Lefschetz fixpunktssats

Inom matematik är Lefschetz fixpunktsats en formel som räknar fixpunkterna för en kontinuerlig avbildning från ett kompakt topologiskt utrymme $X$ till sig själv med hjälp av spår av de inducerade mappningarna på homologigrupperna av ${\ displaystil X}$ . Den är uppkallad efter Solomon Lefschetz , som uppgav den första gången 1926.

Räkningen är föremål för en imputerad multiplicitet vid en fast punkt som kallas fixpunktsindex . En svag version av satsen räcker för att visa att en avbildning utan någon fast punkt måste ha ganska speciella topologiska egenskaper (som en rotation av en cirkel).

Formellt uttalande

För ett formellt uttalande av satsen, låt

f\colon X\högerpil X\,

vara en kontinuerlig karta från ett kompakt triangulärt utrymme $X$ till sig själv. Definiera Lefschetz-talet $\Lambda _{f}$ för $f$ med

\Lambda _{f}:=\summa _{k\geq 0}(-1 )^{k}\mathrm {tr} (f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} )),

den alternerande (ändliga) summan av matrisspåren för de linjära kartorna inducerade av $f$ på $displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )} ,$ \ singularis homologigrupper av $X$ med rationella koefficienter.

En enkel version av Lefschetz fixpunktssats säger: om

\Lambda _{f}\neq 0\,

då har $f$ minst en fast punkt, dvs det finns minst en $x$ i $X$ så att $f(x)= x$ . Faktum är att eftersom Lefschetz-talet har definierats på homologinivå, kan slutsatsen utökas till att säga att vilken homotopisk karta som helst till $f$ också har en fast punkt.

Observera dock att det omvända inte är sant i allmänhet: $\Lambda _{f}$ kan vara noll även om $f$ har fixpunkter, vilket är fallet för identitetskartan på udda dimensionell sfärer.

Skiss av ett bevis

Först, genom att tillämpa den förenklade approximationssatsen , visar man att om $f$ inte har några fasta punkter, då (möjligen efter att ha delat $X$ ) är $f$ homotop till en fixpunkt- gratis enkel karta (dvs. den skickar varje simplex till en annan simplex). Detta betyder att diagonalvärdena för matriserna för de linjära kartorna inducerade på det enkla kedjekomplexet av $X$ måste alla vara noll. Sedan noterar man att Lefschetz-talet i allmänhet också kan beräknas med hjälp av den alternerande summan av matrisspåren för de tidigare nämnda linjära kartorna (detta är sant av nästan exakt samma anledning som Euler-karakteristiken har en definition i termer av homologigrupper se nedan för förhållandet till Euler-karaktäristiken). I det speciella fallet med en fixpunktfri förenklad karta är alla diagonalvärden noll, och följaktligen är alla spåren noll.

Lefschetz–Hopfs sats

En starkare form av satsen, även känd som Lefschetz-Hopf-satsen , säger att om $f$ bara har ändligt många fixpunkter, då

\sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}i(f,x)=\Lambda _{f },

där $\mathrm {Fix} (f)$ är uppsättningen av fixpunkter för $f$ , och $i(f,x)$ anger indexet för den fasta punkten $x$ . Från denna sats härleder man Poincaré-Hopf-satsen för vektorfält.

Relation till Euler-karaktäristiken

Lefschetz-numret för identitetskartan på ett ändligt CW-komplex kan enkelt beräknas genom att inse att varje $f_{\ast }$ kan ses som en identitetsmatris, och därför är varje spårterm helt enkelt dimensionen av lämplig homologigrupp. Således är identitetskartans Lefschetz-tal lika med den alternerande summan av Betti-talen i rummet, vilket i sin tur är lika med Eulerkarakteristiken $\chi (X)$ . Så har vi

\Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\

Relation till Brouwers fixpunktssats

Lefschetz fixpunktssats generaliserar Brouwers fixpunktsats , som säger att varje kontinuerlig karta från den $n$ -dimensionella slutna enhetsskivan $D^{n}$ till $D^{n}$ måste ha minst en fast punkt.

Detta kan ses på följande sätt: $D^{n}$ är kompakt och triangulär, alla dess homologigrupper utom $H_{0}$ är noll, och varje kontinuerlig karta $f\colon D^{n}\to D^{n}$ inducerar identitetskartan ${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )} , vars spår$ är ett; allt detta tillsammans innebär att $\Lambda _{f}$ är icke-noll för varje kontinuerlig karta $f\colon D^{n}\to D^{n}$ .

Historiska sammanhang

Lefschetz presenterade sin fixpunktssats i ( Lefschetz 1926 ) . Lefschetz fokuserade inte på fasta punkter på kartor, utan snarare på vad som nu kallas sammanfallspunkter på kartor.

Givet två kartor $f$ och $g$ från ett orienterbart grenrör $X$ till ett orienterbart grenrör $Y$ med samma dimension, Lefschetz koincidenstalet för $f$ och $g$ definieras som

\Lambda _{f,g}=\summa (-1)^{k }\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),

där $f_{*}$ är som ovan, $g_{*}$ är homomorfismen inducerad av $g$ på kohomologigrupperna med rationella koefficienter, och $D_{X}$ och $D_{Y}$ är Poincarés dualitetsisomorfismer för $X$ respektive $Y$ .

Lefschetz bevisade att om koincidenstalet inte är noll så har $f$ och $g$ en koincidenspunkt. Han noterade i sin uppsats att låta $X=Y$ och låta $g$ vara identitetskartan ger ett enklare resultat, som vi nu känner som fixpunktssatsen.

Frobenius

Låt $X$ vara en variation definierad över det finita fältet $k$ med $q$ element och låt ${\bar {X}}$ vara basändringen av $X$ till den algebraiska stängningen av $k$ . Frobenius -endomorfismen av ${\bar {X}}$ (ofta den geometriska Frobenius , eller bara Frobenius ), betecknad med $F_{q}$ , mappar en punkt med koordinater $x_{1},\ldots ,x_{n}$ till punkten med koordinater $x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}$ . De fasta punkterna för $F_{q}$ är alltså exakt punkterna för $X$ med koordinater i $k$ ; uppsättningen av sådana punkter betecknas med $X(k)$ . Lefschetz spårformel gäller i detta sammanhang och lyder:

\#X(k)=\summa _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\ stapel {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).

Denna formel involverar spåret av Frobenius på étale-kohomologin, med kompakta stöd, av ${\bar {X}}$ med värden i fältet $\ell$ -adiska tal, där $\ell$ är ett primtal coprime till $q$ .

Om $X$ är jämn och ekvidimensionell , kan denna formel skrivas om i termer av aritmetiken Frobenius ${\displaystyle \Phi _{q}} ,$ som fungerar som inversen av $F_{q }$ om kohomologi: