Monster Lie algebra

Inom matematiken är monstret Lie-algebra en oändligt dimensionell generaliserad Kac-Moody-algebra som agerat på av monstergruppen , som användes för att bevisa de monstruösa månskensförmodan .

Strukturera

Monster Lie algebra m är en Z ² - graderad Lie algebra . Gradbiten ( m , n ) har dimension c _mn if ( m , n ) ≠ (0, 0) och dimension 2 if ( m , n ) = (0, 0). Heltalen c _n j är koefficienterna för q ⁿ för -invarianten som elliptisk modulär funktion

$j(q)-744={1 \over q}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .$

Cartan -subalgebra är det 2-dimensionella underrummet av grad (0, 0), så monster Lie-algebra har rang 2.

Monster Lie-algebra har bara en riktig enkel rot , given av vektorn (1, −1), och Weyl-gruppen har ordning 2, och agerar genom att avbilda ( m , n ) till ( n , m ). De imaginära enkla rötterna är vektorerna (1, n ) för n = 1, 2, 3, ..., och de har multipliciteter c _n .

Nämnarformeln för monstret Lie-algebra är produktformeln för j -invarianten:

$j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1- p^{n}q^{m})^{c_{nm}}.$

Nämnarformeln (ibland kallad Koike-Norton-Zagiers oändliga produktidentitet) upptäcktes på 1980-talet. Flera matematiker, inklusive Masao Koike, Simon P. Norton och Don Zagier , gjorde självständigt upptäckten.

Konstruktion

Det finns två sätt att konstruera monster Lie-algebra. Eftersom det är en generaliserad Kac-Moody algebra vars enkla rötter är kända, kan den definieras av explicita generatorer och relationer; dock ger denna presentation inte en åtgärd av monstergruppen på den.

Det kan också konstrueras från monstervertexalgebra genom att använda Goddard-Thorn-teorem för strängteorin . Denna konstruktion är mycket svårare, men bevisar också att monstergruppen agerar naturligt på den.

•    Borcherds, Richard (1986). "Vertexalgebror, Kac-Moody algebror och monstret" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 83 (10): 3068–71. Bibcode : 1986PNAS...83.3068B . doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 . PMC 323452 . PMID 16593694 .
•   Frenkel, Igor; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988). Vertexoperatoralgebror och monstret . Ren och tillämpad matematik. Vol. 134. Akademisk press. ISBN 0-12-267065-5 .
•   Kac, Victor (1996). Vertex algebror för nybörjare . Universitetets föreläsningsserie. Vol. 10. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0643-2 . ;   Kac, Victor G (1998). reviderad och utökad, 2:a upplagan . ISBN 0-8218-1396-X .
  • Kac, Victor (1999). "Rättelser till boken "Vertex algebras för nybörjare", andra upplagan, av Victor Kac". arXiv : math/9901070 .
•   Carter, RW (2005). Liealgebror av finit och affin typ . Cambridge studier. Vol. 96. ISBN 0-521-85138-6 . (Inledande studietext med en kort redogörelse för Borcherds algebra i kap. 21)