Oändliga sammansättningar av analytiska funktioner

Inom matematik erbjuder oändliga sammansättningar av analytiska funktioner (ICAF) alternativa formuleringar av analytiska fortsatta fraktioner , serier , produkter och andra oändliga expansioner, och teorin som utvecklas från sådana sammansättningar kan kasta ljus över konvergensen /divergensen av dessa expansioner. Vissa funktioner kan faktiskt utökas direkt som oändliga kompositioner. Dessutom är det möjligt att använda ICAF för att utvärdera lösningar av fixpunktsekvationer som involverar oändliga expansioner. Komplex dynamik erbjuder en annan plats för iteration av system av funktioner snarare än en enda funktion. För oändliga sammansättningar av en enskild funktion se Itererad funktion . För sammansättningar av ett ändligt antal funktioner, användbara i fraktalteori , se Itererat funktionssystem .

Även om titeln på den här artikeln specificerar analytiska funktioner, finns det resultat för mer allmänna funktioner för en komplex variabel också.

Notation

Det finns flera notationer som beskriver oändliga kompositioner, inklusive följande:

Forward kompositioner: $F_{k,n}(z)=f_{k}\circ f_{k+1}\circ \dots \circ f_{n-1}\circ f_{n}(z).$

Bakåtriktade kompositioner: $G_{k,n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_{k+1}\circ f_{k}(z).$

I varje fall tolkas konvergens som att det finns följande gränser:

$\lim _{n\to \infty }F_{1,n}(z),\qquad \lim _{n\to \infty }G_{1,n}(z).$

z ) ( _. z ) = G1 _{, n} skull , ställ in Fn ₍ ( z ) = F _{1, (} z ) och n Gn

Man kan också skriva $F_{n}(z)={\underset {k =1}{\overset {n}{\mathop {R} }}}\,f_{k}(z)=f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}(z )$ och $G_{n}(z)={\underset { k=1}{\overset {n}{\mathop {L} }}}\,g_{k}(z)=g_{n}\circ g_{n-1}\circ \cdots \circ g_{1 }(z)$

Sammandragningssats

Många resultat kan betraktas som förlängningar av följande resultat:

Sammandragningssats för analytiska funktioner — Låt f vara analytisk i ett enkelt förbundet område S och kontinuerligt på stängningen S av S . Antag att f ( S ) är en begränsad mängd som ingår i S. Sedan för alla z i S finns det en attraktiv fixpunkt α av f i S så att:

$$F_{n}(z)=(f\circ f\circ \cdots \circ f)(z)\to \alpha .$$

Oändliga sammansättningar av kontraktiva funktioner

Låt { f _n } vara en sekvens av funktioner analytiska på en enkelt ansluten domän S . Antag att det finns en kompakt mängd Ω ⊂ S så att för varje n , f _n ( S ) ⊂ Ω.

Framåt (inre eller höger) kompositionssats — { F _n } konvergerar enhetligt på kompakta delmängder av S till en konstant funktion F ( z ) = λ .

Bakåt (yttre eller vänster) Kompositionssats — { G _n } konvergerar enhetligt på kompakta delmängder av S till γ ∈ Ω om och endast om sekvensen av fixpunkter { γ _n } av { f _n } konvergerar till γ .

Ytterligare teorier som härrör från undersökningar baserade på dessa två teorem, särskilt Forward Compositions Theorem, inkluderar platsanalys för gränserna som erhålls här [ 1] . För ett annat förhållningssätt till bakåtsammansättningar, se [2] .

När det gäller bakåtsammansättningar, exemplet f _{2 n} ( z ) = 1/2 och f _{2 n −1} ( z ) = −1/2 för S = { z : | z | < 1} visar otillräckligheten i att helt enkelt kräva sammandragning till en kompakt delmängd, som Forward Compositions Theorem.

