Artin transfer (gruppteori)

Inom det matematiska fältet av gruppteori är en Artin-överföring en viss homomorfism från en godtycklig finit eller oändlig grupp till kommutatorkvotgruppen för en undergrupp av finita index. Ursprungligen uppstod sådana mappningar som gruppteoretiska motsvarigheter till klassextensionshomomorfismer av abelska förlängningar av algebraiska talfält genom att tillämpa Artins reciprocitetskartor på ideala klassgrupper och analysera de resulterande homomorfismerna mellan kvoter av Galois-grupper. Oberoende av talteoretiska tillämpningar har emellertid en partiell ordning på kärnorna och målen för Artin-överföringar nyligen visat sig vara kompatibel med förälder-ättling-relationer mellan ändliga p -grupper (med ett primtal p ), som kan visualiseras i efterkommande träd . Därför tillhandahåller Artin-överföringar ett värdefullt verktyg för klassificeringen av ändliga p -grupper och för att söka och identifiera särskilda grupper i efterkommande träd genom att leta efter mönster som definieras av kärnorna och målen för Artin-överföringar. Dessa strategier för mönsterigenkänning är användbara i rent gruppteoretiska sammanhang, såväl som för tillämpningar inom algebraisk talteori angående Galois-grupper av högre p -klassfält och Hilbert p -klassfälttorn .

Transversaler av en undergrupp

Låt $G$ vara en grupp och $H\leq G$ vara en undergrupp av finita index $n.$

Definitioner. En vänster transversal av $H$ i $G$ är ett ordnat system $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ av representanter för vänster cosets av $H$ i $G$ så att

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.$

På liknande sätt är en höger tvärgående av $H$ i $G$ ett ordnat system $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ av representanter för rätt cosets av $H$ i $G$ så att

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hd_{i}.$

Anmärkning. För varje transversal av $H$ i $G$ finns det en unik nedsänkt skrift $1\leq i_{0}\leq n$ så att ${\ displaystyle g_{i_{0}}\in H}$ , resp. $d_{i_{0}}\in H$ . Naturligtvis kan detta element med nedsänkt $i_{0}$ som representerar den huvudsakliga coset (dvs. undergruppen $H$ själv) ersättas, men behöver inte, ersättas av det neutrala elementet ${\ displaystil 1}$ .

Lemma. Låt $G$ vara en icke-abelsk grupp med undergrupp $H$ . Sedan de inversa elementen $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ av en vänster transversal $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ av $H$ i $G$ bildar en höger transversal av $H$ i $G$ . Dessutom, om $H$ är en normal undergrupp av $G$ , så är vilken vänster transversal också en höger transversal av $H$ i $G$ .

Bevis. Eftersom mappningen $x\mapsto x^{-1}$ är en involution av $G$ ser vi att:

${\displaystyle G=G^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}(g_{i}H)^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}H ^{-1}g_{i}^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hg_{i}^{-1}.} För en normal undergrupp H {\displaystyle$

H $har$ vi $xH=Hx$ för varje $x\in G$ .

Vi måste kontrollera när bilden av en transversal under en homomorfism också är en transversal.

Förslag. Låt $\phi :G\to K$ vara en grupphomomorfism och $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ vara en vänster transversal av en undergrupp $H$ i $G$ med ändligt index $n.$ Följande två villkor är likvärdiga:

• $(\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))$ är en vänster transversal av undergruppen $\phi (H)$ i bilden $\phi (G)$ med ändligt index $(\phi (G):\phi (H))=n.$
• $\ker(\phi )\leq H.$

Bevis. Som en mappning av mängder mappar $\phi$ unionen till en annan förening:

${\displaystyle \phi (G)=\phi \left(\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}H\right)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i}H)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),} men$

försvagar likhet för skärningspunkten till en trivial inkludering:

${\displaystyle \emptyset =\phi (\emptyset )=\phi (g_{i}H\cap g_{j}H)\subseteq \phi (g_{i}H)\cap \phi (g_{j}H) )=\phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H),\qquad i\neq j.} Antag för$

vissa ${ \displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$ :

$\phi (g_{i})\phi (H )\cap \phi (g_{j})\phi (H)\neq \emptyset$

så finns det element $h_{i},h_{j}\i H$ så att

$\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\ phi (h_{j})$

Då har vi:

${\ displaystyle {\begin{aligned}\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})&\Longrightarrow \phi (g_{j} )^{-1}\phi (g_{i})\phi (h_{i})\phi (h_{j})^{-1}=1\\&\Longrightarrow \phi \left(g_{j }^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\right)=1\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i} h_{j}^{-1}\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in H&&\ker(\phi )\leq H\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}\in H&&h_{i}h_{j}^{-1}\in H\\&\ Longrightarrow g_{i}H=g_{j}H\\&\Longrightarrow i=j\end{aligned}}}$

Omvänt om $\ker(\phi )\nsubseteq H$ då det finns $x\in G\setminus H$ så att $\phi (x)=1.$ Men homomorfismen $\phi$ kartor de disjunkta bisatserna $x\cdot H\cap 1\cdot H=\emptyset$ är lika med cosets:

$\phi (x)\phi (H)\cap \phi (1)\phi (H)=1\cdot \phi (H)\cap 1\cdot \phi (H)=\phi (H) .$

Anmärkning. Vi betonar den viktiga motsvarigheten av propositionen i en formel:

$\displaystyle (1) \quad \ker(\phi )\leq H\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}\phi (G)=\bigsqcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\ phi (H)\\(\phi (G):\phi (H))=n\end{fall}}}$

Permutationsrepresentation

Antag att $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ är en vänster transversal av en undergrupp $H$ av finita index $n$ i en grupp $G$ . Ett fast element $x\in G$ ger upphov till en unik permutation $\pi _{x}\in S_{n}$ av de vänstra coseten av $H$ i $G$ genom vänstermultiplikation så att:

$(2)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H\Longrightarrow xg_{i }\in g_{\pi _{x}(i)}H.$

Med hjälp av detta definierar vi en uppsättning element som kallas monomialerna associerade med $x$ med avseende på $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ :

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i }\i H.$

På liknande sätt, om $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ är en höger transversal av $H$ i $G$ , då ett fast element $x\in G$ ger upphov till en unik permutation $\rho _{x}\in S_{n}$ av de högra cosets av $H$ i $G$ genom höger multiplikation så att:

$(3)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad Hd_{i}x=Hd_{\rho _{x}(i)}\Longrightarrow d_{i} x\in Hd_{\rho _{x}(i)}.$

Och vi definierar monomialerna associerade med $x$ med avseende på $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ :

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1 }\i H.$

Definition. Mappningarna:

${\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases} }\qquad {\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \rho _{x}\end{cases}}$

kallas permutationsrepresentationen av $G$ i den symmetriska gruppen $S_{n}$ med avseende på $(g_{1},\ldots , g_{n})$ respektive $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ .

Definition. Mappningarna:

${\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x} (n);\pi _{x})\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (w_{x}( 1),\ldots ,w_{x}(n);\rho _{x})\end{cases}}$

kallas den monomiala representationen av $G$ i $H^{n}\ gånger S_{n}$ med avseende på $(g_ {1},\ldots ,g_{n})$ respektive $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ .

Lemma. För höger transversal $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ associerad med vänster transversal $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ , vi har följande relationer mellan monomialerna och permutationerna som motsvarar ett element $x\ i G$ :

$(4)\quad {\begin{cases}w_{x^{ -1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}&1\leq i\leq n\\\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}\end{ fall}}$

Bevis. För den högra tvärgående $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ har vi $w_{x}(i)=g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}$ för varje $1\leq i\leq n$ . Å andra sidan, för den vänstra tvärgående $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ , har vi

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i)^{-1}=\left(g_{\pi _{x}(i)}^ {-1}xg_{i}\right)^{-1}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\pi _{x}(i)}=g_{i}^ {-1}x^{-1}g_{\rho _{x^{-1}}(i)}=w_{x^{-1}}(i).} Denna relation visar samtidigt att, för$

alla $x\in G$ , permutationsrepresentationerna och de tillhörande monomialerna är sammankopplade med $\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}$ och $w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}$ för varje $1\leq i\leq n$ .

Artin överföring

Definitioner. Låt $G$ vara en grupp och $H$ en undergrupp av finita index $n.$ Antag att $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ är en vänster transversal av ${\ displaystyle H}$ i $G$ med tillhörande permutationsrepresentation $\pi _{x}:G\to S_{n},$ så att

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i }\i H.$

Låt på liknande sätt $(d)=(d_{1},\ldots ,d_{n})$ vara en höger tvärgående av $H$ i $G$ med tillhörande permutationsrepresentation $\rho _{x}:G\to S_{n}$ så att

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1 }\i H.$

Artin- överföringen $T_{G,H}^{(g)}:G\to H/H'$$(g_{1},\ldots ,g_{n})$ avseende på definieras som:

$(5)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(g)}(x):=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'.$

På samma sätt definierar vi:

$(6)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(d)}(x):=\prod _{i=1}^{n}d_{i} xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'.$

Anmärkningar. Isaacs kallar mappningarna

${\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\end{cases}}\qquad {\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\end{cases}}$

föröverföringen från $G$ till $\displaystyle H}$ { . Föröverföringen kan vara sammansatt med en homomorfism $\phi :H\to A$ från $H$ till en abelsk grupp $A$ för att definiera en mer allmän version av överföringen från $G$ till $A$ via $\phi$ , som sker i Gorensteins bok.

${\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (u_{x}(i))\ end{cases}}\qquad {\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (w_{x}( i))\end{cases}}$

Med den naturliga epimorfismen

${\begin{cases}\phi :H\to H/H'\\v\mapsto vH'\end{cases}}$

ger den föregående definitionen av Artin-överföringen $H}}$ i sin ursprungliga form av Schur och av Emil Artin, som också har dubbats Verlagerung av Hasse. Observera att i allmänhet är föröverföringen varken oberoende av den transversala eller en grupphomomorfism.

Transversalens oberoende

Förslag. Artin-överföringarna med avseende på två vänstra transversaler av $H$ i $G$ sammanfaller.

Bevis. Låt $(\ell )=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})$ och $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ vara två vänster transversaler av $H$ i $G$ . Då finns det en unik permutation $\sigma \in S_{n}$ så att:

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad g_{i}H=\ell _{\sigma (i)}H.} Följaktligen$

:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\exists h_{i}\in H:\qquad g_{i}h_{i}=\ell _{\sigma (i)} .$

För ett fast element $x\in G$ finns det en unik permutation $\lambda _{x}\in S_{n}$ så att:

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad \ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}H=x\ell _{\sigma (i )}H=xg_{i}h_{i}H=xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H=g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}H=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}H.} Därför är permutationsrepresentationen$

av $G$ med avseende på $(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})$ ges av $\lambda _{x}\circ \sigma =\sigma \circ \pi _{x}$ vilket ger: ${\displaystyle \lambda _{x}=\sigma \circ \pi _{x}\circ \sigma ^{-1}\in S_{n}.} Dessutom, för kopplingen mellan de två elementen$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x} (i)&:=\ell _{\lambda _{x}(i)}^{-1}x\ell _{i}\in H\\u_{x}(i)&:=g_{\ pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H\end{aligned}}} har$

vi:

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad v_{x}(\sigma (i))=\ell _{\lambda _{x}(\sigma (i)) }^{-1}x\ell _{\sigma (i)}=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}^{-1}xg_{i}h_{i}= \left(g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{ x}(i)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^ {-1}u_{x}(i)h_{i}.$

Slutligen eftersom $H/H'$ är abelsk och $\sigma$ och $\pi _ {x}$ är permutationer, Artin-överföringen visar sig vara oberoende av den vänstra transversalen:

$T_{G,H}^{(\ell )}(x)=\prod _{i=1}^{n}v_{x}(\sigma (i))\cdot H'=\prod _{i =1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{ n}u_{x}(i)\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}\prod _{i=1}^{n} h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot 1\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{ x}(i)\cdot H'=T_{G,H}^{(g)}(x),$

enligt definitionen i formel (5).

Förslag. Artin-överföringarna med avseende på vilka två högra transversaler av $H$ i $G$ sammanfaller.

Bevis. I likhet med föregående förslag.

Förslag. Artin överförs med avseende på $(g^{-1})=(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ och $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ sammanfaller.

Bevis. Med formeln (4) och $H/H'$ är abelian har vi:

$T_{G,H}^{(g^{-1})}(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}^{-1}xg_{\rho _ {x}(i)}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{ x^{-1}}(i)^{-1}\cdot H'=\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)\cdot H '\right)^{-1}=\left(T_{G,H}^{(g)}\left(x^{-1}\right)\right)^{-1}=T_{G, H}^{(g)}(x).$

Det sista steget motiveras av det faktum att Artin-överföringen är en homomorfism. Detta kommer att visas i följande avsnitt.

Naturlig följd. Artin-överföringen är oberoende av valet av transversaler och beror endast på $H$ och $G$ .

Artin överförs som homomorfismer

Sats. Låt $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ vara en tvärgående vänster av $H$ i $G$ . Överföringen av Artin

${\begin{cases}T_{G,H}:G \to H/H'\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\end {fall}}$

och permutationsrepresentationen:

${\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}$

är grupphomomorfismer:

$(7)\quad \forall x,y\in G:\qquad T_{G,H}(xy)=T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)\ quad {\text{and}}\quad \pi _{xy}=\pi _{x}\circ \pi _{y}.$

Bevis

Låt $x,y\in G$ :

$T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i )}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'$

Eftersom $H/H'$ är abelsk och $\pi _{y}$ är en permutation, kan vi ändra ordningen på faktorerna i produkten:

${\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{ i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'&=\prod _{j =1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n }g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)} ^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{(\pi _{x}\circ \pi _{y})(j) )}^{-1}xyg_{j}\cdot H'\\&=T_{G,H}(xy)\end{aligned}}$

Detta förhållande visar samtidigt att Artin-överföringen och permutationsrepresentationen är homomorfismer.

Det är upplysande att omformulera homomorfismen hos Artin-överföringen när det gäller den monomiala representationen . Bilderna av faktorerna $x,y$ ges av

$T_{G,H}(x)=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\quad {\text{and}}\quad T_{G ,H}(y)=\prod _{j=1}^{n}u_{y}(j)\cdot H'.$

I det sista beviset visade sig bilden av produkten $xy$ vara

$T_{G,H}(xy)=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1} yg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{n}u_{x}(\pi _{y}(j))\cdot u_{y}(j)\cdot H'$ ,

vilket är en mycket egendomlig sammansättningslag som diskuteras närmare i följande avsnitt.

Lagen påminner om korsade homomorfismer $x\mapsto u_{x}$ i den första kohomologigruppen $\mathrm {H} ^{1}(G,M )$ av en $G$ -modul $M$ , som har egenskapen $u_{xy}=u_{x}^{y}\ cdot u_{y}$ för $x,y\in G$ .

