Metrisk anslutning

"metriska kompatibla" omdirigerar här. För typsnitt av identisk storlek, se metriskt kompatibla .

Inom matematiken är en metrisk koppling en koppling i en vektorbunt E utrustad med en buntmetrik ; det vill säga ett mått för vilket den inre produkten av två vektorer förblir densamma när dessa vektorer transporteras parallellt längs en kurva. Detta motsvarar:

• En koppling för vilken de kovarianta derivatorna av måttet på E försvinner.
• En huvudsaklig anslutning på bunten av ortonormala ramar av E.

Ett specialfall av en metrisk anslutning är en Riemannanslutning ; det finns en unik sådan som är vridningsfri , Levi -Civita-förbindelsen . I det här fallet är bunten E tangentbunten TM för ett grenrör, och metriken på E induceras av en Riemannisk metrik på M .

Ett annat specialfall av en metrisk anslutning är en Yang-Mills-förbindelse , som uppfyller Yang-Mills rörelseekvationer . De flesta av maskineriet för att definiera en anslutning och dess krökning kan gå igenom utan att det krävs någon kompatibilitet med buntmetriken. Men när man väl kräver kompatibilitet, definierar denna metriska anslutning en inre produkt, Hodge-stjärna (som dessutom behöver ett val av orientering) och Laplacian , som krävs för att formulera Yang-Mills-ekvationerna.

Definition

Låt $\sigma ,\tau$ vara alla lokala sektioner av vektorbunten E , och låt X vara ett vektorfält på buntens basutrymme M. Låt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ definiera en buntmetrik , det vill säga ett mått på vektorfibrerna i E . Då är en anslutning D på E en metrisk anslutning om:

$d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .$

Här är d den vanliga differentialen för en skalär funktion. Den kovarianta derivatan kan utökas så att den fungerar som en karta på E -värderade differentialformer på basutrymmet:

$D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).$

Man definierar $D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf$ för en funktion $f\in \Omega ^{0 }(M)$ och

$D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega$

där $\sigma \in \Gamma (E)$ är en lokal jämn sektion för vektorbunten och $\omega \in \Omega ^{p} (M)$ är en (skalärt värderad) p -form. Ovanstående definitioner gäller även för lokala släta ramar såväl som lokala sektioner.

Metrisk kontra dubbel parning

Paketmåttet $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ som lagts på E ska inte förväxlas med den naturliga parningen $(\cdot ,\cdot )$ av en vektorrymden och dess dubbla, som är inneboende för alla vektorbuntar. Den senare är en funktion på bunten av endomorfismer ${\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},$ så att

$(\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R}$

parar vektorer med dubbla vektorer (funktionaler) ovanför varje punkt i M . Det vill säga, om $\{e_{i}\}$ är vilken lokal koordinatram som helst på E , så får man naturligtvis en dubbelkoordinatram $\{e_{i} ^{*}\}$ på E * tillfredsställande $(e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}$ .

Däremot är paketmåttet $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ en funktion på $E\otimes E,$

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R}$

ger en inre produkt på varje vektorrumsfiber av E. Buntmetriken tillåter en att definiera en ortonormal koordinatram med ekvationen $\langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Givet en vektorbunt är det alltid möjligt att definiera en buntmetrik på den.

Enligt standardpraxis kan man definiera en anslutningsform , Christoffel-symbolerna och Riemann-kurvaturen utan hänvisning till buntmetriken, endast med hjälp av parningen $(\cdot ,\cdot ).$ De kommer att lyda de vanliga symmetriegenskaperna; till exempel kommer krökningstensorn att vara antisymmetrisk i de två sista indexen och kommer att tillfredsställa den andra Bianchi-identiteten . Men för att definiera Hodge-stjärnan , Laplacian , den första Bianchi-identiteten och Yang-Mills funktionella , behöver man buntmetriken. Hodge-stjärnan behöver dessutom ett val av orientering och producerar Hodge-dualen av sitt argument.

Anslutningsformulär

Huvudartikel: Anslutningsformulär

Givet ett lokalt buntdiagram kan den kovarianta derivatan skrivas i formuläret

$D=d+A$

där A är kopplingen enform .

Lite notationsmaskineri är på sin plats. Låt $\Gamma (E)$ beteckna utrymmet för differentierbara sektioner på E , låt $\Omega ^{p}(M)$ beteckna utrymmet för p -former på M , och låt ${\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}$ vara endomorfismerna på E . Den kovariansderivata, som definieras här, är en karta

$D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)$

Man kan uttrycka kopplingsformen i termer av kopplingskoefficienterna som

$A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.$

Poängen med notationen är att särskilja indexen j , k , som löper över fiberns n dimensioner, från index i , som löper över det m -dimensionella basutrymmet. För fallet med en Riemann-förbindelse nedan antas vektorrummet E vara tangentknippet TM och n = m .

