Vertikala och horisontella buntar

I matematik är den vertikala bunten och den horisontella bunten vektorbuntar förknippade med en slät fiberbunt . Mer exakt, givet en slät fiberbunt $\pi \colon E\to B$ , är den vertikala bunten $VE$ och den horisontella bunten $\displaystyle HE}$ underbuntar av tangentbunt $TE$ av $E$ vars Whitney-summa uppfyller $VE\oplus HE\cong TE$ . Detta betyder att över varje punkt ${\displaystyle e\in E} bildar$ fibrerna $V_{e}E$ och $H_{e}E$ komplementära delrum till tangentrummet $\displaystyle T_{e}E}$ { . Den vertikala bunten består av alla vektorer som tangerar fibrerna, medan den horisontella bunten kräver ett visst val av komplementär underbunt.

För att göra detta exakt, definiera det vertikala utrymmet $\displaystyle V_{e}E}$ $) {\displaystyle \ker(d\ pi _{e})}$ vid $e\in E$ för att vara . Det vill säga differentialen ${\displaystyle d\pi _{e}\colon T_{e}E\till T_{b}B} ($ där $b=\pi (e)$ ) är en linjär surjektion vars kärna har samma dimension som fibrerna i $\pi$ . Om vi skriver $F=\pi ^{-1}(b)$ , så består $V_{e}E$ av exakt vektorerna i $T_{e}E$ som också tangerar $F$ . Namnet motiveras av lågdimensionella exempel som den triviala linjebunten över en cirkel, som ibland avbildas som en vertikal cylinder som skjuter ut mot en horisontell cirkel. Ett delrum $H_{e}E$ av $T_{e}E$ kallas ett horisontellt utrymme om $T_{e}E$ är den direkta summan av $V_{e}E$ och $H_{e}E$ .

Den disjunkta föreningen av de vertikala utrymmena V _e E för varje e i E är subbunten V E av T E; detta är den vertikala bunten av E . På samma sätt, förutsatt att de horisontella utrymmena $H_{e}E$ varierar smidigt med e , är deras disjunkta förening en horisontell bunt. Användningen av orden "the" och "a" här är avsiktlig: varje vertikalt delrum är unikt, definierat explicit av $\ker(d\pi _{e})$ . Exklusive triviala fall finns det ett oändligt antal horisontella delrum vid varje punkt. Observera också att godtyckliga val av horisontellt utrymme vid varje punkt i allmänhet inte kommer att bilda en jämn vektorbunt; de måste också variera på ett lämpligt smidigt sätt.

Den horisontella bunten är ett sätt att formulera uppfattningen om en Ehresmann-anslutning på ett fiberknippe . Således, till exempel, om E är ett huvudsakligt G -paket , krävs vanligtvis att det horisontella knippet är G -invariant: ett sådant val är ekvivalent med en anslutning på huvudbunten . Detta inträffar särskilt när E är rampaketet som är associerat med någon vektorbunt, som är en huvudsaklig ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}-$ bunt.

Formell definition

Låt π : E → B vara ett slätt fiberknippe över ett slätt grenrör B . Den vertikala bunten är kärnan V E := ker(d π ) för tangentavbildningen d π : T E → T B .

Eftersom dπ _e är surjektiv vid varje punkt e , ger det ett regelbundet underpaket av T E . Dessutom är den vertikala bunten V E också integrerbar .

En Ehresmann-anslutning på E är ett val av ett komplementärt delpaket H E till V E i T E , kallat förbindelsens horisontella bunt. Vid varje punkt e i E bildar de två delrummen en direkt summa , så att T _e E = V _e E ⊕ H _e E .

Exempel

Ett enkelt exempel på en slät fiberbunt är en kartesisk produkt av två grenrör . Betrakta bunten B ₁ := ( M × N , pr ₁ ) med buntprojektion pr ₁ : M × N → M : ( x , y ) → x . Genom att tillämpa definitionen i stycket ovan för att hitta den vertikala bunten, betraktar vi först en punkt (m,n) i M × N . Då är bilden av denna punkt under pr ₁ m. Förbilden av m under samma pr ₁ är {m} × N , så att T _(m,n) ({m} × N ) = {m} × TN . Den vertikala bunten är då VB 1 ₌ M × TN , som är en underbunt av T( M × N ). Om vi tar den andra projektionen pr ₂ : M × N → N : ( x , y ) → y för att definiera fiberknippet B ₂ := ( M × N , pr ₂ ) så kommer den vertikala bunten att vara V B ₂ = T M × N .

I båda fallen ger produktstrukturen ett naturligt val av horisontell bunt, och därmed en Ehresmann-koppling: den horisontella bunten av B ₁ är den vertikala bunten av B ₂ och vice versa.

Egenskaper

Olika viktiga tensorer och differentialformer från differentialgeometri antar specifika egenskaper på de vertikala och horisontella buntarna, eller kan till och med definieras utifrån dem. Några av dessa är:

Ett vertikalt vektorfält är ett vektorfält som finns i den vertikala bunten. Det vill säga, för varje punkt e i E väljer man en vektor $v_{e}\in V_{e}E$ där ${\displaystyle V_{e}E\subset T_{e}E=T_{e}(E_{\pi (e)})} är det$ vertikala vektorutrymmet vid e .
En differentierbar r-form $\alpha$ på E sägs vara en horisontell form om $\alpha (v_{1},..., v_{r})=0$ när minst en av vektorerna $v_{1},...,v_{r}$ är vertikal.
Anslutningsformen försvinner på den horisontella bunten och är endast noll på den vertikala bunten . På så sätt kan kopplingsformuläret användas för att definiera den horisontella bunten: Den horisontella bunten är kärnan i kopplingsformuläret.
Lödformen eller den tautologiska enformen försvinner på den vertikala bunten och är endast noll på den horisontella bunten. Per definition tar lödformen sina värden helt i den horisontella bunten.
För fallet med en rambunt försvinner torsionsformen på den vertikala bunten och kan användas för att definiera exakt den del som måste läggas till en godtycklig anslutning för att göra den till en Levi -Civita-anslutning , dvs för att göra en anslutning vara vridningsfri. Om man skriver θ för lödformen, så ges torsionstensorn Θ av Θ = D θ (med D den yttre kovariansderivatan ). För varje given koppling ω finns det en unik enform σ på T E , kallad kontorsionstensor , som försvinner i det vertikala knippet, och är sådan att ω+σ är en annan förbindelse 1-form som är torsionsfri. Den resulterande enformen ω+σ är inget annat än Levi-Civita-kopplingen. Man kan ta detta som en definition: eftersom vridningen ges av ${\displaystyle \Theta =D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta } ,$ försvinner torsionen motsvarar att ha ${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma )\wedge \theta } ,$ och det är inte svårt att visa att σ måste försvinna på den vertikala bunten, och att σ måste vara G -invariant på varje fiber (mer exakt, att σ transformeras i den adjoint representationen av G ). Observera att detta definierar Levi-Civita-kopplingen utan att göra någon explicit referens till någon metrisk tensor (även om den metriska tensorn kan förstås som ett specialfall av en lödform, eftersom den upprättar en mappning mellan tangent- och cotangensbuntarna av basen mellan rambuntens horisontella och vertikala delutrymmen).
I det fall då E är en huvudbunt, måste det fundamentala vektorfältet nödvändigtvis leva i det vertikala knippet och försvinna i varje horisontellt knippe.