Trogen representation

Inom matematiken , särskilt inom ett område av abstrakt algebra känt som representationsteori , är en trogen representation ρ av en grupp $G$ på ett vektorrum $V$ en linjär representation där olika element $g$ av $G$ representeras av distinkta linjära avbildningar $ρ (g)$ .

I ett mer abstrakt språk betyder det att gruppen homomorfism

\rho :G\to GL(V)

är injektiv (eller en-till-en ).

Varning: Även om representationer av $G$ över ett fält $K$ de facto är detsamma som $K [G]$ - moduler (med $K [G]$ betecknar gruppalgebra för gruppen $G$ ), är en trogen representation av $G$ inte nödvändigtvis en trogen modul för gruppalgebra. Faktum är att varje trogen $K [G]$ -modul är en trogen representation av $G$ , men det omvända gäller inte. Betrakta till exempel den naturliga representationen av den symmetriska gruppen $S n$ i $n$ dimensioner genom permutationsmatriser , vilket verkligen är troget. Här är gruppens ordning $n!$ medan $n \times n$ matriserna bildar ett vektorrum med dimensionen $n 2$ . Så snart $n$ är minst 4 betyder dimensionsräkning att ett visst linjärt beroende måste uppstå mellan permutationsmatriser (eftersom $24 > 16 )$ ; denna relation betyder att modulen för gruppalgebra inte är trogen.

Egenskaper

En representation $V$ av en ändlig grupp $G$ över ett algebraiskt slutet fält $K$ med karakteristisk noll är trovärdig (som en representation) om och endast om varje irreducerbar representation av $G$ förekommer som en subrepresentation av $S n V$ (den $n$ -te symmetriska potensen av representation $V$ ) för ett tillräckligt högt $n$ . Dessutom $V$ trogen (som en representation) om och endast om varje irreducerbar representation av $G$ förekommer som en underrepresentation av

V^{\otimes n}=\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ gånger}} }

(den $n$ :e tensorpotentialen av representationen $V$ ) för ett tillräckligt högt $n$ .

"trogen representation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]