Beteckningen A för anslutningsformen kommer från fysiken , i historisk hänvisning till vektorpotentialfältet för elektromagnetism och mätteori . Inom matematiken används ofta beteckningen ${\displaystyle \omega } i stället för$ A , som i artikeln om kopplingsformen ; tyvärr kolliderar användningen av $\omega$ för kopplingsformen med användningen av $\omega$ för att beteckna en generisk alternerande form på vektorbunten.

Skev symmetri

Kopplingen är skevsymmetrisk i vektor-rymds- (fiber)-indexen; det vill säga för ett givet vektorfält $X\in TM$ , är matrisen $A(X)$ ; på motsvarande sätt är det ett element i Lie-algebra ${\mathfrak {o}}(n)$ .

Detta kan ses på följande sätt. Låt fibern vara n -dimensionell, så att bunten E kan ges en ortonormal lokal ram $\{e_{i}\}$ med i = 1, 2, ..., n . Man har då, per definition, att $de_{i}\equiv 0$ , så att:

$De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.$

Dessutom, för varje punkt $x\in U\subset M$ i buntdiagrammet, är den lokala ramen ortonormal:

$\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.$

Det följer att för varje vektor ${\displaystyle X\in T_{x}M} ,$ att

${\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&= \langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\& =A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}$

Det vill säga, $A=-A^{\text{T}}$ är snedsymmetrisk.

Detta uppnås genom att explicit använda paketmåttet; utan att använda detta, och med endast parningen $(\cdot ,\cdot )$ , kan man bara relatera kopplingsformen A på E till dess dubbla A ^∗ på E ^∗ , som $A^{*}=-A^{\text{T}}.$ Detta följer av definitionen av den dubbla anslutningen som $d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).$

Krökning

Det finns flera notationer som används för krökningen av en anslutning, inklusive en modern som använder F för att beteckna fältstyrketensorn , en klassisk som använder R som krökningstensorn och den klassiska notationen för Riemann krökningstensorn , varav de flesta kan utvidgas naturligt till fallet med vektorbuntar. Ingen av dessa definitioner kräver vare sig en metrisk tensor, eller en buntmetrik, och kan definieras helt konkret utan hänvisning till dessa. Definitionerna kräver dock en klar uppfattning om endomorfismerna av E , som beskrivits ovan.

Kompakt stil

Den mest kompakta definitionen av krökningen F är att definiera den som 2-formsvärdena i ${\mbox{End}}(E)$ , givet av mängden som anslutningen misslyckas med. exakt; det vill säga som

$F=D\circ D$

som är en del av

$F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),$

eller motsvarande,

$F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)$

För att relatera detta till andra vanliga definitioner och notationer, låt $\sigma \in \Gamma (E)$ vara ett avsnitt på E . Att sätta in i ovanstående och expandera, finner man

$F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d +A)\cirkel (d+A)\sigma =(dA+A\kil A)\sigma$

eller motsvarande, ta bort avsnittet

$F=dA+A\wedge A$

som en kortfattad definition.

Komponentstil

När det gäller komponenter, låt $A=A_{i}dx^{i},$ där $dx^{i}$ är standardkoordinaten i en form baser på cotangensbunten T ^* M . Genom att infoga i ovanstående och expandera får man (med hjälp av summeringskonventionen) :

$F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i} }{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.$

Tänk på att för ett n -dimensionellt vektorrum är varje $A_{i}$ en n × n matris, vars index har undertryckts, medan indexen i och j löper över 1,.. ., m , där m är dimensionen för det underliggande grenröret. Båda dessa index kan manifesteras samtidigt, som visas i nästa avsnitt.

Den notation som presenteras här är den som vanligtvis används inom fysiken; till exempel kan den omedelbart kännas igen som gluonfältstyrketensor . För det abelska fallet är n =1, och vektorbunten är endimensionell; kommutatorn försvinner, och ovanstående kan sedan kännas igen som den elektromagnetiska tensorn i mer eller mindre standardfysiknotation.

Relativitetsstil

Alla index kan göras explicita genom att tillhandahålla en jämn ram ${\displaystyle \{e_{i}\}} ,$ i = 1, ..., n på $\Gamma ( E)$ . En given sektion $\sigma \in \Gamma (E)$ kan då skrivas som

$\sigma =\sigma ^{i}e_{i}$

I denna lokala ram blir anslutningsformen

$(A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{} _{ij}dx^{i}$

med $\Gamma ^{k}{}_{ij}$ som Christoffel-symbolen ; återigen går indexet i över 1, ..., m (dimensionen av det underliggande grenröret M ) medan j och k löper över 1, ..., n , fiberns dimension. Att sätta in och vrida på veven får man

$\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({ \frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\ partiell x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{ s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij} \sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

där $R^{k}{}_{rij}$ nu identifieras som Riemann-kurvaturtensorn . Detta är skrivet i den stil som vanligtvis används i många läroböcker om allmän relativitet från mitten av 1900-talet (med flera anmärkningsvärda undantag, såsom MTW , som tidigt drev en indexfri notation). Återigen löper indexen i och j över dimensionerna för grenröret M , medan r och k löper över dimensionen av fibrerna.

