Kubikfält

I matematik , specifikt området för algebraisk talteori , är ett kubikfält ett algebraiskt talfält av grad tre.

Definition

Om K är en fältförlängning av de rationella talen Q av grad [ K : Q ] = 3, så kallas K ett kubiskt fält . Varje sådant fält är isomorft till ett fält av formen

$\mathbf {Q} [x]/(f(x))$

där f är ett irreducerbart kubiskt polynom med koefficienter i Q . Om f har tre reella rötter , så kallas K för ett totalt reellt kubiskt fält och det är ett exempel på ett totalt reellt fält . Om å andra sidan f har en icke-reell rot, så kallas K för ett komplext kubikfält .

Ett kubiskt fält K kallas ett cykliskt kubiskt fält om det innehåller alla tre rötterna av dess genererande polynom f . På motsvarande sätt K ett cykliskt kubiskt fält om det är en Galois-förlängning av Q , i vilket fall dess Galois-grupp över Q är cyklisk av ordning tre. Detta kan bara hända om K är helt verklig. Det är en sällsynt företeelse i den meningen att om uppsättningen kubiska fält är ordnade efter diskriminant , så närmar sig andelen kubiska fält som är cykliska noll när gränsen för diskriminanten närmar sig oändligheten.

Ett kubiskt fält kallas ett rent kubiskt fält om det kan erhållas genom att sätta den reella kubroten ${\sqrt[{3}]{n}}$ av ett kubfritt positivt heltal n till det rationella talet fält Q . Sådana fält är alltid komplexa kubiska fält eftersom varje positivt tal har två komplexa icke-reella kubrötter.

Exempel

• Att ansluta den reella kubroten av 2 till de rationella talen ger det kubiska fältet $\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ . Detta är ett exempel på ett rent kubiskt fält, och därmed på ett komplext kubiskt fält. Faktum är att av alla rena kubiska fält har den den minsta diskriminanten (i absolut värde ), nämligen −108.
• Det komplexa kubiska fältet som erhålls genom att angränsa till Q en rot av x ³ + x ² − 1 är inte rent. Den har den minsta diskriminanten (i absolut värde) av alla kubiska fält, nämligen −23.
• Att ansluta en rot av x ³ + x ² − 2 x − 1 till Q ger ett cykliskt kubiskt fält, och därmed ett totalt reellt kubiskt fält. Den har den minsta diskriminanten av alla helt verkliga kubiska fält, nämligen 49.
• Fältet som erhålls genom att angränsa till Q en rot av x ³ + x ² − 3 x − 1 är ett exempel på ett totalt reellt kubiskt fält som inte är cykliskt. Dess diskriminant är 148, den minsta diskriminanten av ett icke-cykliskt totalt reellt kubiskt fält.
• Inga cyklotomiska fält är kubiska eftersom graden av ett cyklotomiskt fält är lika med φ( n ), där φ är Eulers totientfunktion , som bara antar jämna värden förutom φ(1) = φ(2) = 1.

Galois stängning

Ett cykliskt kubiskt fält K är dess egen Galois-stängning med Galois-gruppen Gal( K / Q ) isomorf till den cykliska gruppen av ordning tre. Emellertid är vilket annat kubiskt fält K som helst en icke-Galois-förlängning av Q och har en fältförlängning N av grad två som sin Galois-stängning. Galoisgruppen Gal( N / Q ) är isomorf till den symmetriska gruppen S ₃ på tre bokstäver.

Tillhörande kvadratiskt fält

Diskriminanten för ett kubiskt fält K kan skrivas unikt som df ² där d är en fundamental diskriminant . Då K cyklisk om och endast om d = 1, i vilket fall det enda underfältet av K är Q själv. Om d ≠ 1 så innehåller Galois-slutningen N av K ett unikt kvadratiskt fält k vars diskriminant är d (i fallet d = 1 betraktas underfältet Q ibland som det "degenererade" kvadratiska fältet för diskriminant 1). Ledaren för N över k är f , och f ² är den relativa diskriminanten av N över K . Diskriminanten för N är d3f4 ^{. _} _

Fältet K är ett rent kubiskt fält om och endast om d = −3. Detta är fallet för vilket det kvadratiska fältet som ingår i Galois-stängningen av K är det cyklotomiska fältet av kubrötter av enhet .

Diskriminerande

De blå korsen är antalet helt verkliga kubiska fält av avgränsad diskriminant. Den svarta linjen är den asymptotiska fördelningen till första ordningen medan den gröna linjen inkluderar andra ordningens term.

De blå korsen är antalet komplexa kubiska fält av avgränsad diskriminant. Den svarta linjen är den asymptotiska fördelningen till första ordningen medan den gröna linjen inkluderar andra ordningens term.

Eftersom tecknet för diskriminanten för ett talfält K är (−1) ^{r ₂} , där r ₂ är antalet konjugerade par av komplexa inbäddningar av K i C , kommer diskriminanten för ett kubiskt fält att vara positiv precis när fältet är helt verkligt och negativt om det är ett komplext kubiskt fält.

Givet något reellt tal N > 0 finns det bara ändligt många kubiska fält K vars diskriminant D _K uppfyller | D _K | ≤ N . Formler är kända som beräknar den primära sönderdelningen av D _K , och den kan därför explicit beräknas.

