kan definiera kärnan i G $\displaystyle G}$ med

$(14)\qquad P_{c}(G^{\ast })=P_{c }(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$

som en undergrupp av p -multiplikatorn. Följaktligen den nukleära rang

$(15)\qquad \nu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(P_{c}(G^{\ast }))\leq \mu (G)$

av $G$ begränsas ovanifrån av p -multiplikatorrangen.

Tillåtna undergrupper av p -multiplikatorn

Som tidigare, låt $G$ vara en finit p -grupp med $d$ -generatorer .

Förslag. Vilken p -elementär abelisk central förlängning som helst

$(16)\qquad 1\to Z\to H\to G\to 1$

av $G$ av en p -elementär abelsk undergrupp $Z\leq \zeta _{1}(H)$ så att $d(H)=d(G)=d$ är en kvot av p -täckande gruppen $G^{\ast }$ av $G$ .

visa på höger sida för beviset .

Bevis

Anledningen är att eftersom $d(H)=d(G)=d$ existerar en epimorfism $\psi :\ F \till H$ så att $\vartheta =\omega \circ \psi$ , där $\omega :\ H\to H/Z\simeq G$ betecknar den kanoniska projektionen. Följaktligen har vi

$R \ker(\vartheta )=\ker(\omega \circ \psi )=(\omega \circ \psi )^{-1}(1)=\psi ^{-1}(\omega ^{-1} (1))=\psi ^{-1}(Z)$

och därmed $\psi (R)=\psi (\psi ^{-1}(Z))=Z$ . Vidare, $\psi (R^{p})=Z^{p}=1$ , eftersom $Z$ är p -elementär, och ${\displaystyle \psi (\lbrack R,F\rbrack )=\lbrack Z,H\rbrack =1},$ eftersom $Z$ är central. Tillsammans visar detta att $\psi (R^{\ast })=\psi (\lbrack R,F\rbrack \cdot R ^{p})=1$ och därmed inducerar $\psi$ den önskade epimorfismen $\psi ^{\ast }:\ G^{\ast }\to H$ så att $H\simeq G^{\ast }/\ker(\psi ^{\ast })$ .

I synnerhet är en omedelbar ättling $H$ av $G$ en p -elementär abelsk central förlängning

$(17)\qquad 1\to P_{c-1}(H)\to H\to G\to 1$

av $G$ , sedan

$1=P_{c}(H)=\lbrack P_{c-1}( H),H\rbrack \cdot P_{c-1}(H)^{p}$ innebär $P_{c-1}(H)^{p}= 1$ och $P_{c-1}(H)\leq \zeta _{1}(H)$ ,

där ${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(H)$ }

Definition. En undergrupp $M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$ av p -multiplikatorn av $G$ kallas tillåten om den ges av kärnan $M/R^{\ast }=\ker(\psi ^{\ast })$ av en epimorfism $\psi ^{\ast }:\ G^{\ast }\to H$ på en omedelbar ättling $H$ av $G$ .

En ekvivalent karaktärisering är att $1<M/R^{\ast }<R/R^{\ast }$ är en riktig undergrupp som kompletterar kärnan

$(18)\qquad (M/R^{\ast })\cdot (P_ {c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast })=R/R^{\ast }$ .

Därför är den första delen av vårt mål att sammanställa en lista över alla omedelbara ättlingar till $G$ klar, när vi har konstruerat alla tillåtna undergrupper av $R/R^{\ast }$ som kompletterar kärnan $P_{c}(G^{\ast })=P_{c}(F)\cdot R^{ \ast }/R^{\ast }$ , där $c=\mathrm {cl} _{p}(G)$ . Men i allmänhet listan

$(19)\qquad \lbrace F/M\quad \mid \quad M/R^{\ast }\leq R /R^{\ast }{\text{ är tillåtet }}\rbrace$ ,

där ${\displaystyle G^{\ast }/(M/R^{\ast })=( F/R^{\ast })/(M/R^{\ast })\simeq F/M} ,$ kommer att vara redundant, på grund av isomorfismer $F/M_{ 1}\simeq F/M_{2}$ bland de närmaste ättlingarna.

Banor under förlängda automorfismer

Två tillåtna undergrupper $M_{1}/R^{\ast }$ och $M_{2}/R^{\ast }$ kallas ekvivalenta om kvoterna ${\displaystyle F/M_{1}\simeq F/M_{2}} ,$ som är motsvarande omedelbara ättlingar till $G$ , är isomorfa.

En sådan isomorfism $\varphi :\ F/M_{1}\to F/M_{2}$ mellan omedelbara ättlingar till $G= F/R$ med $c=\mathrm {cl} _{p}(G)$ har egenskapen att ${\displaystyle \varphi (R/M_{1})=\varphi (P_{c }(F/M_{1}))=P_{c}(\varphi (F/M_{1}))=P_{c}(F/M_{2})=R/M_{2}} och$ därmed inducerar en automorfism $\alpha \in \mathrm {Aut} (G)$ av $G$ som kan utökas till en automorfism $\alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })$ av p -täckande gruppen $G^{\ast }= F/R^{\ast }$ av $G$ . Begränsningen av denna utökade automorfism $\alpha ^{\ast }$ till p -multiplikatorn $R/R^{\ast }$ av $G$ bestäms unikt av $\alpha$ .