Kransprodukt av H och S ( n )

De säregna strukturer som uppstod i föregående avsnitt kan också tolkas genom att förse den kartesiska produkten $H^{n}\ gånger S_{n}$ med en speciell sammansättningslag känd som kransprodukten $H\wr S_{n}$ av grupperna $H$ och $S_{n}$ med avseende på mängden $\{1,\ldots ,n\}.$

Definition. För $x,y\in G$ , ges kransprodukten av de tillhörande monomierna och permutationerna av

$(8)\quad (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\cdot (u_{y}(1),\ldots ,u_ {y}(n);\pi _{y}):=(u_{x}(\pi _{y}(1))\cdot u_{y}(1),\ldots ,u_{x}( \pi _{y}(n))\cdot u_{y}(n);\pi _{x}\circ \pi _{y})=(u_{xy}(1),\ldots ,u_{ xy}(n);\pi _{xy}).$

Sats. Med denna kompositionslag på $H^{n}\ gånger S_{n}$ den monomiala representationen

${\begin{cases}G\to H\wr S_{n}\\x\ mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}$

är en injektiv homomorfism.

Bevis

Homomorfism-egenskapen har redan visats ovan. För att en homomorfism ska vara injektiv räcker det att visa trivialiteten i dess kärna. Det neutrala elementet i gruppen $H^{n}\times S_{n}$ som är försett med kransprodukten ges av $(1,\ ldots ,1;1)$ , där den sista $1$ betyder identitetspermutationen. Om ${\displaystyle (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n );\pi _{x})=(1,\ldots ,1;1)} ,$ för vissa $x\in G$ , då $\pi _{x} =1$ och följaktligen

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad 1=u_{x}(i)=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{ i}=g_{i}^{-1}xg_{i}.$

$g_{i}$ inre automorfismen med $x=1$ , som krävs för injektivitet .

Anmärkning. Den monomiala representationen av satsen står i kontrast till permutationsrepresentationen, som inte kan vara injektiv om $|G|>n!.$

Anmärkning. Medan Huppert använder den monomiala representationen för att definiera Artin-överföringen, föredrar vi att ge de omedelbara definitionerna i formlerna (5) och (6) och att endast illustrera homomorfismen hos Artin-överföringen med hjälp av den monomiala representationen.

Sammansättning av Artin-överföringar

Sats. Låt $G$ vara en grupp med kapslade undergrupper $K\leq H\leq G$ så att $=n,(H:K)=m}$${\displaystyle ( G:H$$(G:H)\cdot (H:K)=nm<\infty .} Då är$ och $T_{G,K}$ Artin-överföringen sammansättningen av den inducerade överföringen ${\tilde {T}}_{H,K}:H/H'\to K/K'$ och Artin-överföringen $T_{G,H}$ , det vill säga:

${\displaystyle (9)\quad T_{G,K}={\tilde {T}}_{H,K}\circ T_$ .

Bevis

Om $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ är en tvärgående vänster av $H$ i $G$ och $(h_{1},\ldots ,h_{m})$ är en vänstertransversal av $K$ i $H$ , det vill säga $G=\sqcup _{i=1}^{n}g_{i}H$ och $H=\sqcup _{j= 1}^{m}h_{j}K$ , alltså

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigsqcup _{j=1}^{m}g_{i} h_{j}K$

är en disjunkt vänster coset-uppdelning av $G$ med avseende på $K$ .

Givet två element $x\in G$ och $y\in H$ , finns det unika permutationer $\pi _{x}\i S_{n }$ , och ${\displaystyle \sigma _{y}\in S_{m}} ,$ så att

${\begin{aligned}u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H&&{\text {för alla }}1\leq i\leq n\\v_{y}(j)&:=h_{\sigma _{y}(j)}^{-1}yh_{j}\in K&&{\ text{för alla }}1\leq j\leq m\end{aligned}}$

Sedan, förutse definitionen av den inducerade överföringen, har vi

${\begin{aligned}T_{G,H}(x)&=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\\{ \tilde {T}}_{H,K}(y\cdot H')&=T_{H,K}(y)=\prod _{j=1}^{m}v_{y}(j) \cdot K'\end{aligned}}$

För varje par sänkta $1\leq i\leq n$ och $1\leq j\leq m$ sätter vi $y_{i}:=u_{x}(i)$ , och vi får

${\ displaystyle xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=g_{ \pi _{x}(i)}u_{x}(i)h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x }(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}=g_ {\pi _{x}(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}v_{y_{i}}(j),}$

resp.

$h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=v_ {y_{i}}(j).$

${\displaystyle T_{G,K}} av$ ges bilden av $x$ under Artin-överföringen

${\begin{aligned }T_{G,K}(x)&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}v_{y_{i}}(j)\cdot K' \\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{ \pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1 }^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}u_{x}(i)h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i= 1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}\cdot K' \\&=\prod _{i=1}^{n}{\tilde {T}}_{H,K}\left(y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H ,K}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}( T_{G,H}(x))\end{aligned}}$

Slutligen vill vi betona den strukturella egenheten hos den monomiala representationen

${\begin{cases}G\to K^ {n\cdot m}\ gånger S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x} )\end{cases}}$

som motsvarar sammansättningen av Artin-överföringar, definierande

$k_{x}(i,j):= \left((gh)_{\gamma _{x}(i,j)}\right)^{-1}x(gh)_{(i,j)}\in K$

för en permutation $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$ och med den symboliska notationen $(gh)_{(i,j)}:=g_{i}h_{j}$ för alla par av subskript $1\leq i\leq n$ , $1\leq j\leq m$ .

Det har föregående bevis visat

$k_{x}(i,j)=h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1} xg_{i}h_{j}.$

är verkan av permutationen $\gamma _{x}$ på mängden $[1,n]\ gånger [1,m]$ ges av $\gamma _{x}(i,j)=(\pi _{x}( i),\sigma _{u_{x}(i)}(j))$ . Åtgärden på den andra komponenten $j$ beror på den första komponenten $i$ (via permutationen $\sigma _{u_{x}(i) }\in S_{m}$ ), medan åtgärden på den första komponenten $i$ är oberoende av den andra komponenten $j$ . Därför kan permutationen $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$ identifieras med multipletten

$(\pi _{x};\sigma _{u_{x}(1) },\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)})\in S_{n}\times S_{m}^{n},$

som kommer att skrivas i vriden form i nästa avsnitt.

Kransprodukt av S ( m ) och S ( n )

Permutationerna ${\displaystyle \gamma _{x}} ,$ som uppstod som andra komponenter i den monomiala representationen

${\begin{cases}G\to K\wr S_{ n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}$

i föregående avsnitt, är av ett mycket speciellt slag. De tillhör stabilisatorn för den naturliga ekvipartitionen av uppsättningen $[1,n]\ gånger [1,m]$ i de $n$ raderna i motsvarande matris (rektangulär array). Med hjälp av särdragen hos sammansättningen av Artin-överföringar i föregående avsnitt visar vi att denna stabilisator är isomorf till kransprodukten $S_{m}\wr S_{n}$ i de symmetriska grupperna $S_{m}$ och $S_{n}$ med avseende på mängden $\{1,\ldots ,n\}$ , vars underliggande mängd $S_{m}^{n}\times S_{n}$ är utrustad med följande kompositionslag :

${\begin{aligned}(10)\quad \forall x,z \in G:\qquad \gamma _{x}\cdot \gamma _{z}&=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n) };\pi _{x})\cdot (\sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{z}(n)};\pi _{z})\\ &=(\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(1))}\circ \sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}( \pi _{z}(n))}\circ \sigma _{u_{z}(n)};\pi _{x}\circ \pi _{z})\\&=(\sigma _{ u_{xz}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{xz}(n)};\pi _{xz})\\&=\gamma _{xz}\end{aligned}}$

Denna lag påminner om kedjeregeln $D(g\circ f)(x)=D (g)(f(x))\circ D(f)(x)$ för Fréchet-derivatan i $x\in E$ av sammansättningen av differentierbara funktioner $f :E\to F$ och $g:F\to G$ mellan kompletta normerade mellanslag .

Ovanstående överväganden etablerar en tredje representation, stabilisatorrepresentationen ,

${\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{ n}\\x\mapsto (\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}$

av gruppen $G$ i kransprodukten ${\displaystyle S_{m}\wr S_{n}} ,$ liknande permutationsrepresentationen och den monomiala representationen . Till skillnad från det senare kan stabilisatorrepresentationen generellt inte vara injektiv. Till exempel, absolut inte, om $G$ är oändlig. Formel (10) bevisar följande påstående.

Sats. Stabilisatorrepresentationen

${\begin{cases}G\to S_{m}\ wr S_{n}\\x\mapsto \gamma _{x}=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _ {x})\end{case}}$

av gruppen $G$ i kransprodukten $S_{m}\wr S_{n}$ av symmetriska grupper är en grupphomomorfism.

Cykelnedbrytning

Låt $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ vara en vänstertransversal av en undergrupp $H$ av finita index $n$ i en grupp $G$ och $x\mapsto \pi _{x}$ är dess associerade permutationsrepresentation.

Sats. Antag att permutationen $\pi _{x}$ sönderfaller i parvisa disjunkta (och därmed pendlande) cykler ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\$ av längderna $f_{1},\ldots f_{t},$ vilket är unikt upp till ordningen av cyklerna. Mer explicit, antar

$(11)\quad \left(g_{j}H,g_{\zeta _{j}(j)}H,g_ {\zeta _{j}^{2}(j)}H,\ldots ,g_{\zeta _{j}^{f_{j}-1}(j)}H\right)=\left(g_ {j}H,xg_{j}H,x^{2}g_{j}H,\ldots ,x^{f_{j}-1}g_{j}H\höger),$

för $1\leq j\leq t$ , och ${\displaystyle f_{1}+\cdots +f_{t}=n.} Då$ ges bilden av ${\displaystyle x\in G} under Artin-överföringen av$

$(12)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j }\cdot H'.$

Bevis

Definiera $\ell _{j,k}:=x^{k}g_{j}$ för $0\leq k\ leq f_{j}-1$ och $1\leq j\leq t$ . Detta är en vänster tvärgående av $H$ i $G$ sedan

$(13)\quad G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\bigsqcup _{k= 0}^{f_{j}-1}x^{k}g_{j}H$

är en disjunkt sönderdelning av $G$ till vänster cosets av $H$ .

Fixa värdet $1\leq j\leq t$ . Sedan:

${\begin{aligned}x\ell _{j,k}&=xx^{ k}g_{j}=x^{k+1}g_{j}=\ell _{j,k+1}\in \ell _{j,k+1}H&&\forall k\in \{0 ,\ldots ,f_{j}-2\}\\x\ell _{j,f_{j}-1}&=xx^{f_{j}-1}g_{j}=x^{f_{ j}}g_{j}\in g_{j}H=\ell _{j,0}H\end{aligned}}$

Definiera:

${\begin{aligned}u_{x}(j,k)&:=\ell _{ j,k+1}^{-1}x\ell _{j,k}=1\in H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\u_{x }(j,f_{j}-1)&:=\ell _{j,0}^{-1}x\ell _{j,f_{j}-1}=g_{j}^{-1 }x^{f_{j}}g_{j}\in H\end{aligned}}$

Följaktligen,

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}\prod _{k=0}^{f_{j}-1}u_{x}(j,k )\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}\left(\prod _{k=0}^{f_{j}-2}1\right)\cdot u_{x}(j ,f_{j}-1)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H' .$

Cykelsönderdelningen motsvarar en $(\langle x\rangle ,H)$ dubbel coset -sönderdelning av $G$ :

$G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\langle x\rangle g_{j}H$

Det var denna cykelnedbrytningsform av överföringshomomorfismen som gavs av E. Artin i hans ursprungliga papper från 1929.

Överför till en normal undergrupp

Låt $H$ vara en normal undergrupp av finita index $n$ i en grupp $G$ . Då har vi $xH=Hx$ , för alla ${\displaystyle x\in G} ,$ och det finns kvotgruppen $G/H$ av ordningen ${ \displaystyle n}$ . För ett element $x\in G$ låter vi $f:=\mathrm {ord} (xH)$ beteckna ordningen för coset $xH$ i $G/H$ , och vi låter $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ vara en vänster transversal av undergruppen $\langle x,H\rangle$ i $G$ , där $t=n/f$ .

Sats. $T_{G,H}$ bilden av $x\in G$ under Artin transfer av:

$(14)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j =1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'$ .

Bevis

$\langle xH\rangle$ är en cyklisk undergrupp av ordningen $f$ i $G/H$ och en vänster transversal $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ i undergruppen $\langle x,H\rangle$ i $G$ , där $t=n/f$ och $G=\sqcup _{j=1}^{t}g_{j}\langle x, H\rangle$ är motsvarande disjunkta vänster coset-nedbrytning, kan förfinas till en vänster transversal $g_{j}x^{k}( 1\leq j\leq t,\ 0\leq k\leq f-1)$ med disjunkt vänster coset-sönderdelning:

$(15)\quad G=\sqcup _{j=1}^{t}\sqcup _{k=0 }^{f-1}g_{j}x^{k}H$

av $H$ i $G$ . Därför har formeln för bilden av $x$ under Artin-överföringen $T_{G,H}$ föregående avsnitt den speciella formen

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_ {j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'$

med exponent $f$ oberoende av $j$ .

Naturlig följd. I synnerhet ges den inre överföringen av ett element ${\displaystyle x\in H} som en symbolisk potens:$

$(16)\quad T_{G,H}(x)=x^{\mathrm {Tr} _{G }(H)}\cdot H'$

med spårämnet

$(17)\quad \mathrm {Tr} _{G}(H)=\summa _{j=1 }^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]$

av $H$ i $G$ som symbolisk exponent.

Den andra ytterligheten är den yttre överföringen av ett element $x\in G\setminus H$ som genererar $G/H$ , det vill säga ${\ displaystyle G=\langle x,H\rangle }$ .

Det är helt enkelt en ${\displaystyle n}:$ te potens

$(18)\quad T_{G,H}(x)=x^{n}\cdot H'$ .

Bevis

Den inre överföringen av ett element $x\in H$ , vars coset $xH=H$ är huvudmängden i $G/H$ av ordningen $f=1$ , ges som den symboliska styrkan

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}xg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{ t}x^{g_{j}}\cdot H'=x^{\sum _{j=1}^{t}g_{j}}\cdot H'$

med spårämnet

$\mathrm {Tr} _{G}(H)=\summa _{j=1}^{t}g_{j }\in \mathbb {Z} [G]$

av $H$ i $G$ som symbolisk exponent.

Den yttre överföringen av ett element $x\in G\setminus H$ som genererar $G/H$ , det vill säga $G=\ langle x,H\rangle$ , varav coseten $xH$ är generator av $G/H$ med ordningen $f=n$ , ges som ${ \displaystyle n}:$ te potensen

$T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{1}1^{-1}\cdot x^{n}\cdot 1\cdot H'=x^{n }\cdot H'.$

Överföringar till normala undergrupper kommer att vara de viktigaste fallen i uppföljaren, eftersom det centrala konceptet i den här artikeln, Artin- mönstret , som ger efterkommande träd med ytterligare struktur, består av mål och kärnor av Artin-överföringar från en grupp $G$ till mellangrupperna $G'\leq H\leq G$ mellan $G$ och $G'$ . För dessa mellangrupper har vi följande lemma.

Lemma. Alla undergrupper som innehåller kommutatorundergruppen är normala.

Bevis

Låt $G'\leq H\leq G$ . Om $H$ inte var en normal undergrupp av $G$ så hade vi $x^{-1}Hx\not \subseteq H$ för något element $x\in G\setminus H$ . Detta skulle innebära förekomsten av elementen $h\in H$ och $y\in G\setminus H$ så att $x^{ -1}hx=y$ , och följaktligen kommutatorn $[h,x]=h^{-1}x^{- 1}hx=h^{-1}y$ skulle vara ett element i $G\setminus H$ i motsats till $G'\leq H$ .

