Liouvilles sats (konforma avbildningar)
Inom matematiken är Liouvilles sats , bevisad av Joseph Liouville 1850, en stelhet om konforma avbildningar i det euklidiska rymden . Den anger att varje smidig konform mappning på en domän av R n , där n > 2, kan uttryckas som en sammansättning av translationer , likheter , ortogonala transformationer och inversioner : de är Möbius-transformationer (i n dimensioner). Detta teorem begränsar kraftigt mångfalden av möjliga konforma avbildningar i R 3 och högre dimensionella utrymmen. Däremot kan konforma mappningar i R 2 vara mycket mer komplicerade – till exempel är alla enkelt anslutna plana domäner konformt ekvivalenta , av Riemanns mappningssats .
Generaliseringar av teoremet gäller för transformationer som endast är svagt differentierbara ( Iwaniec & Martin 2001, kapitel 5). Fokus för en sådan studie är det icke-linjära Cauchy–Riemann-systemet som är en nödvändig och tillräcklig förutsättning för att en jämn mappning ƒ → Ω → R n ska vara konform:
där Df är den jakobiska derivatan , T är matristransponera och I är identitetsmatrisen. En svag lösning av detta system definieras som ett element ƒ i Sobolev-rymden W
1, n loc ( Ω , R n ) med icke-negativ jakobiansk determinant nästan överallt , så att Cauchy-Riemann-systemet håller i nästan varje punkt av Ω. Liouvilles teorem är då att varje svag lösning (i denna mening) är en Möbius-transformation, vilket betyder att den har formen
där a , b är vektorer i Rn , α är en skalär, A är en rotationsmatris, ε = 0 eller 2, och matrisen inom parentes är I eller en Hushållarmatris (altså ortogonal). På motsvarande sätt är varje kvasikonform karta över en domän i det euklidiska rummet som också är konform en Möbius-transformation. Detta ekvivalenta uttalande motiverar att använda Sobolev-utrymmet W 1, n , eftersom ƒ ∈ W
1, n loc ( Ω , R n ) sedan följer av det geometriska villkoret för konformalitet och ACL-karakteriseringen av Sobolev-utrymmet. Resultatet är dock inte optimalt: i jämna dimensioner n = 2 k , gäller satsen även för lösningar som endast antas finnas i rymden W
1, k loc , och detta resultat är skarpt i den meningen att det finns svaga lösningar av Cauchy–Riemann-systemet i W 1, p för alla p < k som inte är Möbius-transformationer. I udda dimensioner är det känt att W 1, n inte är optimal, men ett skarpt resultat är inte känt.
Liknande styvhetsresultat (i det släta fallet) håller på alla konforma grenrör . Gruppen av konforma isometrier för ett n -dimensionellt konformt Riemannmanifold har alltid dimensioner som inte kan överstiga den för den fullständiga konforma gruppen SO( n +1,1). Likhet mellan de två dimensionerna gäller exakt när det konforma grenröret är isometriskt med n -sfären eller det projektiva rummet . Lokala versioner av resultatet gäller också: Lie-algebra av konforma dödande fält i en öppen uppsättning har en dimension som är mindre än eller lika med den för den konforma gruppen, med likhet som gäller om och endast om den öppna uppsättningen är lokalt konformt platt.
Anteckningar
- Blair, David E. (2000), "Kapitel 6: The Classical Proof of Liouville's Theorem", Inversion Theory and Conformal Mapping , American Mathematical Society , s. 95–105, ISBN 0-8218-2636-0 .
- Harley Flanders (1966) "Liouville's theorem on conformal mapping", Journal of Mathematics and Mechanics 15: 157–61, MR 0184153
- Monge, Gaspard (1850), Liouville, J. (red.), Application de l'analyse à la Géométrie (på franska) (5:e uppl.), Bachelier
- Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2001), Geometrisk funktionsteori och icke-linjär analys , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5 , MR 1859913 .
- Kobayashi, Shoshichi (1972), Transformation groups in differential geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag .
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Liouville-satser" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press