Till skillnad från kvadratiska fält kan flera icke-isomorfa kubiska fält K ₁ , ..., Km _dela samma diskriminant D . Antalet m av dessa fält kallas multipliciteten av diskriminanten D . Några små exempel är m = 2 för D = -1836, 3969, m = 3 för D = -1228, 22356, m = 4 för D = -3299, 32009 och m = 6 för D = -70956, 3054132.

Varje kubiskt fält K kommer att ha formen K = Q (θ) för något tal θ som är en rot av ett irreducerbart polynom

$f(X)=X^{3}-aX+b$

där a och b är heltal. Diskriminanten för f är Δ = 4 a ³ − 27 b ² . Betecknar diskriminanten för K med D , definieras index i ( θ) för θ sedan av Δ = i (θ) ^2D .

I fallet med ett icke-cykliskt kubiskt fält K kan denna indexformel kombineras med ledarformeln D = f ² d för att erhålla en sönderdelning av polynomdiskriminanten Δ = i (θ) ² f ² d till kvadraten av produkten i (θ) f och diskriminanten d för det kvadratiska fältet k associerat med det kubiska fältet K , där d är kvadratfritt upp till en möjlig faktor 2 ² eller 2 ³ . Georgy Voronoy gav en metod för att separera i (θ) och f i den kvadratiska delen av Δ.

Studiet av antalet kubiska fält vars diskriminant är mindre än en given gräns är ett aktuellt forskningsområde. Låt N ⁺ ( X ) (respektive N ⁻ ( X )) beteckna antalet totalt reella (respektive komplexa) kubiska fält vars diskriminant är avgränsad av X i absolut värde. I början av 1970-talet Harold Davenport och Hans Heilbronn den första termen för det asymptotiska beteendet hos N ^± ( X ) (dvs när X går till oändligheten). Med hjälp av en analys av resterna av Shintani zeta-funktionen , kombinerat med en studie av tabellerna över kubiska fält sammanställda av Karim Belabas ( Belabas 1997 ) och vissa heuristiker , antog David P. Roberts en mer exakt asymptotisk formel:

$N^{\pm }(X) \sim {\frac {A_{\pm }}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3}})B_{\pm }}{5\ Gamma ({\frac {2}{3}})^{3}\zeta ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}$

där A _± = 1 eller 3, B _± = 1 eller ${\displaystyle {\sqrt {3}}} ,$ enligt det helt reella eller komplexa fallet, ζ( s ) är Riemann zeta-funktionen , och Γ( s ) är gamma-funktionen . Bevis för denna formel har publicerats av Bhargava, Shankar & Tsimerman (2013) med metoder baserade på Bhargavas tidigare arbete, samt av Taniguchi & Thorne (2013) baserade på Shintani zeta-funktionen.

Enhetsgrupp

Enligt Dirichlets enhetssats bestäms den vridningsfria enhetsrankningen r för ett algebraiskt talfält K med r ₁ reella inbäddningar och r ₂ par av konjugerade komplexa inbäddningar av formeln r = r ₁ + r ₂ − 1. Därav en helt verkligt kubiskt fält K med r ₁ = 3, r ₂ = 0 har två oberoende enheter ε ₁ , ε ₂ och ett komplext kubiskt fält K med r ₁ = r ₂ = 1 har en enda grundläggande enhet ε ₁ . Dessa grundläggande system av enheter kan beräknas med hjälp av generaliserade fortsatta bråkalgoritmer av Voronoi , som har tolkats geometriskt av Delone och Faddeev .

Anteckningar

• Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introduktion till algebraisk talteori , Cambridge University Press , 2004.
•   Belabas, Karim (1997), "A fast algorithm to compute cubic fields", Mathematics of Computation , 66 (219): 1213–1237, doi : 10.1090/s0025-5718-97-00846-6 , MR 7915
•    Bhargava, Manjul ; Shankar, Arul; Tsimerman, Jacob (2013), "On the Davenport–Heilbronn theorem and second order terms", Inventiones Mathematicae , 193 (2): 439–499, arXiv : 1005.0672 , Bibcode : 2013InMat.193..4020B 193..4020B ..4109 : 7 -012-0433-0 , MR 3090184 , S2CID 253738365
•    Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol. 138, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4 , MR 1228206
•    Cohn, Harvey (1954), "The density of abelian cubic fields", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (3): 476–477, doi : 10.2307/2031963 , JSTOR 2031963 , MR 0064076
•    Davenport, Harold ; Heilbronn, Hans (1971), "On the density of discriminants of cubic fields. II", Proceedings of the Royal Society A , 322 (1551): 405–420, Bibcode : 1971RSPSA.322..405D , doi : 10.1098/rspa .1971.0075 , MR 0491593 , S2CID 122814162
•   Hasse, Helmut (1930), "Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage", Mathematische Zeitschrift (på tyska), 31 (1): 565–582, doi : 10.1007/BF01246435 , S2CID 529
•    Roberts, David P. (2001), "Density of cubic field discriminants", Mathematics of Computation , 70 (236): 1699–1705, arXiv : math/9904190 , doi : 10.1090/s0025-5012900 MR 1836927 , S2CID 7524750
•    Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), "Sekundära termer i räknefunktioner för kubiska fält", Duke Mathematical Journal , 162 (13): 2451–2508, arXiv : 1102.2914 , doi : 10.1215/00127094-62 7094-62 7094-2 , 00127094-2 , 7C 16463250

externa länkar

• Media relaterade till Cubic field på Wikimedia Commons