Explicita implementeringar av Artin-överföringar i de enklaste situationerna presenteras i följande avsnitt.

Beräkningsimplementering

Abelianisering av typ ( p , p )

Låt $G$ vara en p -grupp med abelianisering $G/G'$ av elementär abelisk typ $(p,p)$ . Då har $G$$p+1$ maximala undergrupper $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ av index $sid.$

Lemma. I detta speciella fall sammanfaller Frattini-undergruppen, som definieras som skärningspunkten mellan alla maximala undergrupper, med kommutatorundergruppen.

Bevis. För att se denna notering, på grund av den abelska typen av $G/G'$ innehåller kommutatorundergruppen alla p -te potenser $G'\supset G^{p} ,$ och därmed har vi $\Phi (G)=G^{p}\cdot G'=G'$ .

För varje $1\leq i\leq p+1$ , låt $T_{i}:G\to H_{i} /H_{i}'$ vara Artin-överföringshomomorfismen. Enligt Burnsides grundsats kan därför gruppen $G$ genereras av två element $x,y$ så att $x^{p},y^{p}\in G'.$ För var och en av de maximala undergrupperna ${\displaystyle H_{i}} ,$ som också är normala, behöver vi en generator $h_{i}$ med avseende på $G'$ och en generator $t_{i}$ av en transversal $(1,t_{i},t_{i}^{2},\ldots ,t_{i}^{p-1})$ så att

$\displaystyle {\begin{aligned}H_{i}&=\langle h_{ i},G'\rangle \\G&=\langle t_{i},H_{i}\rangle =\bigsqcup _{j=0}^{p-1}t_{i}^{j}H_{i }\end{aligned}}}$

Ett bekvämt urval ges av

$(19)\quad {\begin{ fall}h_{1}=y\\t_{1}=x\\h_{i}=xy^{i-2}&2\leq i\leq p+1\\t_{i}=y&2\leq i \leq p+1\end{cases}}$

Sedan, för varje $1\leq i\leq p+1$ använder vi ekvationerna (16) och (18) för att implementera de inre och yttre överföringarna:

${\begin{aligned}(20)\quad T_{i}(h_{i}) &=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^ {2}+\cdots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=h_{i}\cdot \left(t_{i}^{-1}h_{i}t_{ i}\right)\cdot \left(t_{i}^{-2}h_{i}t_{i}^{2}\right)\cdots \left(t_{i}^{-p+1} h_{i}t_{i}^{p-1}\right)\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{ i}^{p}\cdot H_{i}'\\(21)\quad T_{i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{ aligned}}$ ,

Anledningen är att i $G/H_{i},$$\mathrm {ord} (h_{i}H_{i}) =1$ och $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p.$

Den fullständiga specifikationen av Artin-överföringarna $T_{i}$ kräver också explicit kunskap om de härledda undergrupperna $H_{i}'$ . Eftersom $G'$ är en normal undergrupp av index $p$ i $H_{i}$ , är en viss generell reduktion möjlig med $H_{i}'=[H_{i},H_{i}]=[G',H_{i}]= (G')^{h_{i}-1},$ men en presentation av $G$ måste vara känd för att bestämma generatorer av ${\displaystyle G'= \langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle } ,$ varifrån

$(22)\quad H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}=\langle [s_{1},h_{i}],\ldots ,[s_{n} ,h_{i}]\rangle .$

Abelianisering av typ ( s ² , s )

Låt $G$ vara en p -grupp med abelianisering $G/G'$ av icke-elementär abelisk typ $(p^{2},p)$ . Då har $G$$p+1$ maximala undergrupper $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ av index $p$ och $p+1$ undergrupper $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ av index $p^{2}.$ För varje $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$ låt

$​​{\displaystyle {\begin{aligned}T_{1,i}:G&\to H_{i}/ H_{i}'\\T_{2,i}:G&\to U_{i}/U_{i}'\end{aligned}}}$

vara Artin-överföringshomomorfismerna. Burnsides grundsats hävdar att gruppen $G$ kan genereras av två element $x,y$ så att $x^{p^{2}},y^{p}\in G'.$

Vi börjar med att överväga det första lagret av undergrupper. För var och en av de normala undergrupperna $H_{i}$ väljer vi en generator

$(23)\quad h_{i}=xy^{i-1}$

så att $H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle$ . Dessa är de fall där faktorgruppen $H_{i}/G'$ är cyklisk av ordningen $p^{2}$ . Men för den distinguerade maximala undergruppen $H_{p+1}$ , för vilken faktorgruppen $H_{p+1}/G'$ är bicyklisk av typ $(p,p)$ , vi behöver två generatorer:

$(24)\quad {\begin{cases}h_{p+1}=y\\h_{0}=x^{p}\end {fall}}$

så att $H_{p+1}=\langle h_{p+1},h_{0},G'\rangle$ . Vidare måste en generator $t_{i}$ av en transversal ges så att $G=\langle t_{i},H_{i}\rangle$ , för varje $1\leq i\leq p+1$ . Det är bekvämt att definiera

$(25)\quad {\begin{cases}t_{i}=y&1\leq i\leq p\\t_{p +1}=x\end{cases}}$

Sedan, för varje $1\leq i\leq p+1$ , har vi inre och yttre överföringar:

${\begin{aligned}(26)\quad T_{ 1,i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+ t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{- 1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(27)\quad T_{1,i}(t_{i})&=t_{i}^ {p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}$

eftersom $\mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1$ och $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p$ .

Nu fortsätter vi med att överväga det andra lagret av undergrupper. För var och en av de normala undergrupperna $U_{i}$ väljer vi en generator

$(28)\quad {\begin{cases}u_{1}=y\ \u_{i}=x^{p}y^{i-1}&2\leq i\leq p\\u_{p+1}=x^{p}\end{cases}}$

så att ${\displaystyle U_{i}=\langle u_{i},G'\rangle$ . Bland dessa undergrupper är Frattini-undergruppen $U_{p+1}=\langle x^{p},G'\rangle =G^ {p}\cdot G'$ är särskilt framstående. Ett enhetligt sätt att definiera generatorer $t_{i},w_{i}$ av en transversal så att $G=\langle t_{ i},w_{i},U_{i}\rangle$ , är att ställa in

$(29)\quad {\begin{cases}t_ {i}=x&1\leq i\leq p\\w_{i}=x^{p}&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\\w_{p+1}=y \end{cases}}$

Eftersom ${\displaystyle \mathrm {ord} (u_{i}U_{i})=1} ,$ men å andra sidan $\mathrm {ord} (t_{i}U_{i})=p^{2}$ och $\mathrm {ord} (w_{i }U_{i})=p$ , för $1\leq i\leq p+1$ , med det enda undantaget att ${\displaystyle \mathrm {ord} (t_{p+1}U_{p+1})=p} ,$ får vi följande uttryck för de inre och yttre överföringarna

$​​{\displaystyle {\begin{aligned}(30)\quad T_{2,i}(u_{i})&=u_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(U_ {i})}\cdot U_{i}'=u_{i}^{\sum _{j=0}^{p-1}\summa _{k=0}^{p-1}w_{i }^{j}t_{i}^{k}}\cdot U_{i}'=\prod _{j=0}^{p-1}\prod _{k=0}^{p-1} (w_{i}^{j}t_{i}^{k})^{-1}u_{i}w_{i}^{j}t_{i}^{k}\cdot U_{i}' \\(31)\quad T_{2,i}(t_{i})&=t_{i}^{p^{2}}\cdot U_{i}'\end{aligned}}}$

undantagsvis

${\ start{aligned}&(32)\quad T_{2,p+1}\left(t_{p+1}\right)=\left(t_{p+1}^{p}\right)^{1 +w_{p+1}+w_{p+1}^{2}+\ldots +w_{p+1}^{p-1}}\cdot U_{p+1}'\\&(33) \quad T_{2,i}(w_{i})=\left(w_{i}^{p}\right)^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots + t_{i}^{p-1}}\cdot U_{i}'&&1\leq i\leq p+1\end{aligned}}$

Strukturen för de härledda undergrupperna $H_{i}'$ och $​​{\displaystyle U_{i}'}$ måste vara känd för att specificera artin-överföringarnas åtgärd helt.

Överför kärnor och mål

Låt $G$ vara en grupp med finit abelianisering $G/G'$ . Antag att $(H_{i})_{i\in I}$ betecknar familjen av alla undergrupper som innehåller $G'$ och därför nödvändigtvis är normala, uppräknade med en finit indexuppsättning $I$ . För varje $i\in I$ , låt $T_{i}:=T_{G,H_{i}}$ vara Artin-överföringen från ${ \displaystyle G}$ till abelianiseringen $H_{i}/H_{i}'$ .

Definition. Familjen av normala undergrupper $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{i\in I}$ kallas överföringskärntypen (TKT) för $G$ med avseende på ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}} ,$ och familjen av abelianiseringar (resp. deras abeliska typinvarianter) $\tau _{H}(G)=(H_{i}/H_{i} ')_{i\in I}$ kallas överföringsmåltypen ( TTT) för $G$ med avseende på $(H_{i})_{i\in I}$ . Båda familjerna kallas även multipletter medan en enda komponent kommer att kallas en singulet .

Viktiga exempel för dessa begrepp ges i följande två avsnitt.

Abelianisering av typ ( p , p )

Låt $G$ vara en p -grupp med abelianisering $G/G'$ av elementär abelisk typ $(p,p)$ . Då har $G$$p+1$ maximala undergrupper $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ av index $p$ . För $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$ låt $T_{i} :G\to H_{i}/H_{i}'$ betecknar Artin transfer homomorfism.

Definition. Familjen av normala undergrupper $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_ {1\leq i\leq p+1}$ kallas överföringskärntypen (TKT) för $G$ med avseende på $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ .

Anmärkning. För korthetens skull identifieras TKT med multipletten ${\displaystyle (\varkappa (i))_{1\leq i\leq p+1}} ,$ vars heltalskomponenter ges av

$\varkappa (i)={\begin{cases}0&\ ker(T_{i})=G\\j&\ker(T_{i})=H_{j}{\text{ för vissa }}1\leq j\leq p+1\end{fall}}$

Här tar vi hänsyn till att varje överföringskärna $\ker(T_{i})$ måste innehålla kommutatorundergruppen $G'$ av $G$ , eftersom överföringsmålet $H_{i}/H_{i}'$ är abelskt. Det minimala fallet $\ker(T_{i})=G'$ kan dock inte förekomma.

Anmärkning. En omräkning av de maximala undergrupperna $K_{i}=H_{\pi (i)}}$$V_{i} =T_{\pi (i)}$ och av överföringarna ger med hjälp av en permutation $\pi \in S_{p+1}$ upphov till en ny TKT ${\displaystyle \lambda _{K}(G)=(\ker(V_{i}))_{1\leq i\leq p+1}} med$ respekt till $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ , identifierad med $(\lambda (i))_{1\leq i\leq p+1}$ , där

$\lambda (i)={\begin{cases}0&\ ker(V_{i})=G\\j&\ker(V_{i})=K_{j}{\text{ för vissa }}1\leq j\leq p+1\end{fall}}$

Det är tillräckligt att se TKT:erna $\lambda _{K}(G)\sim \varkappa _{H}(G)$ som ekvivalenta . Sedan vi har

$K_{\lambda (i)}=\ker(V_{i})=\ker(T_{\pi (i)})=H_{\varkappa (\pi (i))}=K_{{\tilde { \pi }}^{-1}(\varkappa (\pi (i)))},$

relationen mellan $\lambda$ och $\varkappa$ ges av $\lambda ={\tilde {\pi }}^{-1} \circ \varkappa \circ \pi$ . Därför $\lambda$ en annan representant för omloppsbanan $\varkappa ^{S_{p+1}}$ för $\varkappa$ under åtgärden $(\pi ,\mu )\mapsto {\tilde {\pi }}^{-1}\circ \mu \circ \pi$ av den symmetriska gruppen $S_{p+1}$ på uppsättningen av alla mappningar från $\{1,\ldots , p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\},$ där tillägget ${\tilde {\pi }}\i S_{p+ 2}$ av permutationen $\pi \in S_{p+1}$ definieras av ${\tilde {\pi }}(0)= 0,$$H_{0}=G,K_{0}=G.$ formellt

Definition. Banan $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p+1}}$ för alla representativa $\varkappa$ är en invariant av p - grupp $G$ och kallas dess överföringskärntyp , kortfattat TKT.

Anmärkning. Låt $\#{\mathcal {H}}_{0}(G):=\#\{1 \leq i\leq p+1\mid \varkappa (i)=0\}$ betecknar räknaren för totala överföringskärnor $\ker(T_{i})=G$ , som är en invariant av gruppen $G$ . År 1980 bevisade SM Chang och R. Foote att det för alla udda primtal $p$ och för vilket heltal $0\leq n\leq p+1$ finns metabelisk p -grupper $G$ med abelianisering $G/G'$ av typen $(p,p)$ så att $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=n$ . Men för $p=2$ finns det inte icke-abelska $2$ -grupper $G$ med $G /G'\simeq (2,2)$ , som måste vara metabelisk av maximal klass, så att $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)\geq 2$ . Endast den elementära abelska $2$ -gruppen $G=C_{2}\ gånger C_{2}$ har $\#{\ matematisk {H}}_{0}(G)=3$ . Se figur 5.

I följande konkreta exempel för räknarna ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)} ,$ och även i resten av denna artikel, använder vi identifierare för finita p - grupper i SmallGroups Library av HU Besche, B. Eick och EA O'Brien.

För $p=3$ har vi

• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=0$ för den extra specialgruppen $G=\langle 27,4 \rangle$ av exponent $9$ med TKT $\varkappa =(1111)$ (Figur 6),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=1$ för de två grupperna ${\ displaystyle G\in \{\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}}$ med TKTs $\varkappa \in \{(0122), (2034)\}$ (figur 8 och 9),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=2$ för gruppen $G=\langle 243,3\ rangle$ med TKT $\varkappa =(0043)$ (Figur 4 i artikeln om efterkommande träd ),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3$ för gruppen $G=\langle 81,7\ rangle$ med TKT $\varkappa =(2000)$ (Figur 6),
• $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=4$ för den extra specialgruppen $G=\langle 27, 3\rangle$ av exponent $3$ med TKT $\varkappa =(0000)$ (Figur 6).

Abelianisering av typ ( s ² , s )

Låt $G$ vara en p -grupp med abelianisering $G/G'$ av icke-elementär abelisk typ $(p^{2},p).$ Då har $G$$p+1$ maximala undergrupper $H_{1} ,\ldots ,H_{p+1}$ av index $p$ och $p+1$ undergrupper $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ av index $p^{2}.$

Antagande. Anta

$H_{p+1}=\prod _{j=1}^{p+1}U_{j}$

är den distingerade maximala undergruppen och

$U_{p+1}=\bigcap _{j=1}^{p+1}H_{j}$

är den distinguerade undergruppen av index $p^{2}$ som som skärningspunkten för alla maximala undergrupper är Frattini-undergruppen $\Phi (G)$ av $G$ .

Första lagret

För varje $1\leq i\leq p+1$ , låt $T_{1,i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ betecknar Artin-överföringshomomorfismen.

