Schottky-gruppen

Grundläggande domän för en 3-generator Schottky-grupp

Inom matematiken är en Schottky-grupp en speciell sorts Kleinian-grupp , först studerad av Friedrich Schottky ( 1877 ).

Definition

Fixa någon punkt p på Riemann-sfären . Varje Jordan-kurva som inte går genom p delar Riemann-sfären i två delar, och vi kallar den bit som innehåller p kurvans "exteriör" och den andra delen för dess "inre". Antag att det finns 2 g osammanhängande Jordan _- kurvor A ₁ , B ₁ ,..., A _g , Bg i Riemann-sfären med disjunkta inre. Om det finns Möbius-transformationer Ti _som tar utsidan av A _i till insidan av B _i , så är gruppen som genereras av dessa transformationer en kleinisk grupp . En Schottky-grupp är vilken Kleinian-grupp som helst som kan konstrueras så här.

Egenskaper

Enligt Maskit (1967) är en finit genererad Kleinian-grupp Schottky om och endast om den är finitely genererad , fri , har en icke-tom domän av diskontinuitet, och alla icke-triviala element är loxodromic .

En grundläggande domän för verkan av en Schottky-grupp G på dess regelbundna punkter Ω( G ) i Riemann-sfären ges av utsidan av Jordan-kurvorna som definierar den. Motsvarande kvotutrymme Ω( G )/ G ges genom att sammanfoga Jordan-kurvorna i par, så även en kompakt Riemann-yta av släktet g . Detta är gränsen för 3-grenröret som ges genom att ta kvoten ( H ∪Ω( G ))/ G för 3-dimensionell hyperbolisk H -rymd plus den reguljära mängden Ω( G ) av Schottky-gruppen G , som är en handtag för släktet g . Omvänt kan vilken som helst kompakt Riemann-yta av släktet g erhållas från någon Schottky-grupp av släktet g .

Klassiska och icke-klassiska Schottky-grupper

En Schottky-grupp kallas klassisk om alla disjunkta Jordan-kurvor som motsvarar någon uppsättning generatorer kan väljas att vara cirklar. Marden ( 1974 , 1977 ) gav ett indirekt och icke-konstruktivt bevis på existensen av icke-klassiska Schottky-grupper, och Yamamoto (1991) gav ett explicit exempel på en sådan. Det har visat sig av Doyle (1988) att alla ändligt genererade klassiska Schottky-grupper har gränsuppsättningar av Hausdorff-dimension som begränsas ovanför strikt av en universell konstant mindre än 2. Omvänt har Hou (2010) bevisat att det finns en universell nedre gräns på Hausdorff-dimension av gränsuppsättningar för alla icke-klassiska Schottky-grupper.

Begränsa uppsättningar av Schottky-grupper

Schottky (Kleinian) gruppgräns satt i plan

Gränsmängden för en Schottky-grupp, komplementet till Ω( G ), har alltid Lebesgue-mått noll, men kan ha positivt d - dimensionellt Hausdorff-mått för d < 2. Det är perfekt och ingenstans tätt med positiv logaritmisk kapacitet.

Uttalandet om Lebesgue-mått följer för klassiska Schottky-grupper från existensen av Poincaré-serien

$\displaystyle {P(z)=\summa (c_{i}z+d_{i})^{-4}.}$

Poincaré visade att serien | c _i | ⁻⁴ kan summeras över gruppens icke-identitetselement. Faktum är att om man tar en sluten skiva i det inre av den fundamentala domänen, är dess bilder under olika gruppelement disjunkta och inneslutna i en fast skiva omkring 0. Så summorna av områdena är ändliga. Genom förändringar av variabelformeln är arean större än en konstant gånger | c _i | ⁻⁴ .

Ett liknande argument innebär att gränsen har Lebesgue-mått noll. För det finns i komplementet av föreningen av bilderna av den fundamentala regionen av gruppelement med ordlängd som begränsas av n . Detta är en ändlig förening av cirklar så har ändlig area. Det området begränsas ovanför av en konstant gånger bidraget till Poincaré-summan av element med ordlängd n , så minskar till 0.