Tangent-bunt stil

Ovanstående kan backporteras till vektorfältsstilen genom att skriva $\partial /\partial x^{i}$ som standardbaselement för tangentbunten TM . Man definierar då krökningstensorn som

$R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\ frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}$

så att de rumsliga riktningarna återabsorberas, vilket resulterar i notationen

$F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma$

Alternativt kan de rumsliga riktningarna manifesteras, samtidigt som indexen döljs, genom att skriva uttrycken i termer av vektorfälten X och Y på TM . I standardbasen är X

$X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

och likaså för Y . Efter lite plugg och tuff får man

$R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma - D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma$

var

$[X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X$

är Lie-derivatan av vektorfältet Y med avseende på X .

För att sammanfatta kartlägger krökningstensorn fibrer till fibrer:

$R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)$

så att

$R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\ibland \Gamma (E) \till \Gamma (E)$

För att vara väldigt tydlig är $F=R(\cdot ,\cdot )$ alternativa notationer för samma sak. Observera att ingen av ovanstående manipulationer någonsin krävde att paketmåttet gick igenom. Man kan också visa den andra Bianchi-identiteten

$DF=0$

utan att behöva använda paketmåttet.

Yang–Mills anslutning

Huvudartikel: Yang–Mills ekvationer

Ovanstående utveckling av krökningstensorn gjorde inga överklaganden till buntmetriken. Det vill säga, de behövde inte anta att D eller A var metriska kopplingar: att bara ha en koppling på en vektorbunt är tillräckligt för att erhålla ovanstående former. Alla de olika notationsvarianterna följer direkt endast från beaktande av endomorfismerna hos fibrerna i bunten.

Bundle-metriken krävs för att definiera Hodge-stjärnan och Hodge-dual ; det behövs i sin tur för att definiera Laplacian och för att visa det

$D{\star }F=0$

Varje anslutning som uppfyller denna identitet kallas en Yang-Mills-anslutning . Det kan visas att detta samband är en kritisk punkt i Euler-Lagrange-ekvationerna som tillämpas på Yang-Mills-aktionen

$YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)$

där ${\star }(1)$ är volymelementet , Hodge -dualen av konstanten 1. Observera att tre olika inre produkter krävs för att konstruera denna handling: den metriska anslutningen på E , en inre produkt på End( E ), motsvarande den kvadratiska Casimir-operatorn (spåret av ett par matriser), och Hodge-dual.

Riemannsk koppling

Ett viktigt specialfall av en metrisk anslutning är en Riemannanslutning . Detta är en koppling $\nabla$ på tangentbunten av ett pseudo-riemannskt grenrör ( M , g ) så att $\nabla _{X}g=0$ för alla vektorfält X på M. _ På motsvarande sätt $\nabla$ Riemannsk om den parallella transporten den definierar bevarar metriska g .

En given anslutning $\nabla$ är Riemannisk om och endast om

$\partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$

för alla vektorfält X , Y och Z på M , där $\partial _{X}(g(Y,Z))$ betecknar derivatan av funktionen $g(Y,Z)$ längs detta vektorfält $X$ .

Levi -Civita-anslutningen är den vridningsfria Riemann-anslutningen på ett grenrör. Det är unikt genom den grundläggande satsen i Riemannsk geometri . För varje Riemannsk anslutning kan man skriva en (unik) motsvarande Levi-Civita-koppling. Skillnaden mellan de två ges av kontorsionstensorn .

I komponentnotation är den kovarianta derivatan $\nabla$ kompatibel med den metriska tensorn $g_{ab}$ om

$\nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.$

Även om andra kovariansderivat kan definieras, överväger man vanligtvis bara den metriska kompatibla. Detta beror på att givet två kovariantderivator, $\nabla$ och $\nabla '$ , finns det en tensor för att transformera från den ena till den andra:

$\nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.$

Om utrymmet också är vridningsfritt är tensorn ${C_{ab}}^{c}$ symmetrisk i sina två första index.

Ett ord om notation

Det är vanligt att ändra notation och använda nabla-symbolen ∇ i stället för D i denna inställning; i övrigt är dessa två samma sak. Det vill säga ∇ = D från föregående avsnitt ovan.

Likaså ersätts den inre produkten $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ på E med den metriska tensorn g på TM . Detta överensstämmer med historisk användning, men undviker också förvirring: för det allmänna fallet med en vektorbunt E , antas det underliggande grenröret M inte vara försett med ett mått. Specialfallet med grenrör med både ett metriskt g på TM förutom en buntmetrik $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ på E leder till Kaluza–Klein-teorin .

Se även

• Vertikala och horisontella buntar

• Rodrigues, WA; Fernandez, VV; Moya, AM (2005). "Metriska kompatibla kovariantderivat". arXiv : math/0501561 .
•   Wald, Robert M. (1984), General Relativity , University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2
•   Schmidt, BG (1973). "Villkor för en anslutning för att vara en metrisk anslutning" . Commun. Matematik. Phys . 29 (1): 55–59. Bibcode : 1973CMaPh..29...55S . doi : 10.1007/bf01661152 . hdl : 10338.dmlcz/127117 . S2CID 121543450 .