Definition. Familjen $\varkappa _{1,H,U}(G)=(\ker(T_) {1,i}))_{i=1}^{p+1}$ kallas det första lagrets överföringskärntyp av $G$ med avseende på $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ och ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}} ,$ och identifieras med ${\displaystyle (\varkappa _{1}(i))_{i=1}^{p+1}} ,$ där

$\varkappa _{ 1}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{1,i})=H_{p+1},\\j&\ker(T_{1,i})=U_{j}{ \text{ för vissa }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}$

Anmärkning. Här observerar vi att varje första lageröverföringskärna har exponent $p$ med avseende på $G'$ och följaktligen inte kan sammanfalla med $H_{j}$ för någon $1\leq j\leq p$ , eftersom $H_{j}/G'$ är cyklisk av ordningen $p^{2}$ , medan $H_{p+1}/G'$ är bicyklisk av typen $(p,p)$ .

Andra lagret

För varje $1\leq i\leq p+1$ , låt $​​{\displaystyle T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'}$ är Artin-överföringshomomorfismen från $G$ till abelianiseringen av $U_{i}$ .

Definition. Familjen $\varkappa _{2,U,H}(G)=(\ker(T_ {2,i}))_{i=1}^{p+1}$ kallas det andra lagrets överföringskärntyp av $G$ med avseende på $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ och ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}} ,$ och identifieras med $(\varkappa _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$ där

$\varkappa _{2}( i)={\begin{cases}0&\ker(T_{2,i})=G,\\j&\ker(T_{2,i})=H_{j}{\text{ för vissa }}1 \leq j\leq p+1.\end{cases}}$

Överför kärntyp

Genom att kombinera informationen om de två lagren får vi den (fullständiga) överföringskärntypen ${\displaystyle \ varkappa _{H,U}(G)=(\varkappa _{1,H,U}(G);\varkappa _{2,U,H}(G))} i p$ -gruppen G { $displaystyle G}$ med avseende på $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ och $U_{1}, \ldots ,U_{p+1}$ .

Anmärkning. De särskiljande undergrupperna $H_{p+1}$ och $U_{p+1}=\Phi (G)$ är unika invarianter av ${\ displaystyle G}$ och bör inte numreras om. Oberoende omräkningar av de återstående maximala undergrupperna $K_{i}=H_{\tau (i)}(1\leq i\leq p)$ och överföringarna $V_{1,i}=T_{1,\tau (i)}$ med hjälp av en permutation $\tau \in S_{p}$ , och av de återstående undergrupperna $W_{i}=U_{\sigma (i)}(1\leq i\ leq p)$ av index $p^{2}$ och överföringarna $V_{2,i}=T_{2,\sigma (i )}$ med hjälp av en permutation $\sigma \in S_{p}$ , ge upphov till nya TKTs ${\displaystyle \lambda _{1,K,W}(G)=(\ker(V_{1,i}))_{i=1}^{p+1}} med$ respekt till $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ och $W_{1},\ldots ,W_ {p+1}$ , identifierad med $(\lambda _{1}(i))_{i=1}^{p+1}$ , var

$\lambda _{ 1}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{1,i})=K_{p+1},\\j&\ker(V_{1,i})=W_{j}{ \text{ för vissa }}1\leq j\leq p+1,\end{cases}}$

och $\lambda _{2,W,K}(G)=(\ker(V_{ 2,i}))_{i=1}^{p+1}$ med avseende på $W_{1},\ldots ,W_{p+1}$ och $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ , identifierad med $(\lambda _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$ där

$\lambda _{2}( i)={\begin{cases}0&\ker(V_{2,i})=G,\\j&\ker(V_{2,i})=K_{j}{\text{ för vissa }}1 \leq j\leq p+1.\end{cases}}$

$\lambda _{1,K,W}(G)\sim \varkappa _{1, H,U}(G)$ se TKT:erna och $\lambda _{2,W,K}(G)\sim \varkappa _{ 2,U,H}(G)$ som ekvivalent . Sedan vi har

${\begin{aligned}W_{\lambda _{1}(i)}&=\ker(V_{1,i})=\ker(T_ {1,{\hat {\tau }}(i)})=U_{\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i))}=W_{{\tilde {\sigma }} ^{-1}(\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i)))}\\K_{\lambda _{2}(i)}&=\ker(V_{2, i})=\ker(T_{2,{\hat {\sigma }}(i)})=H_{\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i))}=K_{ {\tilde {\tau }}^{-1}(\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i)))}\end{aligned}}$

relationerna mellan $\lambda _{1}$ och $\varkappa _{1}$ , och $\lambda _{2}$ och $\varkappa _{2}$ , ges av

$\lambda _{1}={\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \varkappa _{1}\circ {\hat { \tau }}$

$\lambda _{2}={\tilde {\tau }}^{-1}\circ \varkappa _{2}\ cirkla {\hat {\sigma }}$

Därför är $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2})$ en annan representant för omloppsbanan $\varkappa ^{S_{p}\ gånger S_{p}}$ av $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$ under åtgärden:

${\sigma skärmstil (\\t) ,(\mu _{1},\mu _{2}))\mapsto \left({\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \mu _{1}\circ {\hat {\ tau }},{\tilde {\tau }}^{-1}\circ \mu _{2}\circ {\hat {\sigma }}\right)}$

av produkten av två symmetriska grupper $S_{p}\times S_{p}$ på uppsättningen av alla par av mappningar ${\displaystyle \{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\}} , där tilläggen π$ ^ $displaystyle {\hat {\pi }}\in S_{p+1}}$ och ${\tilde {\pi }}\in S_{p+2}$ av en permutation $\pi \in S_{p}$ definieras av ${\hat {\pi }}(p+ 1)={\tilde {\pi }}(p+1)=p+1$ och ${\tilde {\pi }}(0)=0$ , och formellt $},$${\displaystyle H_{0}=K_{0}=G,K_{p+1}=H_{p+1} ,U_{0}=W_{0}=H_{p+$$W_{p+1}=U_{p+1}=\Phi (G).$ och

Definition. Banan $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}$ för valfri representativ $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$ är en invariant av p -gruppen $G$ och kallas dess överföringskärntyp , kortfattat TKT.

Kopplingar mellan lager

Artin-överföringen $​​{\displaystyle T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'}$ är kompositionen $T_{2,i}={\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j}$ av inducerad överföring $​​{\displaystyle {\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}:H_{j} /H_{j}'\to U_{i}/U_{i}'}$ från $H_{j}$ till $U_{i}$ och Artin-överföringen $T_{1,j}:G\to H_{j}/H_{j}'.$

Det finns två alternativ när det gäller de mellanliggande undergrupperna

• För undergrupperna ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p}} är$ endast den distinguerade maximala undergruppen $H_{p+1}$ en mellanliggande undergrupp.
• För Frattini-undergruppen $U_{p+1}=\Phi (G)$ alla maximala undergrupper $H_{1},\ ldots ,H_{p+1}$ är mellanliggande undergrupper.

Detta orsakar begränsningar för överföringskärntypen $\varkappa _{2}(G)$ i det andra lagret, eftersom

${\displaystyle \ker(T_{2,i})=\ker({\tilde {T}}_{H_{j},U_{ i}}\circ T_{1,j})\supset \ker(T_{1,j}),} och$

därmed

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,p\}:\qquad \ker(T_{2,i})\supset \ker(T_{1,p+1}).} Men$

även

$\ker(T_{2,p+1})\supset \left\langle \bigcup _{j=1}^{p+1}\ker(T_{1,j})\right\rangle .$

Dessutom, när $G=\langle x,y\rangle$ med $x^{p}\notin G', y^{p}\in G',$ ett element $xy^{k-1}(1\leq k\leq p)$ av ordningen ${ \displaystyle p^{2}}$ med avseende på $G'$ , kan tillhöra $\ker(T_{2,i})$ endast om dess ${ \displaystyle p}:$ te potensen finns i $\ker(T_{1,j})$ , för alla mellanliggande undergrupper $U_{i} <H_{j}<G$ , och alltså: $xy^{k-1}\in \ker(T_{2,i})$ , för vissa ${\displaystyle 1\leq i,k\leq p} ,$ tvingar fram det första lagret TKT singuletten $\varkappa _{1}( p+1)=p+1$ , men $xy^{k-1}\in \ker(T_{2,p+1} )$ , för några $1\leq k\leq p$ , specificerar till och med hela första lager TKT-multipleten $\varkappa _{ 1}=((p+1)^{p+1})$ , det vill säga $\varkappa _{1}(j)=p+1$ , för alla $1\leq j\leq p+1$ .

Figur 1: Factoring genom abelianiseringen.

Arv från kvoter

Gemensamt för alla överordnade-avkomliga relationer mellan ändliga p -grupper är att den överordnade $\pi (G)$ är en kvot $G/N$ av den efterkommande ${\ displaystil G}$ av en lämplig normal undergrupp $N.$ Således kan en ekvivalent definition ges genom att välja en epimorfism $\phi :G\to {\tilde {G}}$ med $\ker(\phi )=N.$ Då kan gruppen ${\tilde {G}}=\phi (G)$ ses som föräldern till den efterkommande $G$ .

I de följande avsnitten kommer denna synvinkel att tas, i allmänhet för godtyckliga grupper, inte bara för ändliga p -grupper.

Passerar genom abelianiseringen

Förslag. Antag att $A$ är en abelsk grupp och $\phi :G\to A$ är en homomorfism. Låt $\omega :G\to G/G'$ beteckna den kanoniska projektionskartan. Då finns det en unik homomorfism ${\tilde {\phi }}:G/G'\to A$ så att $\phi ={ \tilde {\phi }}\circ \omega$ och $\ker({\tilde {\phi }})=\ker(\phi ) /G'$ (se figur 1).

Bevis. Detta uttalande är en följd av den andra konsekvensen i artikeln om den inducerade homomorfismen . Icke desto mindre ger vi ett oberoende bevis för den aktuella situationen: det unika med ${\tilde {\phi }}$ är en konsekvens av villkoret $\phi ={\ tilde {\phi }}\circ \omega ,$ vilket innebär för alla $x\in G$ vi har:

${\tilde {\phi }}(xG')={\ tilde {\phi }}(\omega (x))=({\tilde {\phi }}\circ \omega )(x)=\phi (x),$

${\tilde {\phi }}$ är en homomorfism, låt $x,y\in G$ vara godtyckliga, då:

${\begin{aligned}{\tilde {\phi }}\left(xG'\cdot yG'\right)&={\tilde {\phi }}((xy)G')=\phi ( xy)=\phi (x)\cdot \phi (y)={\tilde {\phi }}(xG')\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\\phi ([x, y])&=\phi \left(x^{-1}y^{-1}xy\right)=\phi (x^{-1})\phi (y^{-1})\phi ( x)\phi (y)=[\phi (x),\phi (y)]=1&&A{\text{ är abelian.}}\end{aligned}}$

Således kommer kommutatorundergruppen $G'\subset \ker(\phi )$ , och detta visar slutligen att definitionen av ${\tilde {\phi }}$ är oberoende av coset-representanten,

${\begin{aligned}xG'=yG'&\Longrightarrow y^{-1}x \in G'\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow 1=\phi (y^{-1}x)={\tilde {\phi }}(y^{-1}xG')= {\tilde {\phi }}(yG')^{-1}\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\&\Longrightarrow {\tilde {\phi }}(xG')={ \tilde {\phi }}(yG')\end{aligned}}$

Figur 2: Epimorfismer och härledda kvoter.

TTT singuletter

Förslag. Antag att $G,{\tilde {G}},\phi$ är som ovan och ${\tilde {H}}=\phi (H)$ är bilden av en undergrupp $H.$ Kommutatorundergruppen för ${\tilde {H}}$ är bilden av kommutatorundergruppen till $H.$ Därför inducerar $\phi$ en unik epimorfism ${\tilde {\phi }}:H/H'\ till {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ , och därmed är ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ en kvot av $H/H'.$ Dessutom, om $\ker(\phi )\leq H'$ , då är kartan ${\tilde {\phi } }$ är en isomorfism (se figur 2).

Bevis. Detta påstående är en följd av huvudsatsen i artikeln om den inducerade homomorfismen . Icke desto mindre ges ett oberoende bevis enligt följande: först är bilden av kommutatorundergruppen

$\phi (H')=\phi ([H,H])=\phi (\langle [u,v]|u,v\in H\rangle )=\langle [\phi (u), \phi (v)]\mid u,v\in H\rangle =[\phi (H),\phi (H)]=\phi (H)'={\tilde {H}}'.$

För det andra kan epimorfismen $\phi$ begränsas till en epimorfism $\phi |_{H}:H\to {\tilde {H}}$ . Enligt föregående avsnitt, den sammansatta epimorfismen $(\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H} ):H\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ faktorer genom $H/H'$ med hjälp av en unikt bestämd epimorfism ${\displaystyle {\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'} så$ att ${\tilde {\phi }}\circ \omega _{H}=\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}$ . Följaktligen har vi ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H' )/\ker({\tilde {\phi }})$ . Dessutom ges kärnan i ${\displaystyle {\tilde {\phi }}} explicit av$$\ker({ \tilde {\phi }})=(H'\cdot \ker(\phi ))/H'$ .

Slutligen, om $\ker(\phi )\leq H'$ , så är ${\tilde {\phi }}$ en isomorfism, eftersom $\ker({\tilde {\phi }})=H'/H'=1$ .

Definition. På grund av resultaten i det här avsnittet är det meningsfullt att definiera en partiell ordning på mängden av abelska typinvarianter genom att sätta ${\tilde {H}}/{\ tilde {H}}'\preceq H/H'$ , när ${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde { H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})} ,$ och ${\tilde {H}}/ {\tilde {H}}'=H/H'$ , när ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq H/ H'$ .

Figur 3: Epimorfismer och Artin-överföringar.

TKT singuletter

Förslag. Antag att $G,{\tilde {G}},\phi$ är som ovan och ${\tilde {H}}=\phi (H)$ är bilden av en undergrupp av finita index $n.$ Låt ${\displaystyle T_{G,H}:G\to H/H'$ och $T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ vara Artin-överföringar. Om $\ker(\phi )\leq H$ , då är bilden av en vänster transversal av $H$ i $G$ en vänster transversal av ${\tilde {H}}$ i ${\tilde {G}}$ och ${\displaystyle \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).} Dessutom,$ om $\ker(\phi )\leq H'$ sedan ${\displaystyle \phi (\ker( T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})} ($ Se figur 3).

