Biquadratisk fält

Inom matematik är ett biquadratiskt fält ett talfält K av ett visst slag, vilket är en Galois-förlängning av det rationella talfältet Q med Galois-gruppen Klein -fyrgruppen .

Struktur och delfält

Biquadratiska fält erhålls alla genom att angränsa två kvadratrötter . Därför har de uttryckligen formen

K = Q ( √ a , √ b )

för rationella tal a och b . Det finns ingen förlust av generalitet i att ta a och b för att vara icke-noll och kvadratfria heltal .

Enligt Galois teori måste det finnas tre kvadratiska fält i K , eftersom Galois-gruppen har tre undergrupper av index 2. Det tredje underfältet, för att lägga till det tydliga Q ( √ a ) och Q ( √ b ), är Q ( √ b ). √ ab ).

L-funktion

Biquadratic fields är de enklaste exemplen på abelska förlängningar av Q som inte är cykliska förlängningar . Enligt allmän teori Dedekind zeta-funktionen för ett sådant fält en produkt av Riemann zeta-funktionen och tre Dirichlet L-funktioner . Dessa L-funktioner är för Dirichlet-tecken som är Jacobi-symbolerna som är kopplade till de tre kvadratiska fälten. Att därför ta produkten av Dedekind zeta-funktionerna i de kvadratiska fälten, multiplicera dem tillsammans och dividera med kvadraten på Riemann zeta-funktionen, är ett recept för Dedekind zeta-funktionen i det biquadratiska fältet. Detta illustrerar också några allmänna principer för abelska förlängningar, såsom beräkningen av ett fälts ledare .

Sådana L-funktioner har tillämpningar i analytisk teori ( Siegel nollor ), och i vissa av Kroneckers arbete.

• Avsnitt 12 av    Swinnerton-Dyer, HPF (2001), A short guide to algebraic number theory , London Mathematical Society Student Texts, vol. 50, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00423-7 , MR 1826558