Idealisk norm

I kommutativ algebra är normen för ett ideal en generalisering av en norm för ett element i fältförlängningen . Det är särskilt viktigt i talteorin eftersom det mäter storleken på ett ideal av en komplicerad talring i termer av ett ideal i en mindre komplicerad ring . När den mindre komplicerade talringen tas som ringen av heltal, Z , så är normen för ett ideal I som inte är noll i en talring R helt enkelt storleken på den finita kvotringen R / I .

Relativ norm

Låt A vara en Dedekind-domän med fält av fraktioner K och integralslutning av B i en finit separerbar förlängning L av K . (detta antyder att B också är en Dedekind-domän.) Låt ${\mathcal {I}}_{A}$ och ${\mathcal {I}}_{B}$ vara idealgrupper av A respektive B (dvs. uppsättningarna av bråksideal som inte är noll .) Enligt tekniken utvecklad av Jean-Pierre Serre , normkartan

N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}

är den unika grupp homomorfism som tillfredsställer

N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{ \mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}

för alla icke-noll primideal ${\mathfrak {q}}$ av B , där ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A$ är huvudideal för A som ligger under ${\mathfrak {q}}$ .

Alternativt kan man för alla ${\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}$ definiera $N_{B/ A}({\mathfrak {b}})$ för att vara bråksidealet för A genererat av mängden $\{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}$ av fältnormer för element i B .

För ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}$ har man $N_{B/ A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}$ , där $n=[L:K]$ .

Idealnormen för ett huvudideal är således förenlig med fältnormen för ett element:

N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.

Låt $L/K$ vara en Galois-förlängning av talfält med ringar av heltal ${\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}} _{L}$ .

Då gäller det föregående med ${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}} , och$ för alla ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\i {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}} har$ vi

N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O} }_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatörsnamn {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),

som är ett element av ${\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}$ .

Notationen ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}} förkortas ibland$ till $N_ {L/K}$ , ett missbruk av notation som är kompatibelt med att även skriva $N_{L/K}$ för fältnormen, som noterats ovan.

I fallet ${\displaystyle K=\mathbb {Q} } ,$ är det rimligt att använda positiva rationella tal som intervall för $N_{{\mathcal {O}}_{L }/\mathbb {Z} }\,$ eftersom $\mathbb {Z}$ har trivial ideal klassgrupp och enhetsgrupp $\{\pm 1\}$ , alltså var och en som inte är noll ideal för $\mathbb {Z}$ genereras av ett unikt bestämt positivt rationellt tal . Enligt denna konvention sammanfaller den relativa normen från $L$ ner till $K=\mathbb {Q}$ med den absoluta normen definierad nedan.

Absolut norm

Låt $L$ vara ett talfält med ring av heltal ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} ,$ och ${\mathfrak {a}}$ en icke-noll (integral ) ideal för ${\mathcal {O}}_{L}$ .

Den absoluta normen för ${\mathfrak {a}}$ är

N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O} }_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,

Enligt konventionen anses nollidealets norm vara noll.

Om ${\mathfrak {a}}=(a)$ är ett huvudideal , då

N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|

.

Normen är fullständigt multiplikativ : om ${\mathfrak {a}}$ och ${\mathfrak {b}}$ är ideal för ${\mathcal {O}}_{L }$ , då

N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N( {\mathfrak {b}})

.

Således sträcker sig den absoluta normen unikt till en grupphomomorfism

N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^ {\times },

definieras för alla bråksideal som inte är noll för ${\mathcal {O}}_{L}$ .

Normen för ett ideal ${\mathfrak {a}}$ kan användas för att ge en övre gräns för fältnormen för det minsta element som inte är noll den innehåller:

det finns alltid en icke-noll $a\in {\mathfrak {a}}$ för vilken

\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s} {\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),

var

$\Delta _{L}$ är diskriminanten för $L$ och
$s$ är antalet par av (icke verkliga) komplexa inbäddningar av $L$ i $\mathbb {C}$ (antalet komplexa platser av $L$ ).

Se även