Bevis. Låt $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ vara en tvärgående vänster av $H$ i $G$ . Sedan har vi ett osammanhängande förbund:

$G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.$

Tänk på bilden av denna osammanhängande förening, som inte nödvändigtvis är osammanhängande,

$\phi (G)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\ phi (H),$

och låt $j,k\in \{1,\ldots ,n\}.$ Vi har:

${\begin{aligned}\phi (g_{j})\phi (H)=\phi (g_{k })\phi (H)&\Longleftrightarrow \phi (H)=\phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{k})\phi (H)=\phi (g_{j} ^{-1}g_{k})\phi (H)\\&\Longleftrightarrow \phi (g_{j}^{-1}g_{k})=\phi (h)&&{\text{för vissa }}h\in H\\&\Longleftrightarrow \phi (h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k})=1\\&\Longleftrightarrow h^{-1}g_{j }^{-1}g_{k}\in \ker(\phi )\subset H\\&\Longleftrightarrow g_{j}^{-1}g_{k}\in H\\&\Longleftrightarrow j=k \\\end{aligned}}$

Låt ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ vara epimorfismen från föregående proposition. Vi har:

${\tilde {\phi }}(T_{G,H}(x))={\tilde {\phi }}\left(\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\right)=\prod _{i=1}^{n}\phi \left(g_{\pi _{x} (i)}\right)^{-1}\phi (x)\phi (g_{i})\cdot \phi (H').$

Eftersom ${\displaystyle \phi (H')=\phi (H)'={\tilde {H}}'} är$ den högra sidan lika med ${\displaystyle T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}(\phi (x))} ,$ if $(\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))$ är en vänster tvärgående av ${\tilde {H}}$ i ${\tilde {G}}$ , vilket är sant när $\ker(\phi )\subset H.$ Därför, ${\displaystyle {\tilde {\phi }}\circ T_{G,H}=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi .} Följaktligen$ , $\ker(\phi )\subset H$ antyder inkluderingen

$\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).$

Slutligen, om $\ker(\phi )\subset H'$ , så är enligt föregående proposition ${\tilde {\phi }}$ en isomorfism. Med hjälp av dess invers får vi ${\displaystyle T_{G,H}={\tilde {\phi }}^{-1}\circ T_{ {\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi } ,$ vilket bevisar

$\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H}) .$

Genom att kombinera inneslutningarna har vi:

${\begin{aligned}{\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H} }})\\\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H })\end{cases}}&\Longrightarrow {\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde { H}}})\\\phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right) \subset \phi (\ker(T_{G,H}))\end{cases}}\\[8pt]&\Longrightarrow \phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{ {\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde { G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\subset \phi (\ker (T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \phi (\ker(T_{G ,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\end{aligned}}$

Definition. Med tanke på resultaten i detta avsnitt kan vi definiera en partiell ordning av överföringskärnor genom att ställa in ${\displaystyle \ker(T_{ G,H})\preceq \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})} ,$ när $\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).$

TTT och TKT multipletter

Antag att $G,{\tilde {G}},\phi$ är som ovan och att $G/G'$ och ${\tilde {G}}/{\tilde {G}}'$ är isomorfa och ändliga. Låt $(H_{i})_{i\in I}$ beteckna familjen av alla undergrupper som innehåller $G'$ (gör det till en finit familj av normala undergrupper) . För varje $i\in I$ låter:

${\begin{aligned}{\tilde {H_{i}}}&:=\phi (H_{i})\\T_{i}&:=T_{G,H_{i}} :G\to H_{i}/H_{i}'\\{\tilde {T_{i}}}&:=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H_{i}}}} :{\tilde {G}}\to {\tilde {H_{i}}}/{\tilde {H_{i}}}'\end{aligned}}$

Ta $J$ vara vilken som helst icke-tom delmängd av $I$ . Då är det bekvämt att definiera $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{j}))_{j\ i J}$ , kallad (partiell) överföringskärntyp (TKT) för $G$ med avseende på $(H_{j})_{j\in J}$ , och $\tau _{H}(G)=(H_{j}/H_{j}')_{j\in J},$ kallas den (partiella) överföringsmåltypen (TTT) för $G$ med avseende på $(H_{j})_{j\in J}$ .

På grund av reglerna för singuletter, fastställda i de två föregående avsnitten, följer dessa multipletter av TTT:er och TKT:er följande grundläggande arvslagar:

Arvslag I. Om ${\displaystyle \ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}},$ då ${\displaystyle \tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})\preceq \tau _{H}(G)} ,$ i den meningen att ${\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'\preceq H_{j}/H_{j}'$ , för varje $j\in J$ , och $\varkappa _{H}(G)\preceq \varkappa _{\tilde {H }}({\tilde {G}})$ , i den meningen att $\ker(T_{j})\preceq \ker({\tilde {T_{j}}})$ , för varje $j\in J$ .

Arvslagen II. Om ${\displaystyle \ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}'},$ då ${\displaystyle \tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})=\tau _{H}(G)} ,$ i den meningen att ${\displaystyle {\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'=H_{j}/H_{j}'} , för$ varje $j\in J$ , och $\varkappa _{H}(G)=\varkappa _{\tilde {H}}({\ tilde {G}})$ , i den meningen att $\ker(T_{j})=\ker({\tilde {T_{j}} })$ , för varje $j\in J$ .

Ärvda automorfismer

Ytterligare en arvsegendom berör inte omedelbart Artin-överlåtelser utan kommer att visa sig vara användbar i applikationer till avkommande träd.

Arvslag III. Antag att $G,{\tilde {G}},\phi$ är som ovan och $\sigma \in \mathrm {Aut} (G).$ Om $\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker( \phi )$ så finns det en unik epimorfism ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}} så$ att $\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi$ . Om $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi ),$ då ${\tilde {\sigma }}\in \mathrm {Aut} ({\tilde {G}}).$

Bevis. Med isomorfismen ${\tilde {G}}=\phi (G)\simeq G/\ker(\phi )$ definierar vi:

${\begin{cases}{\tilde {\sigma }}:{\ tilde {G}}\to {\tilde {G}}\\{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi )):=\sigma (g)\ker(\phi )\end{cases }}$

Först visar vi att denna karta är väldefinierad:

${\begin{aligned}g\ker(\phi )=h\ker(\phi )&\Longrightarrow h^{-1}g\in \ker(\phi )\\ &\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \sigma (\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \ker(\phi ) &&\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1})\sigma (g)\in \ker(\phi )\\& \Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\sigma (h)\ker(\phi )\end{aligned}}$

Det faktum att ${\tilde {\sigma }}$ är surjektiv, en homomorfism och uppfyller $\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }} \circ \phi$ är lätta att verifiera.

Och om ${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )} ,$ då injektivitet för ${\tilde { \sigma }}$ är en konsekvens av

${\begin{aligned}{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi ))=\ker(\phi )&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma ^{-1}(\ sigma (g))\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \ker(\phi )&&\sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g\ker(\phi )=\ker(\ phi )\end{aligned}}$

Låt $\omega :G\to G/G'$ vara den kanoniska projektionen så finns det en unik inducerad automorfism ${ \bar {\sigma }}\in \mathrm {Aut} (G/G')$ så att $\omega \circ \sigma ={\bar {\sigma }}\ circ \omega$ , det vill säga

$\forall g\in G:\qquad { \bar {\sigma }}(gG')={\bar {\sigma }}(\omega (g))=\omega (\sigma (g))=\sigma (g)G',$

Anledningen till injektiviteten hos ${\bar {\sigma }}$ är att

$G \sigma (g) '={\bar {\sigma }}(gG')=G'\Rightarrow \sigma (g)\in G'\Rightarrow g=\sigma ^{-1}(\sigma (g))\in G' ,$

eftersom $G'$ är en karakteristisk undergrupp av $G$ .

Definition. $G$ kallas en σ −grupp , om det finns $\sigma \in \mathrm {Aut} (G)$ så att den inducerade automorfismen fungerar som inversionen på $G/G'$ , det är för alla

$g\in G:\qquad \sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'\Longleftrightarrow \sigma (g)g\in G '.$

Arvslagen III hävdar att om $G$ är en σ −grupp och $\sigma (\ker(\phi ))=\ker (\phi )$ , då är ${\tilde {G}}$ också en σ −grupp, den erforderliga automorfismen är ${\tilde {\sigma }}$ . Detta kan ses genom att applicera epimorfismen $\phi$ på ekvationen $\sigma (g)G'={ \bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'$ vilket ger

$\forall x=\phi (g)\in \phi (G)={\tilde {G}}:\qquad {\tilde {\sigma }}(x){\tilde {G}}'= {\tilde {\sigma }}(\phi (g)){\tilde {G}}'=\phi (\sigma (g))\phi (G')=\phi (g^{-1}) \phi (G')=\phi (g)^{-1}{\tilde {G}}'=x^{-1}{\tilde {G}}'.$

Stabiliseringskriterier

I detta avsnitt tillämpas resultaten angående nedärvning av TTT och TKT från kvoter i föregående avsnitt på det enklaste fallet, vilket kännetecknas av följande

Antagande. Föräldern $\pi (G)$ för en grupp $G$ är kvoten $\pi (G)=G/N$ av $G$ av den sista icke-triviala termen $N=\gamma _{c}(G)\triangleleft G$ i den nedre centrala serien av $G$ , där $c$ anger nilpotensklassen för $G$ . Motsvarande epimorfism $\pi$ från $G$ till $\pi (G)=G/\gamma _{c}(G)$ är den kanoniska projektionen, vars kärna ges av $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)$ .

Under detta antagande visar sig kärnorna och målen för Artin-överföringar vara kompatibla med relationer mellan föräldrar och avkomlingar mellan ändliga p -grupper.

Kompatibilitetskriterium. Låt $p$ vara ett primtal. Antag att $G$ är en icke-abelsk finit p -grupp av nilpotensklassen $c=\mathrm {cl} (G)\geq 2$ . Då är TTT och TKT för $G$ och dess överordnade $\pi (G)$ jämförbara i den meningen att ${\ displaystyle \tau (\pi (G))\preceq \tau (G)}$ och $\varkappa (G)\preceq \varkappa (\pi (G))$ .

Den enkla anledningen till detta faktum är att för varje undergrupp $G'\leq H\leq G$ , har vi ${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{2}(G)=G'\leq H} , eftersom c$ ≥ $displaystyle c\geq 2}$ .

För den återstående delen av detta avsnitt antas de undersökta grupperna vara ändliga metabelska p -grupper $G$ med elementär abelianisering $G/G'$ av rang $2$ , som är av typen $(p,p)$ .

Partiell stabilisering för maximal klass. En metabelisk p -grupp $G$ av samklass $\mathrm {cc} (G)=1$ och av nilpotensklass $c=\mathrm {cl} (G)\geq 3$ delar de sista $p$ -komponenterna av TTT $\tau (G)$ och av TKT ${\ displaystyle \varkappa (G)}$ med dess överordnade $\pi (G)$ . Mer uttryckligen, för udda primtal $p\geq 3$ , har vi $\tau (G)_{i}=(p,p)$ och $\varkappa (G)_{i}=0$ för $2\leq i\leq p+1$ .

Detta kriterium beror på det faktum att $c\geq 3$ innebär ${\displaystyle \ker(\pi ) =\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{3}(G)=H_{i}'} ,$ för de sista $p$ maximala undergrupperna ${ \displaystyle H_{2},\ldots ,H_{p+1}}$ av $G$ .

Villkoret $c\geq 3$ är verkligen nödvändigt för det partiella stabiliseringskriteriet. För udda primtal $p\geq 3$ , den extra speciella $p$ -gruppen $G=G_{0}^{3}(0, 1)$ av ordningen $p^{3}$ och exponent $p^{2}$ har enbart nilpotensklassen $c=2$ , och den sista ${\ displaystyle p}$ komponenter i dess TKT $\varkappa =(1^{p+1})$ är strikt mindre än motsvarande komponenter i TKT ${\ displaystyle \varkappa =(0^{p+1})}$ av dess överordnade $\pi (G)$ som är den elementära abelska $p$ -gruppen av typ $(p,p)$ . För $p=2$ , både extra special $2$ -grupper av samklass $1$ och klass $c=2$ , den vanliga kvartjongruppen $G=G_{0}^{3}(0,1)$ med TKT $\varkappa =(123)$ och den dihedrala gruppen $G=G_{0}^{3}(0,0)$ med TKT $\varkappa =(023)$ , har strikt mindre sista två komponenter i sina TKT än deras gemensamma förälder $\pi (G)=C_{2}\ gånger C_{2}$$) {\displaystyle \varkappa =(000)}$ TKT .

Total stabilisering för maximal klass och positiv defekt.

En metabelisk p -grupp $G$ av samklass $\mathrm {cc} (G)=1$ och av nilpotensklass ${\displaystyle c=m-1=\mathrm {cl} (G)\geq 4} , det vill säga$ med index för nilpotens $m\geq 5$ , delar alla $p+1$ komponenter för TTT $\tau (G)$ och av TKT $\varkappa (G)$ med dess överordnade $\pi (G)$ , förutsatt att den har positiv defekt av kommutativitet $k=k(G)\geq 1$ . Observera att $k\geq 1$ innebär $p\geq 3$ , och vi har $\varkappa (G)_{i}=0$ för alla $1\leq i\leq p+1$ .

Detta påstående kan ses genom att observera att villkoren $m\geq 5$ och $k\geq 1$ innebär $\ker(\pi )=\gamma _{m-1}(G)\leq \gamma _{mk}(G)\leq H_{i}'$ , för alla $p+1$ maximala undergrupper $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ av $G$ .

Villkoret $k\geq 1$ är verkligen nödvändigt för total stabilisering. För att se detta räcker det att endast överväga den första komponenten i TKT. För varje nilpotensklass $c\geq 4$ finns det (minst) två grupper $G=G_{0}^{c+1}( 0,1)$ med TKT $\varkappa =(10^{p})$ och $G=G_{0}^{c +1}(1,0)$ med TKT $\varkappa =(20^{p})$ , båda med defekt $k=0$ , där den första komponenten av deras TKT är strikt mindre än den första komponenten av TKT $\varkappa =(0^{p+1})$ för deras gemensamma förälder ${ \displaystyle \pi (G)=G_{0}^{c}(0,0)}$ .

Partiell stabilisering för icke-maximal klass.

Låt $p=3$ fixas. En metabelisk 3-grupp $G$ med abelianisering $G/G'\simeq (3,3)$ , samklass $\mathrm {cc} (G)\geq 2$ och nilpotensklass $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ delar de två sista (bland de fyra) komponenter i TTT $\tau (G)$ och av TKT $\varkappa (G)$ med dess överordnade $\pi (G)$ .

Detta kriterium motiveras av följande övervägande. Om $c\geq 4$ , då $\ker(\pi )=\gamma _{c }(G)\leq \gamma _{4}(G)\leq H_{i}'$ för de två sista maximala undergrupperna $H_{3},H_{4}$ av ${ \displaystyle G}$ .

Villkoret $c\geq 4$ är ​​verkligen oundvikligt för partiell stabilisering, eftersom det finns flera $3$ -grupper av klass $c=3$ , till exempel de med SmallGroups identifierare $G\in \{\langle 243,3\rangle ,\langle 243,6\rangle 2 43,6\rangle 8\rangle \}$ , så att de två sista komponenterna i deras TKTs $\varkappa \in \{(0043),(0122),(2034) )\}$ är strikt mindre än de två sista komponenterna i TKT $\varkappa =(0000)$ för deras gemensamma förälder $\pi ( G)=G_{0}^{3}(0,0)$ .

Total stabilisering för icke-maximal klass och cykliskt centrum.

Återigen, låt $p=3$ fixas. En metabelisk 3-grupp $G$ med abelianisering $G/G'\simeq (3,3)$ , samklass $\mathrm {cc} (G)\geq 2$ , nilpotensklass $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ och cykliskt centrum ${ \displaystyle \zeta _{1}(G)}$ delar alla fyra komponenterna i TTT $\tau (G)$ och TKT $\varkappa (G)$ med dess förälder $\pi (G)$ .

Anledningen är att vi, på grund av det cykliska centrumet, har $\ker(\pi )=\gamma _{c} (G)=\zeta _{1}(G)\leq H_{i}'$ för alla fyra maximala undergrupper $H_{1},\ldots ,H_{4}$ av $G$ .

