Janko grupp J 2

För allmän bakgrund och historia om Janko sporadiska grupper, se Janko grupp .

Inom området för modern algebra känt som gruppteori är Janko- gruppen J 2 _eller Hall -Janko-gruppen HJ en sporadisk enkel ordningsgrupp

    2 ⁷ · 3 ³ · 5 ² · 7 = 604800

≈ 6 × 10 ⁵ .

Historia och fastigheter

J ₂ är en av de 26 sporadiska grupperna och kallas även för Hall–Janko–Wales-gruppen . 1969 förutspådde Zvonimir Janko J ₂ som en av två nya enkla grupper med 2 ¹⁺⁴ :A ₅ som centraliserare av en involution (den andra är Janko-gruppen J3 ). Den konstruerades av Hall och Wales ( 1968 ) som en rang 3 permutationsgrupp på 100 poäng.

₀ Både Schur-multiplikatorn och den yttre automorfismgruppen har ordning 2. Som en permutationsgrupp på 100 punkter har J ₂ involutioner som flyttar alla 100 punkter och involutioner som rör sig bara 80 punkter. De tidigare involutionerna är produkter av 25 dubbla transporter, ett udda antal, och därmed lyft till 4-element i det dubbla locket 2.A ₁₀₀ . Det dubbla locket 2.J ₂ förekommer som en undergrupp av Conway-gruppen Co.

J ₂ är den enda av de 4 Janko-grupperna som är en underkvot till monstergruppen ; det är alltså en del av vad Robert Griess kallar den lyckliga familjen. Eftersom den även finns i Conway-gruppen Co1 är den därför en del av den andra generationen av Happy Family.

Framställningar

Det är en undergrupp av index två i gruppen av automorfismer i Hall-Janko-grafen , vilket leder till en permutationsrepresentation av grad 100. Det är också en undergrupp av index två i gruppen av automorfismer i Hall-Janko Near Octagon , vilket leder till en permutationsrepresentation av grad 315.

Den har en modulär representation av dimension sex över fältet av fyra element; om vi i karakteristik två har w ² + w + 1 = 0 , så genereras J _{2 av de två matriserna}

${\mathbf {A} }={\begin {pmatrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2} &w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{pmatrix}}$

och

${\mathbf {B} }={\begin{pmatrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\ 0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{pmatrix}}.$

Dessa matriser uppfyller ekvationerna

${\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}= ({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} } {\mathbf {B} })^{12}=1.$

(Observera att matrismultiplikation på ett finit fält av ordning 4 definieras något annorlunda än vanlig matrismultiplikation. Se Finite field § Fält med fyra element för de specifika additions- och multiplikationstabellerna, med w samma som a och w ² samma som 1 + a .)

J ₂ är alltså en Hurwitz-grupp , en finit homomorf bild av triangelgruppen (2,3,7) .

   Matrisrepresentationen ovan utgör en inbäddning i Dicksons grupp G ₂ (4) . Det finns bara en konjugationsklass av J ₂ i G ₂ (4). Varje undergrupp J ₂ som finns i G ₂ (4) sträcker sig till en undergrupp J ₂ :2 = Aut(J ₂ ) i G ₂ (4):2 = Aut( G ₂ (4)) ( G ₂ (4) förlängd med fältautomorfismerna av F ₄ ). G2 (4) är i sin tur isomorf till en undergrupp av _{Conway -} gruppen Coi .

Maximala undergrupper

Det finns 9 konjugationsklasser av maximala undergrupper av J ₂ . Några beskrivs här i termer av handling på Hall–Janko-grafen.

• U ₃ (3) ordning 6048 – enpunktsstabilisator, med banor på 36 och 63

Enkel, innehållande 36 enkla undergrupper av ordningen 168 och 63 involutioner, alla konjugerade, var och en rör sig 80 punkter. En given involution finns i 12 168-undergrupper, vilket fixerar dem under konjugation. Dess centraliserare har struktur 4.S ₄ , som innehåller 6 ytterligare involutioner.

• 3.PGL(2,9) order 2160 – har en underkvot A ₆
• 2 ¹⁺⁴ :A ₅ order 1920 – centraliserare av involution flyttar 80 poäng
• 2 ²⁺⁴ :(3 × S ₃ ) beställ 1152
• A ₄ × A ₅ beställning 720

Innehåller 2 ² × A ₅ (order 240), centraliserare med 3 varv vardera rör sig 100 punkter

• A ₅ × D ₁₀ order 600
• PGL(2,7) order 336
• 5 ² :D ₁₂ beställ 300:-
• En ₅ order 60

Konjugationskurser

Den maximala ordningen för ett element är 15. Som permutationer verkar element på de 100 hörnen i Hall–Janko-grafen.

Beställa	Inga element	Cykelstruktur och konjugation
1 = 1	1 = 1	1 klass
2 = 2	315 = 3 2 · 5 · 7	2 40 , 1 klass
	2520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7	2 50 , 1 klass
3 = 3	560 = 2 4 · 5 · 7	3 30 , 1 klass
	16800 = 2 5 · 3 · 5 2 · 7	3 32 , 1 klass
4 = 2 2	6300 = 2 2 · 3 2 · 5 2 · 7	2 6 4 20 , 1 klass
5 = 5	4032 = 2 6 · 3 2 · 7	5 20 , 2 klasser, effektmotsvarande
	24192 = 2 7 · 3 3 · 7	5 20 , 2 klasser, effektmotsvarande
6 = 2 · 3	25200 = 2 4 · 3 2 · 5 2 · 7	2 4 3 6 6 12 , 1 klass
	50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7	2 2 6 16 , 1 klass
7 = 7	86400 = 2 7 · 3 3 · 5 2	7 14 , 1 klass
8 = 2 3	75600 = 2 4 · 3 3 · 5 2 · 7	2 3 4 3 8 10 , 1 klass
10 = 2 · 5	60480 = 2 6 · 3 3 · 5 · 7	10 10 , 2 klasser, effektmotsvarande
	120960 = 2 7 · 3 3 · 5 · 7	5 4 10 8 , 2 klasser, effektmotsvarande
12 = 2 2 · 3	50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 klass
15 = 3 · 5	80640 = 2 8 · 3 2 · 5 · 7	5 2 15 6 , 2 klasser, effektmotsvarande

• Robert L. Griess , Jr., "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.
•    Hall, Marshall; Wales, David (1968), "The simple group of order 604 800", Journal of Algebra , 9 (4): 417–450, doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 , ISSN 0021-8693 , 4019 4019 (Griess berättar [s. 123] hur Marshall Hall, som redaktör för The Journal of Algebra , fick en mycket kort artikel med titeln "A simple group of order 604801." Ja, 604801 är prime.)
•   Janko, Zvonimir (1969), "Some new simple groups of finite order. I", Symposia Mathematica (INDAM, Rom, 1967/68), Vol. 1 , Boston, MA: Academic Press , s. 25–64, MR 0244371
• Wales, David B., "The uniqueness of the simple group of order 604800 as a subgroup of SL(6,4)", Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
•   Wales, David B., "Generators of the Hall–Janko group as a subgroup of G2(4)", Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 , MR 0251133 , ISSN 0021-8693

externa länkar

• MathWorld: Janko Groups
• Atlas över ändliga grupprepresentationer: J ₂
• Undergruppens gitter av J ₂