Schottky utrymme

Schottky-utrymme (av något släkte g ≥ 2) är utrymmet för markerade Schottky-grupper av släktet g , med andra ord utrymmet av uppsättningar av g -element av PSL ₂ ( C ) som genererar en Schottky-grupp, upp till ekvivalens under Möbius-transformationer ( Bers 1975 ). Det är ett komplext grenrör med komplex dimension 3 g −3. Den innehåller klassisk Schottky-rymd som den delmängd som motsvarar klassiska Schottky-grupper.

Schottky-utrymmet av släktet g är inte bara förbundet i allmänhet, men dess universella täckande utrymme kan identifieras med Teichmüller-utrymmet för kompakta släktet g Riemann-ytor.

Se även

• Beltramis ekvation
• Riley skiva

Anteckningar

• Akaza, Tohru (1964), "Poincaré theta series and singular sets of Schottky groups", Nagoya Math. J. , 24 :43-65
•   Bers, Lipman (1975), "Automorphic forms for Schottky groups", Advances in Mathematics , 16 : 332–361, doi : 10.1016 /0001-8708(75)90117-6 , ISSN 0001-0MR 4708 ,  
•    Chuckrow, Vicki (1968), "On Schottky groups with applications to kleinian groups", Annals of Mathematics , Second Series, 88 : 47–61, doi : 10.2307/1970555 , ISSN 0003-486X , JSTOR 19705 2 , 7MR305 , 7MR305  
•   Doyle, Peter (1988), "On the bas not of a Schottky group", Acta Mathematica , 160 : 249–284, doi : 10.1007/bf02392277 , MR 0945013
•    Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (på tyska), Leipzig: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6 , JFM 28.0334.01
•    Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (på tyska), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3 , JFM 32.0430.01
• Gilman, Jane , A Survey of Schottky Groups (PDF)
• Hou, Yong (2010), "Kleinian groups of small Hausdorff dimension are classical Schottky groups I", Geometry & Topology , 14 : 473–519, arXiv : math/0610458 , doi : 10.2140/gt.2010.14.473
• Hou, Yong, Alla ändligt genererade Kleinian-grupper med små Hausdorff-dimensioner är klassiska Schottky-grupper , arXiv : 1307.2677 , Bibcode : 2013arXiv1307.2677H
•    Jørgensen, T.; Marden, A.; Maskit, Bernard (1979), "The boundary of classical Schottky space" , Duke Mathematical Journal , 46 (2): 441–446, doi : 10.1215/s0012-7094-79-04619-2 , ISSN 0012-7005 , 0MR 05 , 4
•   Lehner, Joseph (1964), Discontinuous Groups and Automorphic Functions , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 8, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1508-3
•      Marden, Albert (1974), "The geometry of finitely generated kleinian groups", Annals of Mathematics , Second Series, 99 : 383–462, doi : 10.2307 /1971059 , ISSN 0003-486X , JSTOR 3 , 9MR205 , 9bl 209 , 97109 , 9bl 209. 014
•    Marden, A. (1977), "Geometrically finite Kleinian groups and their deformation spaces", i Harvey, WJ (red.), Discrete groups and automorphic functions (Proc. Conf., Cambridge, 1975) , Boston, MA: Academic Press , s. 259–293, ISBN 978-0-12-329950-5 , MR 0494117
•    Maskit, Bernard (1967), "A characterization of Schottky groups", Journal d'Analyse Mathématique , 19 : 227–230, doi : 10.1007/BF02788719 , ISSN 0021-7670 , MR 0220929
•    Maskit, Bernard (1988), Kleinian groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 287, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17746-3 , MR 0959135
•   David Mumford , Caroline Series och David Wright, Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein , Cambridge University Press , 2002 ISBN 0-521-35253-3
• Schottky, F. (1877), " Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 83 : 300–351, doi : 10.1515 /crll.18000.85.1800.85.4SN  
•    Yamamoto, Hiro-o (1991), "An example of a nonclassical Schottky group", Duke Mathematical Journal , 63 (1): 193–197, doi : 10.1215/S0012-7094-91-06308-8 , ISSN 00412-70 MR 1106942 _

externa länkar

• Tre transformationer som genererar en Schottky-grupp från ( Fricke & Klein 1897, s. 442).