För funktioner som inte nödvändigtvis är analytiska räcker Lipschitz -villkoret:

Teorem — Antag att $S$ är en enkelt sammankopplad kompakt delmängd av $\mathbb {C}$ och låt $t_{n}:S\to S$ vara en familj funktioner som uppfyller

$$\forall n,\forall z_{1},z_{2}\i S,\exists \rho :\quad \left|t_{n}(z_{1})-t_{ n}(z_{2})\right|\leq \rho |z_{1}-z_{2}|,\quad \rho <1.$$

Definiera:

$${\begin {aligned}G_{n}(z)&=\left(t_{n}\circ t_{n-1}\circ \cdots \circ t_{1}\right)(z)\\F_{n}( z)&=\left(t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}\right)(z)\end{aligned}}$$

Sedan $F_{n}(z)\to \beta \in S$ jämnt på $S.$ Om $\alpha _{n}$ är den unika fixpunkten för $t_{n}$ så är $G_{n} (z)\to \alpha$ enhetligt på $S$ om och endast om $|\alpha _{n}-\alpha |=\varepsilon _{n}\to 0$ .

Oändliga sammansättningar av andra funktioner

Icke-kontraktiva komplexa funktioner

Resultat som involverar hela funktioner inkluderar följande som exempel. Uppsättning

${\begin{aligned}f_{n}(z)&=a_{n}z+c_{n,2}z^{2}+c_{n,3}z^{ 3}+\cdots \\\rho _{n}&=\sup _{r}\left\{\left|c_{n,r}\right|^{\frac {1}{r-1}} \right\}\end{aligned}}$

Då gäller följande resultat:

Sats E1 — Om a _n ≡ 1,

$$\sum _{n=1}^{\infty }\rho _{n}<\infty$$

då är F _n → F hel.

Sats E2 — Uppsättning ε _n = | a _n −1 | anta att det finns icke-negativa δ _n , M ₁ , M ₂ , R så att följande gäller:

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}&<\infty ,\\\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}&<\infty ,\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\delta _{n})&<M_{1},\\\prod _{n=1 }^{\infty }(1+\varepsilon _{n})&<M_{2},\\\rho _{n}&<{\frac {\delta _{n}}{RM_{1}M_ {2}}}.\end{aligned}}$$

Då är G _n ( z ) → G ( z ) analytisk för | z | < R . Konvergensen är enhetlig på kompakta delmängder av { z : | z | < R }.

Ytterligare elementära resultat inkluderar:

Sats GF3 — Antag att $f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)$ där det finns $R,M>0$ så att $|z|<R$ innebär $|\varphi _{k}(z)|<M,\forall k,\$ Antag vidare att ${\textstyle \rho _{k}\geq 0,\summa _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ och ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.} Sedan$ för ${\textstyle R*<RM\ summa _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$

$$G_{n}(z)\equiv \left(f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}\right)(z)\to G (z)\qquad {\text{ för }}\{z:|z|<R*\}$$

Sats GF4 — Antag att $f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)$ där det finns $R,M>0$ så att $|z|<R$ och $|\zeta |<R$ antyder $|\varphi _{k}(z)|<M$ och ${\displaystyle |\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(\zeta )|\leq r|z-\zeta |,\forall k.\ } Antag vidare$ att ${\textstil \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ och ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.} Sedan$ för ${\textstyle R*<RM\ summa _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$

$$F_{n}(z)\equiv \left(f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}\right)(z)\to F(z )\qquad {\text{ för }}\{z:|z|<R*\}$$

Exempel GF1 : $F_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {R} }}}\left({\frac {x+iy}{1 +{\tfrac {1}{4^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\qquad [-20,20]$

Exempel GF1:Reproduktivt universum – En topografisk (moduli) bild av en oändlig komposition.

Exempel GF2 : $G_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {L} }}}\,\left({\frac {x+iy} {1+{\tfrac {1}{2^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\ [-20,20]$

Exempel GF2:Metropolis vid 30K – En topografisk (moduli) bild av en oändlig komposition.