Tillståndet för ett cykliskt centrum är verkligen nödvändigt för total stabilisering, eftersom det för en grupp med bicykliskt centrum finns två möjligheter. Antingen $\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)$ också bicyklisk, varav $\gamma _{c}(G)$ ingår aldrig i $H_{2}'$ , eller $\gamma _{c}(G)< \zeta _{1}(G)$ är cyklisk men ingår aldrig i $H_{1}'$ .

Sammanfattningsvis kan vi säga att de fyra sista kriterierna underbygger det faktum att Artin-överföringar ger ett fantastiskt verktyg för att klassificera ändliga p -grupper.

I de följande avsnitten kommer det att visas hur dessa idéer kan tillämpas för att förse efterkommande träd med ytterligare struktur , och för att söka efter särskilda grupper i efterkommande träd genom att leta efter mönster som definieras av kärnorna och målen för Artin-överföringar. Dessa strategier för mönsterigenkänning är användbara i ren gruppteori och i algebraisk talteori .

Figur 4: Utrustning av ett efterkommande träd med information om Artin-överföringar.

Strukturerade ättlingträd (SDT)

Det här avsnittet använder terminologin för efterkommande träd i teorin om ändliga p -grupper. I figur 4 väljs ett efterkommande träd med blygsam komplexitet exemplariskt för att demonstrera hur Artin-överföringar ger ytterligare struktur för varje vertex i trädet. Mer exakt är det underliggande primtal $p=3$ , och det valda efterkommande trädet är faktiskt ett samklassträd med en unik oändlig huvudlinje, grenar med djup $3$ och strikt periodicitet av längd $2$ inställning med gren ${\mathcal {B}}(7)$ . Den initiala förperioden består av grenar ${\mathcal {B}}(5)$ och ${\mathcal {B}}(6)$ med exceptionell struktur. Grenarna ${\mathcal {B}}(7)$ och ${\mathcal {B}}(8)$ bildar den primitiva perioden så att ${\displaystyle {\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(7)} , för udda$ j $\displaystyle j\geq 9}$ , och ${\displaystyle {\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(8)} , för$ jämn $j\geq 10$ . Trädets rot är den metabelska 3 $\displaystyle 3}$ -gruppen med identifierare $langle 243,6\rangle } ,$ \ det vill säga en grupp av ordning $|R|=3^{5}=243$ och med räknetal $6$ . Denna rot är inte fastställd av samklass , varför hela dess underträd ${\mathcal {T}}(R)$ är av betydligt högre komplexitet än samklass- $2$ underträd ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(R)} ,$ vars första sex grenar är ritade i diagrammet i figur 4. Tilläggsstrukturen kan ses som ett slags koordinatsystem där trädet är inbäddad. Den horisontella abskissan är märkt med överföringskärntypen (TKT) $\varkappa$ , och den vertikala ordinatan är märkt med en enda komponent $\tau (1)$ av överföringsmåltypen ( TTT). Trädets hörn är ritade på ett sådant sätt att medlemmar av periodiska oändliga sekvenser bildar en vertikal kolumn som delar en gemensam TKT . Å andra sidan bildar metabelska grupper av en fast ordning, representerade av djuppunkten högst $1$ , en horisontell rad som delar en gemensam första komponent av TTT . (För att motverka alla felaktiga tolkningar påpekar vi uttryckligen att den första komponenten av TTT för icke-metabelska grupper eller metabelska grupper, representerade av hörn med djup ${\displaystyle 2} ,$ vanligtvis är mindre än förväntat, på grund av stabiliseringsfenomen ! ) TTT för alla grupper i detta träd representerad av en stor hel skiva, som indikerar ett bicykliskt centrum av typen ${\displaystyle (3,3)} ,$ ges av $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),( 9,3)]$ med varierande första komponent $\tau (1)=A(3,c)$ , den nästan homocykliska abeliska $3$ -gruppen av ordningen $3^{c}$ och fixerade ytterligare komponenter $\tau (2)=(3,3, 3){\hat {=}}(1^{3})$ och $\tau (3)=\tau ( 4)=(9,3){\hat {=}}(21)$ , där de abelska typens invarianter antingen skrivs som ordningsföljder av cykliska komponenter eller som deras $3$ -logaritmer med exponenter som indikerar iteration. (Den senare notationen används i figur 4.) Eftersom samklassen för alla grupper i detta träd är $2$ , ges kopplingen mellan ordningen $3^{n}$ och nilpotensklassen av $c=n-2$ .

Mönsterigenkänning

För att söka efter en viss grupp i ett härstammande träd genom att leta efter mönster definierade av kärnorna och målen för Artin-överföringar, är det ofta tillräckligt att minska antalet hörn i grenarna av ett tätt träd med hög komplexitet genom att sålla grupper med önskade speciella egenskaper , till exempel

• filtrera $\sigma$ -grupperna,
• eliminera en uppsättning av vissa typer av överföringskärn,
• annullera alla icke-metabelska grupper (indikerat med små konturrutor i fig. 4),
• ta bort metabelska grupper med cykliskt centrum (betecknas med små fulla skivor i fig. 4),
• skära av hörn vars avstånd från huvudlinjen ( djupet ) överstiger någon nedre gräns,
• kombinera flera olika siktningskriterier.

Resultatet av en sådan siktningsprocedur kallas ett beskärt ättlingträd med avseende på den önskade uppsättningen egenskaper. Men i alla fall bör det undvikas att huvudlinjen i ett samklassträd elimineras, eftersom resultatet skulle bli en frånkopplad oändlig uppsättning ändliga grafer istället för ett träd. Till exempel rekommenderas det varken att eliminera alla $\sigma }$$) {\displaystyle \varkappa =(0122)}$ -grupper i figur 4 eller att eliminera alla grupper med TKT . I figur 4 omger den stora dubbelkonturrektangeln det beskurna samklassträdet ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\ast }^{2}(R)} ,$ där de många hörnen med TKT $\varkappa =(2122)$ är helt eliminerade. Detta skulle till exempel vara användbart för att söka i en $\sigma$ -grupp med TKT $\varkappa =(1122)$ och första komponenten ${\ displaystyle \tau (1)=(43)}$ för TTT. I det här fallet skulle sökresultatet till och med vara en unik grupp. Vi utökar denna idé ytterligare i följande detaljerade diskussion om ett viktigt exempel.

Historiskt exempel

Det äldsta exemplet på att söka efter en ändlig p -grupp med strategin för mönsterigenkänning via Artin-överföringar går tillbaka till 1934, då A. Scholz och O. Taussky försökte bestämma Galois- $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^ {\infty }(K)|K)$ av Hilbert $3$ -klassens fälttorn, det vill säga den maximala oframifierade pro- $3$ extension $\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)$ , av det komplexa kvadratiska talfältet $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}}).$ De lyckades faktiskt hitta den maximala metabelska kvoten $Q=G/G''=\mathrm {G} _{3}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3 }^{2}(K)|K)$ av $G$ , det vill säga Galois-gruppen i den andra Hilbert $3$ -klassfältet $\mathrm { F} _{3}^{2}(K)$ av $K$ . Det behövde dock $78$ år tills MR Bush och DC Mayer, 2012, gav det första rigorösa beviset att den (potentiellt oändliga) $3$ -torngruppen ${ \displaystyle G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)}$ sammanfaller med den finita $3$ -gruppen $\mathrm {G} _{3}^{3}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{3}(K)|K)$ av härledd längd $\mathrm {dl} (G)=3$ , och således har $3$ -tornet i $K$ exakt tre steg, och stannar vid det tredje Hilbert $3$ -klassfältet $\mathrm {F} _{3}^{3}(K)$ av $K$ .

Tabell 1: Möjliga kvoter Pc _för 3-tornsgruppen G av K

c	ordning av P c	SmallGroups identifierare för P c	TKT $\varkappa$ av P c	TTT $\tau$ av P c	ν	μ	ättlingar av P c
$1$	$9$	$\langle 9,2\rangle$	$(0000)$	$[(1)(1)(1)(1)]$	$3$	$3$	$3/2;3/3;1/1$
$2$	$27$	$\langle 27,3\rangle$	$(0000)$	$[(1^{2})(1^{2})(1^{2})(1^{2}) ]$	$2$	$4$	$\displaystyle 4/1;7/5$
$3$	$243$	$\langle 243,8\rangle$	$(2034)$	$[(21)(21)(21)(21)]$	$1$	$3$	$\displaystyle 4/4$
$4$	$729$	$\langle 729,54\rangle$	$(2034)$	$[(21)(2^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3}$
$5$	$2187$	$\langle 2187,302\rangle$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,306\rangle$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,303\rangle$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$4$	$\displaystyle 5/2$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;2$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;6$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$3$	$\displaystyle 4/4$
$6$	$6561$	$\langle 2187,303\rangle -\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$1$	$4$	$\displaystyle 7/3$
$6$	$19683$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3}$

Sökningen utförs med hjälp av p -gruppgenereringsalgoritmen av MF Newman och EA O'Brien. För initieringen av algoritmen måste två grundläggande invarianter bestämmas. För det första rangordnar generatorn $d$ av de p -grupper som ska konstrueras. Här har vi $p=3$ och $d=r_{3}(K)=d(\mathrm { Cl} _{3}(K))$ ges av $3$ -klassrangen för det kvadratiska fältet $K$ . För det andra, de abelska typens invarianter i $3$ -klassgruppen $\mathrm {Cl} _{3}(K)\simeq (1^{2) })$ av $K$ . Dessa två invarianter indikerar roten till det efterkommande trädet som kommer att konstrueras successivt. Även om p -gruppsgenereringsalgoritmen är utformad för att använda den överordnade-avkomliga definitionen med hjälp av den lägre exponent- p centralserien, kan den anpassas till definitionen med hjälp av den vanliga lägre centrala serien. I fallet med en elementär abelisk p -grupp som rot är skillnaden inte särskilt stor. Så vi måste börja med den elementära abelian $3$ -gruppen av rang två, som har SmallGroups -identifieraren $\langle 9,2\rangle$ , och för att konstruera det efterkommande trädet ${\mathcal {T}}(\langle 9,2\rangle )$ . Vi gör det genom att iterera p -gruppsgenereringsalgoritmen, ta lämpliga avkomlingar av den föregående roten som nästa rot, alltid exekvera en ökning av nilpotensklassen med en enhet.

Som förklarats i början av avsnittet Mönsterigenkänning måste vi beskära det efterkommande trädet med avseende på invarianterna TKT och TTT i $3$ -torngruppen $G$ , som bestäms av aritmetiken för fältet $K$ som ${\displaystyle \varkappa \in \{(2334),(2434)\}} ($ exakt två fixpunkter och ingen transponering) och $\tau =[(21)(32)(21)(21)]$ . Vidare måste varje kvot av $G$ vara en $\sigma$ -grupp, framtvingad av talteoretiska krav för det kvadratiska fältet $K$ .

Roten $\langle 9,2\rangle$ har bara en enda kapabel ättling $\langle 27,3\rangle$ av typen $( 1^{2})$ . När det gäller nilpotensklassen $\langle 9,2\rangle$ klass- $1$ -kvoten $G/\gamma _{ 2}(G)$ av $G$ och $\langle 27,3\rangle$ är klass- $2$ -kvoten ${\ displaystyle G/\gamma _{3}(G)}$ av $G$ . Eftersom den senare har nukleär rang två, uppstår en bifurkation ${\mathcal {T}} (\langle 27,3\rangle )={\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,3\ rangle )$ , där den tidigare komponenten ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )$ kan elimineras med stabiliseringskriteriet $\varkappa =(\ast 000)$ för TKT för alla $3$ -grupper av maximal klass.

På grund av arvsegenskapen hos TKT, kvalificerar endast den enda kapabla avkomlingen $\langle 243,8\rangle$ som klass- $3$ -kvoten ${\ displaystyle G/\gamma _{4}(G)}$ av $G$ . Det finns bara en enda kapabel $\sigma$ -grupp $\langle 729,54\rangle$ bland ättlingarna till $\langle 243,8\rangle$ . Det är klass- $4$ -kvoten $G/\gamma _{5}(G)$ av $G$ och har nukleär rang två.

Detta orsakar den väsentliga bifurkationen ${\mathcal {T}}(\lang. rangle )={\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,54\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,54\rangle )$ i två underträd som tillhör till olika samklassgrafer ${\mathcal {G}}(3,2)$ och ${\mathcal {G}}(3,3)$ . Den förra innehåller den metabelska kvotienten $Q=G/G''$ av $G$ med två möjligheter ${\ displaystyle Q\in \{\langle 2187,302\rangle ,\langle 2187,306\rangle \}} ,$ som inte är balanserade med relationsrankning $r=3>2=d$ större än generatorns rang. Den senare består helt av icke-metabelska grupper och ger den önskade $3$ -torngruppen $G$ som en av de två Schur $\sigma$ - grupperna $\langle 729,54\rangle -\#2;2$ och $\langle 729,54\rangle -\#2;6$ med $r=2=d$ .

Slutligen nås termineringskriteriet vid kapabla hörn $\langle 2187,303\rangle -\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,2)$ och ${\displaystyle \langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,3)} , eftersom$ TTT $\tau =[(21)(3^{2})(21) )(21)]>[(21)(32)(21)(21)]$ är för stor och kommer till och med öka ytterligare, och kommer aldrig tillbaka till $[(21)(32)(21)(21)]$ . Den fullständiga sökprocessen visualiseras i tabell 1, där för var och en av de möjliga successiva ${c+1 }(G)}$ \ displaystyle av de $3$ -torngruppen $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)$ av $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}})$ , nilpotensklassen betecknas med $c=\mathrm {cl } (P_{c})$ , kärnrankningen med $\nu =\nu (P_{c})$ , och p -multiplikatorrankningen med $\mu =\mu (P_{c})$ .

Kommutatorkalkyl

Det här avsnittet visar exemplariskt hur kommutatorkalkyl kan användas för att explicit bestämma kärnorna och målen för Artin-överföringar. Som ett konkret exempel tar vi de metabelska $3$ -grupperna med bicykliskt centrum, som representeras av stora helskivor som hörn, i samklassens träddiagram i figur 4. De bildar tio periodiska oändliga sekvenser , fyra resp. sex, för jämnt, resp. udda, nilpotensklass $c$ , och kan karakteriseras med hjälp av en parametriserad polycyklisk effektkommutatorpresentation :

1 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^ {3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3 }{\text{ för }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1 ,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ för }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

där $c\geq 5$ är nilpotensklassen, $3^{n}$ med $n=c+2$ är ordningen, och $0\leq w\leq 1,-1\leq z\leq 1$ är parametrar.

Överföringsmåltypen (TTT) för gruppen $G=G^{c,n}(z,w)$ beror endast på nilpotensklassen $c$ , är oberoende av parametrarna $w,z$ , och ges enhetligt av $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]$ . Detta fenomen kallas en polarisering , närmare bestämt en unipolarisering , vid den första komponenten.

Överföringskärntypen (TKT) för gruppen $G=G^{c,n}(z,w)$ är oberoende av nilpotensklassen $c$ , men beror på parametrarna $w,z$ , och ges av c.18, $\varkappa =(0122)$ , för $w=z=0$ (en huvudlinjegrupp), H.4, $\varkappa =(2122)$ , för $w=0,z=\ pm 1$ (två kapabla grupper), E.6, $\varkappa =(1122)$ , för $w=1,z=0$ (en terminal grupp), och E.14, $\varkappa \in \{(4122),(3122)\}$ , för ${\ displaystyle w=1,z=\pm 1}$ (två terminalgrupper). För jämn nilpotensklass är de två grupperna av typerna H.4 och E.14, som endast skiljer sig åt i tecknet för parametern ${\displaystyle z},$ isomorfa.

