Idealiskt antal

I talteorin är ett idealtal ett algebraiskt heltal som representerar ett ideal i ringen av heltal i ett talfält ; idén utvecklades av Ernst Kummer och ledde till Richard Dedekinds definition av ideal för ringar. Ett ideal i ringen av heltal i ett algebraiskt talfält är principiellt om det består av multiplar av ett enda element i ringen, och icke-principal i övrigt. Genom principalidealsatsen blir alla icke-principiella ideal huvudsakliga när de utvidgas till ett ideal av Hilbert-klassfältet . Detta betyder att det finns ett element i ringen av heltal i Hilbert-klassfältet, vilket är ett idealtal, så att det ursprungliga icke-principiella idealet är lika med samlingen av alla multipler av detta idealtal med element i denna heltalsring som ligga i det ursprungliga fältets ring av heltal.

Exempel

Låt till exempel $y$ vara en rot av $y^{2}+y+6=0$ , sedan ringen av heltal i fältet $\mathbb {Q} (y)$ är $\mathbb {Z} [y]$ , vilket betyder alla $a+b\cdot y$ med $a$ och $b$ heltal bildar ringen av heltal. Ett exempel på ett icke-principiellt ideal i denna ring är mängden av alla $2a+y\cdot b$ där $a$ och $b$ är heltal; kuben för detta ideal är huvudsaklig, och i själva verket klassgruppen cyklisk av ordning tre. Motsvarande klassfält erhålls genom att ansluta ett element $w$ som uppfyller $w^{3}-w-1=0$ till $\mathbb { Q} (y)$ , vilket ger $\mathbb {Q} (y,w)$ . Ett idealtal för det icke-huvudsakliga idealet $2a+y\cdot b$ är $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$ . Eftersom detta uppfyller ekvationen $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$ det är ett algebraiskt heltal.

Alla element i ringen av heltal i klassfältet som multiplicerade med $\iota$ ger ett resultat i $\mathbb {Z} [y]$ har formen $a\cdot \alpha +y\cdot \beta$ , där

\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw ^{2})/23

och

\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw- 11yw^{2})/23.

Koefficienterna α och β är också algebraiska heltal, tillfredsställande

\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}- 15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0

och

\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+ 112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0

respektive. Att multiplicera $a\cdot \alpha +b\cdot \beta$ med idealtalet $\iota$ ger $2a+b\cdot y$ , vilket är det icke-principiella idealet.

Historia

Kummer publicerade först misslyckandet med unik faktorisering i cyklotomiska fält 1844 i en obskyr tidskrift; den trycktes om 1847 i Liouvilles tidskrift. I efterföljande artiklar 1846 och 1847 publicerade han sin huvudsats, den unika faktoriseringen till (faktiska och idealiska) primtal.

Det är allmänt trott att Kummer leddes till sina "ideala komplexa tal" av sitt intresse för Fermats sista sats ; det finns till och med en historia som ofta berättas att Kummer, liksom Lamé , trodde att han hade bevisat Fermats sista sats tills Lejeune Dirichlet berättade för honom att hans argument grundade sig på unik faktorisering; men historien berättades först av Kurt Hensel 1910 och bevisen tyder på att den troligen härrör från en förvirring av en av Hensels källor. Harold Edwards säger att tron att Kummer främst var intresserad av Fermats sista sats "är säkert felaktigt" (Edwards 1977, s. 79). Kummers användning av bokstaven λ för att representera ett primtal, α för att beteckna en λ:te rot av enhet, och hans studie av faktoriseringen av primtal p ≡ 1 ( mod λ ) {\ $pmod {\lambda }}}$ till "komplexa tal sammansatta av $\lambda$ rötterna av enhet" härleds alla direkt från ett dokument från Jacobi som handlar om högre ömsesidighetslagar . Kummers memoarbok från 1844 var till ära av Königsbergs universitets jubileumsfirande och var tänkt som en hyllning till Jacobi. Även om Kummer hade studerat Fermats sista teorem på 1830-talet och förmodligen var medveten om att hans teori skulle få konsekvenser för dess studie, är det mer troligt att ämnet för Jacobis (och Gauss) intresse, högre ömsesidighetslagar, hade större betydelse för honom . Kummer hänvisade till sitt eget partiella bevis på Fermats sista teorem för vanliga primtal som "en nyfikenhet på talteorin snarare än en viktig punkt" och till lagen om högre ömsesidighet (som han angav som en gissning) som "huvudämnet och höjdpunkten av samtida talteori." Å andra sidan gjordes detta sistnämnda uttalande när Kummer fortfarande var upphetsad över framgången med sitt arbete om ömsesidighet och när hans arbete med Fermats sista sats höll på att ta slut, så det kan kanske tas med viss skepsis.

Utvidgningen av Kummers idéer till det allmänna fallet genomfördes oberoende av Kronecker och Dedekind under de följande fyrtio åren. En direkt generalisering stötte på enorma svårigheter, och det ledde så småningom Dedekind till skapandet av teorin om moduler och ideal . Kronecker behandlade svårigheterna genom att utveckla en teori om former (en generalisering av kvadratiska former ) och en teori om divisorer . Dedekinds bidrag skulle bli grunden för ringteori och abstrakt algebra , medan Kroneckers skulle bli viktiga verktyg inom algebraisk geometri .

Nicolas Bourbaki , Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, NY, 1999.
Harold M. Edwards , Fermats sista sats. En genetisk introduktion till talteori. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
CG Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis och numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; omtryckt i Jour. de Math. 12 (1847) 185-212.
EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. för matte. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
John Stillwell , introduktion till teorin om algebraiska heltal av Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Storbritannien, 1996.

externa länkar

Ideala tal , bevis på att teorin om ideala tal sparar unik faktorisering för cyklotomiska heltal på Fermats sista satsblogg .