Linjära fraktionella transformationer

Resultat för sammansättningar av linjära fraktionerade (Möbius) transformationer inkluderar följande, som exempel:

Sats LFT1 — På uppsättningen av konvergens av en sekvens { F _n } av icke-singulära LFT:er är gränsfunktionen antingen:

1. en icke-singular LFT,
2. en funktion som antar två distinkta värden, eller
3. en konstant.

I (a) konvergerar sekvensen överallt i det förlängda planet. I (b) konvergerar sekvensen antingen överallt och till samma värde överallt utom vid en punkt, eller så konvergerar den bara vid två punkter. Fall (c) kan inträffa med alla möjliga uppsättningar av konvergens.

Sats LFT2 — Om { F _n } konvergerar till en LFT, då konvergerar f _n till identitetsfunktionen f ( z ) = z .

Sats LFT3 — Om f _n → f och alla funktioner är hyperboliska eller loxodromiska Möbius-transformationer, då F _n ( z ) → λ , en konstant, för alla ${\textstil z\neq \beta =\lim _{n\to \infty }\beta _{n}} ,$ där { β _n } är de frånstötande fixpunkterna för { f _n }.

Sats LFT4 — Om f _n → f där f är parabolisk med fixpunkt γ . Låt fixpunkterna för { f _n } vara { γ _n } och { β _n }. Om

$$\sum _{n=1}^{\infty }\left|\gamma _{n}-\beta _{n}\right|<\infty \quad {\text{and}}\ quad \sum _{n=1}^{\infty }n\left|\beta _{n+1}-\beta _{n}\right|<\infty$$

sedan F _n ( z ) → λ , en konstant i det utökade komplexa planet, för alla z .

Exempel och tillämpningar

Fortsättning bråk

Värdet av den oändliga fortsatta bråkdelen

${\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\cdots }}}}$

kan uttryckas som gränsen för sekvensen { F _n (0)} där

$f_{n}(z)={\frac {a_{n}}{b_{n}+z}}.$

Som ett enkelt exempel följer ett välkänt resultat (Worpitsky Circle*) från en tillämpning av sats (A):

Betrakta den fortsatta fraktionen

${\cfrac {a_{1}\zeta }{1+{\cfrac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}$

med

$f_{n}(z)={\frac {a_{n}\zeta }{1+z}}.$

Bestäm att |ζ| < 1 och | z | < R < 1. Sedan för 0 < r < 1,

$|a_{n}|<rR(1-R)\Högerpil \left|f_{n}(z) \right|<rR<R\Rightarrow {\frac {a_{1}\zeta }{1+{\frac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}=F(\zeta )$ , analytisk för | z | < 1. Ställ in R = 1/2.

Exempel. $F( z)={\frac {(i-1)z}{1+i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(2-i)z}{1+2i +z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(3-i)z}{1+3i+z{\text{ }}+}}\cdots ,$$[-15,15]$

Exempel: Fortsatt bråkdel1 – Topografisk (moduli) bild av en fortsatt bråkdel (en för varje punkt) i det komplexa planet. [−15,15]

Exempel. En fortsatt bråkform med fast punkt (en enda variabel).

$f_{k,n}(z)={\frac {\alpha _{k,n }\beta _{k,n}}{\alpha _{k,n}+\beta _{k,n}-z}},\alpha _{k,n}=\alpha _{k,n} (z),\beta _{k,n}=\beta _{k,n}(z),F_{n}(z)=\left(f_{1,n}\circ \cdots \circ f_{ n,n}\right)(z)$

$\alpha _{k,n}=x\cos(ty)+iy\sin(tx),\beta _{k,n}=\cos(ty)+i \sin(tx),t=k/n$

Exempel: Oändlig brosch - Topografisk (moduli) bild av en fortsatt bråkform i det komplexa planet. (6<x<9,6),(4,8<y<8)

Direkt funktionell expansion

Exempel som illustrerar omvandlingen av en funktion direkt till en komposition följer:

Exempel 1. Antag att $\phi$ är en hel funktion som uppfyller följande villkor:

${\begin{cases}\phi (tz)=t\left(\phi (z)+\phi (z)^{2}\right)& |t|>1\\\phi (0)=0\\\phi '(0)=1\end{fall}}$

Sedan

$f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{t^{n }}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \phi (z)$ .