Eftersom $\alpha ^{\ast }(M/R^{\ast })\cdot P_{c}(F/R^{\ast})=\alpha ^{\ast }\lbrack M/R^ {\ast }\cdot P_{c}(F/R^{\ast })\rbrack =\alpha ^{\ast }(R/R^{\ast })=R/R^{\ast }$ , varje utökad automorfism $\alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })$ inducerar en permutation $\alpha ^{\prime }$ av de tillåtna undergrupperna $M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$ . Vi definierar $P:=\langle \alpha ^{\prime }\mid \alpha \in \mathrm {Aut} (G)\rangle$ att vara permutationsgruppen som genereras av alla permutationer inducerade av automorfismer av $G$ . Då är kartan ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)\to P} ,$ α $\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\prime }}$ en epimorfism och ekvivalensklasserna för tillåtna undergrupper $M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }$ är exakt banorna för tillåtna undergrupper under inverkan av permutationen grupp $P$ .

Så småningom kommer vårt mål att sammanställa en lista $\lbrace F/M_{i}\mid 1\leq i\leq N\rbrace$ över alla omedelbara ättlingar till ${ \displaystyle G}$ kommer att göras när vi väljer en representativ $M_{i}/R^{\ast }$ för var och en av de $N$ -banorna i tillåtna undergrupper av $R/R^{\ast }$ under åtgärden $P$ . Detta är precis vad p -gruppgenereringsalgoritmen gör i ett enda steg av den rekursiva proceduren för att konstruera det avkomliga trädet för en tilldelad rot.

Kapabel p -grupper och stegstorlekar

En finit p -grupp $G$ kallas kapabel (eller utdragbar ) om den har minst en omedelbar ättling, annars är den terminal (eller ett löv ). Den nukleära rangordningen $\nu (G)$ för $G$ medger ett beslut om förmågan hos $G$ :

• $G$ är terminal om och endast om $\nu (G)=0$ .
• $G$ är kapabel om och endast om $\nu (G)\geq 1$ .

När det gäller kapacitet har $G=F/R$ omedelbara ättlingar till $\nu =\nu (G)$ olika stegstorlekar $1\leq s\leq \nu$ , beroende på index $(R/R^{\ast }:M/R^{ \ast })=p^{s}$ av motsvarande tillåtna undergrupp $M/R^{\ast }$ i p -multiplikatorn $R/R^{\ ast }$ . När $G$ är i ordning $\vert G\vert =p^{n}$ , då är en omedelbar ättling av stegstorlek $s$ av ordningen $\#(F/M)=(F/R^{\ast }:M/ R^{\ast })=(F/R^{\ast}:R/R^{\ast})\cdot (R/R^{\ast}:M/R^{\ast})$$=\#(F/R)\cdot p^{s}=\vert G\vert \cdot p^{s}=p^{n }\cdot p^{s}=p^{n+s}$ .

För det relaterade fenomenet med multifurkation av ett ättlingträd vid en vertex $G$ med nukleär rang $\nu (G)\geq 2$ se artikeln om ättlingträd .

Algoritmen för generering av p -grupp ger flexibiliteten att begränsa konstruktionen av omedelbara avkomlingar till de av en enda fast stegstorlek ${\displaystyle 1\leq s\leq \nu } ,$ vilket är mycket bekvämt i fallet med enorma ättlingstal (se nästa avsnitt).

Antal närmaste ättlingar

Vi betecknar antalet av alla närmaste ättlingar resp. omedelbara ättlingar av stegstorlek $s$ , av $G$ med $N$ , resp. $N_{s}$ . Då har vi $N=\summa _{s=1}^{\nu }\,N_{s}$ . Som konkreta exempel presenterar vi några intressanta finita metabelska p -grupper med omfattande uppsättningar av omedelbara ättlingar, med hjälp av SmallGroups- identifierare och dessutom pekar ut talen $0\leq C_{s}\leq N_{ s}$ av kapabla omedelbara ättlingar i det vanliga formatet $(N_{1}/C_{1};\ldots ;N_{\nu }/C_ {\nu })$ som ges av faktiska implementeringar av p -gruppsgenereringsalgoritmen i datoralgebrasystemen GAP och MAGMA.

Låt först $p=3$ .

Vi börjar med grupper som har abelianisering av typen $(3,3)$ . Se figur 4 i artikeln om ättlingträd .

• Gruppen $\langle 27,3\rangle$ av samklass $1$ har rangorden $\nu =2$ , $\mu =4$ och efterkommande nummer $(4/1;7/5)$ , $N=11$ .
• Gruppen $\langle 243,3\rangle =\langle 27,3\rangle -\#2;1$ av samklass $2$ har rangorden $\nu =2$ , $\mu =4$ och efterkommande nummer $(10/6;15/15)$ , $N=25$ .
• En av dess närmaste ättlingar, gruppen $\langle 729,40\rangle =\langle 243,3\rangle -\#1;7$ , har rangorden $\nu =2$ , $\mu = 5$ och efterkommande nummer $(16/2;27/4)$ , $N=43$ .

Däremot är grupper med abelianisering av typen $(3,3,3)$ delvis placerade bortom gränsen för beräkningsbarhet.

• Gruppen $\langle 81,12\rangle$ av coclass $2$ har rangorden $\nu =2$ , $\mu =7$ och efterkommande nummer $(10/2;100/50)$ , $N=110$ .
• Gruppen $\langle 243,37\rangle$ av samklass $3$ har rangorden $\nu =5$ , $\mu =9$ och ättlingssiffror $350652/202266; \ ldots)}$ , $N>4\cdot 10^{5}$ okänd.
• Gruppen $\langle 729,122\rangle$ av samklass $4$ har rangorden $\nu =8$ , $\mu =11$ och ättlingnummer $(45/3;117919/1377;\ldots )$ , $N>10^{5}$ okänt.

Låt sedan $p=5$ .

Motsvarande grupper med abelianisering av typen $(5,5)$ har större avkomstal än för $p=3$ .

• Gruppen $\langle 125,3\rangle$ av samklass $1$ har rangorden $\nu =2$ , $\mu =4$ och efterkommande nummer $(4/1;12/6)$ , $N=16$ .
• Gruppen $\langle 3125,3\rangle =\langle 125,3\rangle -\#2;1$ av samklass $2$ har rangorden $\nu =3$ , $\mu =5$ och efterkommande nummer $(8/3;61/61;47/47)$ , $N =116$ .

Schur multiplikator

Via isomorfismen $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to \mu _{\infty }$ , ${\frac {n}{d}}\mapsto \exp \left({\frac {n}{d}}\cdot 2\pi i\right)$ kvotgruppen $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\left\lbrace {\frac {n}{d}}\cdot \mathbb {Z} \mid d \geq 1,\ 0\leq n\leq d-1\right\rbrace$ kan ses som den additiva analogen till den multiplikativa gruppen ${ \displaystyle \mu _{\infty }=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid z^{d}=1{\text{ för något heltal }}d\geq 1\rbrace } av alla rötter$ av enhet .

Låt $p$ vara ett primtal och $G$ vara en finit p -grupp med presentation $G=F/R$ som i föregående avsnitt. Sedan den andra kohomologigruppen $M(G):=H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ av $G$ -modulen $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ kallas Schur-multiplikatorn för $G$ . Det kan också tolkas som kvotgruppen $M(G)=(R\cap \lbrack F,F\rbrack )/ \lbrack F,R\rbrack$ .

IR Shafarevich har bevisat att skillnaden mellan relationen rang $r(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p }}(H^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))$ av $G$ och generatorrankningen ${\displaystyle d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))} av$ G $\ displaystyle G}$ ges av det minimala antalet generatorer av Schur-multiplikatorn av $G$ , det vill säga $r(G)- d(G)=d(M(G))$ .

N. Boston och H. Nover har visat att $\mu (G_{j})-\nu (G_{j})\leq r( G)$ , för alla kvotienter $G_{j}:=G/P_{j}(G)$ av p -klass $\mathrm {cl} _{p}(G_{j})=j$ , $j\geq 0$ , av en pro- p grupp $G$ med finit abelianisering $G/G^{\prime }$ .

Vidare har J. Blackhurst (i appendix On the nucleus of certain p-groups i en artikel av N. Boston, MR Bush och F. Hajir) bevisat att en icke-cyklisk finit p -grupp $G$ med trivial Schur-multiplikator $M(G)$ är en terminal vertex i släktträdet ${\mathcal {T}}(1)$ i trivialgruppen $1$ , det vill säga $M(G)=1$$\Rightarrow$$\nu (G)=0$ .

Exempel

• En finit p -grupp $G$ har en balanserad presentation $r(G)=d(G)$ om och endast om ${\displaystyle r(G)-d(G)=0=d(M(G))} ,$ det vill säga om och endast om dess Schur-multiplikator ${ \displaystyle M(G)=1}$ är trivialt. En sådan grupp kallas en Schur-grupp och den måste vara ett löv i ättlingträdet ${\mathcal {T}}(1)$ .
• En finit p -grupp $G$ uppfyller $r(G)=d(G)+1$ om och endast om ${\displaystyle r(G)-d(G)=1=d(M(G))} ,$ det vill säga om och endast om den har en icke-trivial cyklisk Schur multiplikator $M(G)$ . En sådan grupp kallas en Schur+1-grupp .