Dessa uttalanden kan härledas med hjälp av följande överväganden.

Som en förberedelse är det användbart att sammanställa en lista över några kommutatorrelationer, som börjar med de som ges i presentationen, $[a,x]=1$ för $a\in \{s_{c},t_{3}\}$ och $[a,y]=1$ för ${\displaystyle a\in \{s_{3},\ldots ,s_{c},t_{3}\}} ,$ vilket visar att det bicykliska centrumet ges av $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$ . Med hjälp av rätt produktregel $[a,xy]=[a,y]\ cdot [a,x]\cdot [[a,x],y]$ och rätt potensregel $[a,y^{2}] =[a,y]^{1+y}$ , vi får $[s_{2},xy]=s_{3}t_{3}$ , $[s_{2},xy^{2}]=s_{3}t_{3}^{2}$ och $[s_{j},xy]=[s_{j},xy^{2}]=[s_ {j},x]=s_{j+1}$ , för $j\geq 3$ .

De maximala undergrupperna av $G$ tas på liknande sätt som i avsnittet om beräkningsimplementeringen , nämligen

${\displayedstyle} {\H_{aligned 1}&=\langle y,G'\rangle \\H_{2}&=\langle x,G'\rangle \\H_{3}&=\langle xy,G'\rangle \\H_{4} &=\langle xy^{2},G'\rangle \\\end{aligned}}}$

Deras härledda undergrupper är avgörande för Artin-överföringarnas beteende. Genom att använda den allmänna formeln ${\displaystyle H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}} ,$ där ${\displaystyle H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle } ,$ och där vi vet att ${\ displaystyle G'=\langle s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\rangle }$ i den aktuella situationen, följer det att

${\begin{aligned}H_{1}'&=\left\langle s_{2} ^{y-1}\right\rangle =\left\langle t_{3}\right\rangle \\H_{2}'&=\left\langle s_{2}^{x-1},\ldots, s_{c-1}^{x-1}\right\rangle =\left\langle s_{3},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{3}'&=\left\langle s_{2}^{xy-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3},s_{4},\ ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{4}'&=\left\langle s_{2}^{xy^{2}-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy ^{2}-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3}^{2},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \end{aligned} }$

Observera att $H_{1}$ inte är långt ifrån abelsk, eftersom $H_{1}'=\langle t_{3}\rangle$ finns i center $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$ .

Som det första huvudresultatet är vi nu i positionen att bestämma de abelska typinvarianterna för de härledda kvoterna:

$H_{1}/H_{1}'=\langle y ,s_{2},\ldots ,s_{c}\rangle H_{1}'/H_{1}'\simeq A(3,c),$

den unika kvoten som växer med ökande nilpotensklass $c$ , eftersom $\mathrm {ord} (y)=\mathrm {ord } (s_{2})=3^{m}$ för jämn $c=2m$ och ${\displaystyle \mathrm {ord} (y)=3^{m+1},\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}} för udda c =$ 2 $c =2m+1}$ ,

${\displaystyle {\$

eftersom generellt ${\displaystyle \mathrm {ord} (s_{2})=\mathrm {ord} (t_{3})=3} ,$ men $\mathrm {ord} (x)=3$ för $H_{2}$ , medan $\mathrm {ord} (xy)=\mathrm {ord} (xy^{2})=9$ för $H_{3}$ och $H_{4 }$ .

Nu kommer vi till kärnorna i Artin-överföringshomomorfismerna $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ . Det räcker med att undersöka de inducerade överföringarna ${\tilde {T}}_{i}:G/G'\to H_{i}/H_{ i}'$ och för att börja med att hitta uttryck för bilderna ${\tilde {T}}_{i}(gG')$ av elementen $gG'\in G/G'$ , som kan uttryckas i formen

$g\equiv x^{j}y^{\ell }{\pmod {G'}},\qquad j,\ell \in \{-1,0,1\}.$

Först utnyttjar vi yttre överföringar så mycket som möjligt:

${\begin{aligned}x\ notin H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(xG')=x^{3}H_{1}'=s_{c}^{w}H_{1}'\\ y\notin H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(yG')=y^{3}H_{2}'=s_{3}^{2}s_{4}s_ {c}^{z}H_{2}'=1\cdot H_{2}'\\x,y\notin H_{3},H_{4}&\Rightarrow {\begin{cases}{\tilde { T}}_{i}(xG')=x^{3}H_{i}'=s_{c}^{w}H_{i}'=1\cdot H_{i}'\\{\tilde {T}}_{i}(yG')=y^{3}H_{i}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{i}'= s_{3}^{2}H_{i}'\end{cases}}&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}$

Därefter behandlar vi de oundvikliga inre överföringarna , som är mer komplicerade. För detta ändamål använder vi polynomidentiteten

$X^{2}+X+1=(X-1)^{2}+3(X-1 )+3$

för att uppnå:

${ \begin{aligned}y\in H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(yG')=y^{1+x+x^{2}}H_{1}'= y^{3+3(x-1)+(x-1)^{2}}H_{1}'=y^{3}\cdot [y,x]^{3}\cdot [[y, x],x]H_{1}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}s_{2}^{3}s_{3}H_{1}'=s_ {2}^{3}s_{3}^{3}s_{4}s_{c}^{z}H_{1}'=s_{c}^{z}H_{1}'\\x\ i H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(xG')=x^{1+y+y^{2}}H_{2}'=x^{3+3( y-1)+(y-1)^{2}}H_{2}'=x^{3}\cdot [x,y]^{3}\cdot [[x,y],y]H_{ 2}'=s_{c}^{w}s_{2}^{-3}t_{3}^{-1}H_{2}'=t_{3}^{-1}H_{2}' \end{aligned}}$

Slutligen kombinerar vi resultaten: generellt

${\tilde {T}}_{i}(gG')={\tilde {T}}_{i}(xG')^{j}{\tilde {T}}_{i}(yG')^{\ell },$

och i synnerhet,

${\begin{aligned}{\tilde {T}}_{1}(gG')&=s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'\ \{\tilde {T}}_{2}(gG')&=t_{3}^{-j}H_{2}'\\{\tilde {T}}_{i}(gG')& =s_{3}^{2\ell }H_{i}'&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}$

För att bestämma kärnorna återstår det att lösa ekvationerna:

${\begin{aligned}s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'=H_{1}'&\Rightarrow {\begin{cases}{\text{arbitrary }} j,\ell {\text{ och }}w=z=0\\\ell =0,{\text{godtycklig }}j{\text{ och }}w=0,z=\pm 1\\j =0,{\text{godtycklig }}\ell {\text{ och }}w=1,z=0\\j=\mp \ell ,w=1,z=\pm 1\end{cases}} \\t_{3}^{-j}H_{2}'=H_{2}'&\Rightarrow j=0{\text{ med godtycklig }}\ell \\s_{3}^{2\ell } H_{i}'=H_{i}'&\Rightarrow \ell =0{\text{ med godtycklig }}j&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}$

Följande ekvivalenser, för alla ${\displaystyle 1\leq i\leq 4},$ avslutar motiveringen av påståendena:

• $j,\ell$ båda godtyckliga $\Leftrightarrow \ker(T_{i}) =\langle x,y,G'\rangle =G\Leftrightarrow \varkappa (i)=0$ .
• $j=0$ med godtycklig $\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i} )=\langle y,G'\rangle =H_{1}\Leftrightarrow \varkappa (i)=1$ ,
• $\ell =0$ med godtycklig $j\Leftrightarrow \ker(T_{i} )=\langle x,G'\rangle =H_{2}\Leftrightarrow \varkappa (i)=2$ ,
• $j=\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy, G'\rangle =H_{3}\Leftrightarrow \varkappa (i)=3$ ,
• $j=-\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})= \langle xy^{-1},G'\rangle =H_{4}\Leftrightarrow \varkappa (i)=4$

Följaktligen är de tre sista komponenterna i TKT oberoende av parametrarna $w,z,$ vilket betyder att båda, TTT och TKT, avslöjar en unipolarisering vid den första komponenten.

Systematiskt bibliotek av SDT

Syftet med detta avsnitt är att presentera en samling av strukturerade samklassträd (SCT) av finita p -grupper med parametriserade presentationer och en kortfattad sammanfattning av invarianter. Det underliggande primtal $p$ är begränsat till små värden $p\in \{2,3,5\}$ . Träden är ordnade efter ökande samklass $r\geq 1$ och olika abelianiseringar inom varje samklass. För att hålla antalet avkomlingar hanterbara beskärs träden genom att eliminera hörn med djup större än ett. Vidare utelämnar vi träd där stabiliseringskriterier tvingar fram en gemensam TKT för alla hörn, eftersom vi inte längre betraktar sådana träd som strukturerade. Invarianterna som anges inkluderar

• förperiod och periodlängd,
• djup och bredd på grenar,
• uni-polarisation, TTT och TKT,
• $\sigma$ -grupper.

Vi avstår från att motivera invarianter, eftersom hur invarianter härleds från presentationer demonstrerades exemplariskt i avsnittet om kommutatorkalkyl.

Figur 5: Strukturerat ättlingträd av 2-grupper med samklass 1.

Samklass 1

För varje primtal ${\displaystyle p\in \{2,3,5\}} är$ det unika trädet av p -grupper av maximal klass utrustad med information om TTT och TKT, dvs. , ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 4,2\rangle )$ för ${\ displaystyle p=2,{\mathcal {T}}^{1}(\langle 9,2\rangle )}$ för $p=3$ och ${\ displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(\langle 25,2\rangle )}$ för $p=5$ . I det sista fallet är trädet begränsat till metabelska $5$ -grupper.

De $2$ -grupperna i samklass $1$ i figur 5 kan definieras av följande parametriserade polycykliska pc-presentation, helt annorlunda än Blackburns presentation.

2 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{c}\mid {} \\&x^{2}=s_{c}^{w},\ y^{2}=s_{c}^{z},\ s_{j}^{2}=s_{j+1}s_ {j+2}{\text{ för }}2\leq j\leq c-2,\ s_{c-1}^{2}=s_{c},\\&s_{2}=[y,x ],\ s_{j}=[s_{j-1},x]=[s_{j-1},y]{\text{ för }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned }}$

där nilpotensklassen är $c\geq 3$ , ordningen är $2^{n}$ med $n=c+1$ , och $w,z$ är parametrar. Grenarna är strikt periodiska med förperiod $1$ och periodlängd $1$ , och har djup $1$ och bredd $3$ . Polarisering sker för den tredje komponenten och TTT är $\tau =[(1^{2}),(1^{2 }),A(2,c)]$ , endast beroende av $c$ och med cyklisk $A(2,c)$ . TKT beror på parametrarna och är $\varkappa =(210)$ för de dihedriska huvudlinjens hörn med $w=z=0$ , ${\ displaystyle \varkappa =(213)}$ för de terminala generaliserade kvaterniongrupperna med $w=z=1$ och $\varkappa =(211)$ för terminal semi dihedriska grupper med $w=1,z=0$ . Det finns två undantag, den abelska roten med $\tau =[(1),(1),(1)]$ och $\varkappa =(000)$ , och den vanliga kvartjongruppen med $\tau =[(2),(2),(2) ]$ och $\varkappa =(123)$ .

Figur 6: Strukturerat ättlingträd av 3-grupper med samklass 1.

De $3$ -grupperna i samklass $1$ i figur 6 kan definieras av följande parametriserade polycykliska pc-presentation, något annorlunda än Blackburns presentation.

3 ${\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w )=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w },\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\ s_{j} ^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ för }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}= s_{c}^{2},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1} ,x]{\text{ för }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

där nilpotensklassen är $c\geq 5$ , är ordningen $3^{n}$ med $n=c+1$ , och $a,w,z$ är parametrar. Grenarna är strikt periodiska med förperiod $2$ och periodlängd $2$ och har djup $1$ och bredd $7$ . Polarisering sker för den första komponenten och TTT är ${\displaystyle \tau =[A(3,ca) ,(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]} ,$ endast beroende av $c$ och $a$ . TKT beror på parametrarna och är $\varkappa =(0000)$ för huvudlinjens hörn med $a=w=z=0 ,\varkappa =(1000)$ för de terminala hörnen med $a=0,w=1,z=0,\varkappa =(2000)$ för de terminala hörnen med $a=w=0,z=\pm 1$ och $\varkappa =(0000)$ för de terminala hörnen med $a=1,w\in \{-1,0,1\},z=0$ . Det finns tre undantag, den abelska roten med $\tau =[(1),(1),(1),(1) ]$ , den extra speciella gruppen av exponent $9$ med $\tau =[(1^{2}) ,(2),(2),(2)]$ och $\varkappa =(1111)$ och Sylow $3$ -undergruppen till den alternerande gruppen ${\ displaystyle A_{9}}$ med $\tau =[(1^{3}),(1^{2 }),(1^{2}),(1^{2})]$ . Huvudlinje- och hörn på udda grenar är $\sigma$ -grupper.

Figur 7: Strukturerat ättlingträd av metabelska 5-grupper med samklass 1.

De metabelska $5$ -grupperna i samklass $1$ i figur 7 kan definieras av följande parametriserade polycykliska pc-presentation, något annorlunda än Miechs presentation.

4 ${\begin{aligned}G_ {a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\ &x^{5}=s_{c}^{w},\ y^{5}=s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\\&s_{ 2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ för }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

där nilpotensklassen är $c\geq 3$ , är ordningen $5^{n}$ med $n=c+1$ , och $a,w,z$ är parametrar. De (metabelska!) grenarna är strikt periodiska med förperiod $3$ och periodlängd $4$ , och har djup $3$ och bredd $67$ . (Grenarna av det fullständiga trädet, inklusive icke-metabelska grupper, är bara praktiskt taget periodiska och har begränsad bredd men obegränsat djup!) Polarisering ${\displaystyle \tau =[A(5,ck),(1^{2})^{5}]} ,$ för den första komponenten och TTT är τ endast beroende av $c$ och kommutativitetsdefekten ${\ displaystil k}$ . TKT beror på parametrarna och är $\varkappa =(0^{6})$ för huvudlinjens hörn med $a= w=z=0,\varkappa =(10^{5})$ för de terminala hörnen med $a=0,w=1,z =0,\varkappa =(20^{5})$ för de terminala hörnen med $a=w=0,z\neq 0$ och $\varkappa =(0^{6})$ för hörnen med $a\neq 0$ . Det finns tre undantag, den abelska roten med $\tau =[(1)^{6}]$ , den extra speciella gruppen av exponent $25$ med $\tau =[(1^{2}),(2)^{5}]$ och $\varkappa =(1^ {6})$ och gruppen $\langle 15625,631\rangle$ med $\tau =[(1^ {5}),(1^{2})^{5}]$ . Huvudlinje- och hörn på udda grenar är $\sigma$ -grupper.

Samklass 2

Abelianisering av typ ( p , p )

Tre samklassträd, ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ , ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ och ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 729, 40\rangle )$ för $p=3$ , är försedda med information om TTT och TKT.

Figur 8: Första strukturerade ättlingträd av 3-grupper med samklass 2 och abelianisering (3,3).

På trädet ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )} ,$ de $3$ -grupperna i samklass ${ \displaystyle 2}$ med bicykliskt centrum i figur 8 kan definieras av följande parametriserade polycykliska pc-presentation.

5 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^ {3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3 }{\text{ för }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1 ,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ för }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

där nilpotensklassen är $c\geq 5$ , ordningen är $3^{n}$ med $n=c+2$ , och $w,z$ är parametrar. Grenarna är strikt periodiska med pre-period $2$ och period length $2$ , och har djup $3$ och bredd $18$ . Polarisering sker för den första komponenten och TTT är $\tau =[A(3,c),(1^ {3}),(21),(21)]$ , endast beroende av $c$ . TKT beror på parametrarna och är $\varkappa =(0122)$ för huvudlinjens hörn med ${\displaystyle w=z=0} ,$ ϰ $\displaystyle \varkappa =(2122)}$ för kapabla hörn med $w=0,z=\pm 1$ , $\varkappa =(1122)$ för terminala hörn med $w=1,z=0$ och $\varkappa =(3122)$ för terminala hörn med $w=1,z=\pm 1$ . Huvudlinje- och hörn på jämna grenar är $\sigma$ -grupper.

Figur 9: Andra strukturerade ättlingträd av 3-grupper med samklass 2 och abelianisering (3,3).

På trädet ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )} ,$ de $3$ -grupperna i samklass ${ \displaystyle 2}$ med bicykliskt centrum i figur 9 kan definieras av följande parametriserade polycykliska pc-presentation.

6 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w) =&\langle x,y,t_{2},s_{3},t_{3},\ldots ,t_{c}\mid {}\\&y^{3}=s_{3}t_{c} ^{w},\ x^{3}=t_{3}t_{4}^{2}t_{5}t_{c}^{z},\ t_{j}^{3}=t_{j +2}^{2}t_{j+3}{\text{ för }}2\leq j\leq c-3,\ t_{c-2}^{3}=t_{c}^{2} ,\ s_{3}^{3}=1,\\&t_{2}=[y,x],\ s_{3}=[t_{2},x],\ t_{j}=[t_{ j-1},y]{\text{ för }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

där nilpotensklassen är $c\geq 6$ , ordningen är $3^{n}$ med $n=c+2$ , och $w,z$ är parametrar. Grenarna är strikt periodiska med förperiod $2$ och periodlängd $2$ och har djup $3$ och bredd $16$ . Polarisering inträffar för den andra komponenten och TTT är $\tau =[(21),A(3,c), (21),(21)]$ , endast beroende av $c$ . TKT beror på parametrarna och är $\varkappa =(2034)$ för huvudlinjens hörn med ${\displaystyle w=z=0} ,$ ϰ $\displaystyle \varkappa =(2134)}$ för kapabla hörn med $w=0,z=\pm 1$ , $\varkappa =(2234)$ för terminala hörn med $w=1,z=0$ och $\varkappa =(2334)$ för terminala hörn med $w=1,z=\pm 1$ . Huvudlinje- och hörn på jämna grenar är $\sigma$ -grupper.

Abelianisering av typ ( s ² , s )

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,3\rangle )$ och ${\mathcal { T}}^{2}(\langle 16,4\rangle )$ för $p=2$ , ${\mathcal {T}}^{ 2}(\langle 243,15\rangle )$ och ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )$ för $p=3$ .

Abelianisering av typ ( p , p , p )

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,11\rangle )$ för $p=2$ och ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 81,12\rangle )$ för $p=3$ .

Samklass 3

Abelianisering av typ ( s ² , s )

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,13\rangle )$ , ${\mathcal { T}}^{3}(\langle 729,18\rangle )$ och ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,21\rangle )$ för $p=3$ .

Abelianisering av typ ( p , p , p )

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )$ och ${\mathcal { T}}^{3}(\langle 64,181\rangle )$ för $p=2$ , ${\mathcal {T}}^{3} (\langle 243,38\rangle )$ och ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,41\rangle )$ för ${\ displaystyle p=3}$ .

Figur 10: Minimala diskriminanter för den första ASCT av 3-grupper med samklass 2 och abelianisering (3,3).

Aritmetiska tillämpningar

I algebraisk talteori och klassfältteori ger strukturerade avkomningsträd (SDT) av finita p -grupper ett utmärkt verktyg för

• visualisera platsen för olika icke-abelska p -grupper $G(K)$ associerade med algebraiska talfält $K$ ,
• visa ytterligare information om grupperna $G(K)$ i etiketter fästa vid motsvarande hörn, och
• betonar periodiciteten av förekomster av grupperna $G(K)$ på grenar av samklassträd.

Låt till exempel $p$ vara ett primtal, och antag att $F_{p}^{2}(K)$ betecknar det andra Hilbert p -klassfältet i en algebraisk nummerfält $K$ , det vill säga den maximala metabelska oframifierade förlängningen av $K$ av graden a potens av $p$ . Då den andra p -klassgruppen $G_{p}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (F_{ p}^{2}(K)|K)$ av $K$ är vanligtvis en icke-abelsk p -grupp med härledd längd $2$ och tillåter ofta att dra slutsatser om hela p -klassen fälttorn av $K$ , det vill säga Galois-gruppen $G_{p}^{\infty }(K) =\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)|K)$ av den maximala oframifierade pro- p extension $F_{p}^{\infty }( K)$ av $K$ .

Givet en sekvens av algebraiska talfält $K$ med fast signatur ${\displaystyle (r_{1},r_{2})} ,$ ordnade efter de absoluta värdena för deras diskriminanter $d=d(K)$ , ett lämpligt strukturerat samklassträd (SCT) ${\mathcal {T}}$ , eller även den finita sporadiska delen ${\mathcal {G}}_{0}(p,r)$ av en samklassgraf ${\mathcal {G}}(p,r)$ , vars hörn är helt eller delvis realiseras av andra p -klassgrupper $G_{p}^{2}(K)$ av fälten $K$ är utrustad med ytterligare aritmetisk struktur när varje realiserad vertex $V\in {\mathcal {T}}$ , resp. ${\displaystyle V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,r)} ,$ mappas till data som rör fälten $K$ så att $V=G_{p}^{2}(K)$ .

Figur 11: Minimala diskriminanter för den andra ASCT av 3-grupper med samklass 2 och abelianisering (3,3).

Exempel

För att vara specifik, låt $p=3$ och betrakta komplexa kvadratiska fält $K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}} )$ med fast signatur $(0,1)$ med $3$ -klassgrupper med typinvarianter $(3,3)$ . Se OEIS A242863 [1] . Deras andra $3$ -klassgrupper $G_{3}^{2}(K)$ har bestämts av DC Mayer för området $-10^{6}<d<0$ , och senast av N. Boston, MR Bush och F. Hajir för det utökade intervallet $-10^{8}<d< 0$ .

Låt oss först välja de två strukturerade samklassträden (SCT) ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ och ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )} ,$ som redan är kända från figurerna 8 och 9, och förse dessa träd med ytterligare aritmetisk struktur genom att omge en realiserad vertex $V$ med en cirkel och ett intilliggande understruket heltal $\min\{|d|\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ som ger den minimala absoluta diskriminanten så att $V$ realiseras av den andra $3$ -klassgruppen $G_{3}^{2}(K(d))$ . Sedan får vi de aritmetiskt strukturerade samklassträden (ASCT) i figurerna 10 och 11, som i synnerhet ger ett intryck av den faktiska fördelningen av andra $3$ -klassgrupper. Se OEIS A242878 [2] .

Tabell 2: Minimala absoluta diskriminanter för tillstånd av sex sekvenser

Tillstånd $\uparrow ^{n}$	TKT E.14 $\varkappa =(3122)$	TKT E.6 $\varkappa =(1122)$	TKT H.4 $\varkappa =(2122)$	TKT E.9 $\varkappa =(2334)$	TKT E.8 $\varkappa =(2234)$	TKT G.16 $\varkappa =(2134)$
GS $\uparrow ^{0}$	$16627$	$15544$	$21668$	$9748$	$34867$	$17131$
ES1 $\uparrow ^{1}$	$262744$	$268040$	$446788$	$297079$	$370740$	$819743$
ES2 $\uparrow ^{2}$	$4776071$	$1062708$	$3843907$	$1088808$	$4087295$	$2244399$
ES3 $\uparrow ^{3}$	$40059363$	$27629107$	$52505588$	$11091140$	$19027947$	$30224744$
ES4 $\uparrow ^{4}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	$94880548$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

När det gäller periodiciteten av förekomster av andra $3$ -klassgrupper $G_{3}^{2}(K(d))$ av komplexa kvadratiska fält, var det bevisat att endast varannan gren av träden i figurerna 10 och 11 kan befolkas av dessa metabelska $3$ -grupper och att fördelningen sätts in med ett grundtillstånd (GS) på gren ${\mathcal {B}}(6)$ och fortsätter med högre exciterade tillstånd (ES) på grenarna ${\mathcal {B}}(j)$ med jämn $j \geq 8$ . Detta periodicitetsfenomen underbyggs av tre sekvenser med fasta TKT:er

• E.14 $\varkappa =(3122)$ , OEIS A247693 [3] ,
• E.6 $\varkappa =(1122)$ , OEIS A247692 [4] ,
• H.4 $\varkappa =(2122)$ , OEIS A247694 [5]

på ASCT ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ och med tre sekvenser med fasta TKT:er

• E.9 $\varkappa =(2334)$ , OEIS A247696 [6] ,
• E.8 $\varkappa =(2234)$ , OEIS A247695 [7] ,
• G.16 $\varkappa =(2134)$ ,OEIS A247697 [8]

på ASCT ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ . Hittills är grundtillståndet och tre exciterade tillstånd kända för var och en av de sex sekvenserna, och för TKT E.9 ${\displaystyle \varkappa =(2334)} har$ även det fjärde exciterade tillståndet redan inträffat. De minimala absoluta diskriminanterna för de olika tillstånden för var och en av de sex periodiska sekvenserna presenteras i tabell 2. Data för grundtillstånden (GS) och de första exciterade tillstånden (ES1) har hämtats från DC Mayer, den senaste informationen om den andra , tredje och fjärde exciterade tillstånd (ES2, ES3, ES4) beror på N. Boston, MR Bush och F. Hajir.

Figur 12: Frekvens av sporadiska 3-grupper med samklass 2 och abelianisering (3,3).

Tabell 3: Absoluta och relativa frekvenser för fyra sporadiska $3$ -grupper

$|d|$ <	Totalt $\#$	TKT D.10 $\varkappa =(3144)$$\tau =[(21)(1^{ 3})(21)(21)]$$G=\langle 243,5\rangle$	TKT D.5 $\varkappa =(1133)$$\tau =[(21)(1^ {3})(21)(1^{3})]$$G=\langle 243,7\rangle$	TKT H.4 $\varkappa =(4111)$$\tau =[(1^{3 })(1^{3})(1^{3})(21)]$$G=\langle 729,45\rangle$	TKT G.19 $\varkappa =(2143)$$\tau =[(21)(21)(21) )(21)]$$G=\langle 729,57\rangle$
$b=10^{6}$	$2020$	$667\ (33.0\%)$	$269\ (13,3\%)$	$297\ (14,7\%)$	$94\ (4,7\%)$
$b=10^{7}$	$24476$	$7622\ (31,14\%)$	$3625\ (14,81\%)$	$3619\ (14,79\%)$	$1019\ (4.163\%)$
$b=10^{8}$	$276375$	$83353\ (30.159\%)$	$41398\ (14.979\%)$	$40968\ (14.823\%)$	$10426\ (3,7724\%)$

Däremot, låt oss i andra hand välja den sporadiska delen ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ av samklassgrafen ${ \mathcal {G}}(3,2)$ för att visa att ett annat sätt att bifoga ytterligare aritmetisk struktur till efterkommande träd är att visa räknaren $\#\{|d|<b\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ av träffar av en realiserad vertex $V$ med den andra $3$ -klassgruppen $G_{3}^{2}(K(d))$ av fält med absoluta diskriminanter under en given övre gräns $b$ , till exempel $b=10^{8}$ . Med avseende på totalräknaren 276375 $\displaystyle 276375}$ av alla komplexa kvadratiska fält med $3$ -klassgrupp av typ $(3,3)$ och diskriminant $-b<d<0$ , detta ger den relativa frekvensen som en approximation till populationens asymptotiska täthet i figur 12 och tabell 3. Exakt fyra hörn av den finita sporadiska delen ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ av ${\mathcal {G}}(3,2)$ fylls med andra $3$ -klassgrupper $G_{3}^{2}(K(d))$ :

• $\langle 243,5\rangle$ , OEIS A247689 [9] ,
• $\langle 243,7\rangle$ , OEIS A247690 [10] ,
• $\langle 729,45\rangle$ , OEIS A242873 [11] ,
• $\langle 729,57\rangle$ , OEIS A247688 [12] .

Figur 13: Minimala absoluta diskriminanter av sporadiska 3-grupper med samklass 2 och abelianisering (3,3).

Figur 14: Minimala absoluta diskriminanter av sporadiska 5-grupper med samklass 2 och abelianisering (5,5).

Figur 15: Minimala absoluta diskriminanter av sporadiska 7-grupper med samklass 2 och abelianisering (7,7).

Jämförelse av olika primtal

Låt nu $p\in \{3,5,7\}$ och betrakta komplexa kvadratiska fält $K(d)=\ mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ med fast signatur $(0,1)$ och p -klassgrupper av typ $(p,p)$ . Den dominerande delen av de andra p -klassgrupperna i dessa fält fyller de översta hörnen av ordningen $p^{5}$ av den sporadiska delen ${\mathcal {G}} _{0}(p,2)$ av samklassgrafen ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)} ,$ som tillhör stammen av P. Halls isoklinismfamilj $\Phi _{6}$ , eller deras omedelbara ättlingar av ordningen $p^{6}$ . För primtal ${\displaystyle p>3} består$ stammen av $\Phi _{6}$ av $p+7$ reguljära p -grupper och avslöjar ett ganska enhetligt beteende med avseende på TKT och TTT, men de sju $3$ -grupperna i stammen av $\Phi _{6}$ är oregelbundna . Vi betonar att det också finns flera ( $3$ för $p=3$ och $4$ för $p>3$ ) oändligt kapabla hörn i stammen av $\Phi _{6}$ som delvis är rötter till samklassträd. Men här fokuserar vi på de sporadiska hörnen som antingen är isolerade Schur $\sigma$ -grupper ( $2$ för $p=3$ och $p+ 1$ för $p>3$ ) eller rötter av finita träd inom ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ ( ${\ displaystyle 2}$ för varje ${\displaystyle p\geq 3} )$ . För $p>3$ , är TKT för Schur $\sigma$ -grupper en permutation vars cykelnedbrytning inte innehåller transpositioner, medan TKT för rötter från finita träd är en sammansättning av disjunkta transpositioner med ett jämnt antal ( $0$ eller $2$ ) av fasta punkter.

Vi förlänar skogen ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,2)} ($ en ändlig förening av efterkommande träd) med ytterligare aritmetisk struktur genom att fästa den minimala absoluta diskriminanten $\min\{|d|\mid V=G_{p}^{2}(K(d))\}$ till varje realiserad vertex $V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ . Den resulterande strukturerade sporadiska samklassgrafen visas i figur 13 för $p=3$ , i figur 14 för $p=5$ och i figur 15 för $p =7$ .