Exempel 2.

$f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}} {2^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to {\frac {1}{2}}\left(e^{2z}-1\right)$

Exempel 3.

$f_{n}(z)={\frac {z}{1-{\tfrac {z ^{2}}{4^{n}}}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \tan(z)$

Exempel 4.

$g_{n}(z)={\frac {2\ cdot 4^{n}}{z}}\left({\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{4^{n}}}}}-1\right)\Longrightarrow G_{n }(z)\to \arctan(z)$

Beräkning av fixpunkter

Sats (B) kan användas för att bestämma fixpunkterna för funktioner som definieras av oändliga expansioner eller vissa integraler. Följande exempel illustrerar processen:

Exempel FP1. För | ζ | ≤ 1 låt

$G(\zeta )={\frac {\tfrac {e^{\zeta }} {4}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{8}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{12 }}{3+\zeta +\cdots }}}}}}$

För att hitta α = G (α), definierar vi först:

${\begin{aligned}t_{n}(z)& ={\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{4n}}{3+\zeta +z}}\\f_{n}(\zeta )&=t_{1}\circ t_{2} \circ \cdots \circ t_{n}(0)\end{aligned}}$

Beräkna sedan $G_{n}(\zeta )=f_{n}\circ \cdots \circ f_{1}(\zeta )$ med ζ = 1, vilket ger: α = 0,087118118... till tio decimaler efter tio iterationer.

Sats FP2 — Låt φ ( ζ , t ) vara analytisk i S = { z : | z | < R } för alla t i [0, 1] och kontinuerliga i t . Uppsättning

$$f_{n}(\zeta )={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi \left(\zeta ,{\tfrac {k}{n }}\höger).$$

Om | φ ( ζ , t ) | ≤ r < R för ζ ∈ S och t ∈ [0, 1], sedan

$$\zeta =\int _{0}^{1}\varphi (\zeta ,t)\,dt$$

har en unik lösning, α i S , med $\lim _{n\to \infty }G_{n}(\zeta )=\alpha .$

Evolution fungerar

Betrakta ett tidsintervall, normaliserat till I = [0, 1]. ICAFs kan konstrueras för att beskriva kontinuerlig rörelse av en punkt, z , över intervallet, men på ett sådant sätt att rörelsen vid varje "ögonblick" är praktiskt taget noll (se Zenons pil ): För intervallet uppdelat i n lika stora delintervall, 1 ≤ k ≤ n set $g_{k,n}(z)=z+\varphi _{k,n}(z)$ analytisk eller helt enkelt kontinuerlig – i en domän S , sådan att

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{k,n}(z)=0$ för alla k och alla z i S ,

och $g_{k,n}(z)\in S$ .

Huvudexempel

${\begin{aligned}g_{k,n}(z)&=z+{\frac {1}{n}}\phi \left(z ,{\tfrac {k}{n}}\right)\\G_{k,n}(z)&=\left(g_{k,n}\circ g_{k-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)\\G_{n}(z)&=G_{n,n}(z)\end{aligned}}$

innebär

$\lambda _{n}(z)\doteq G_{n}(z)-z={\frac {1}{n}}\sum _{ k=1}^{n}\phi \left(G_{k-1,n}(z){\tfrac {k}{n}}\right)\doteq {\frac {1}{n}}\ summa _{k=1}^{n}\psi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\sim \int _{0}^{1}\psi (z,t) \,dt,$

där integralen är väldefinierad om ${\tfrac {dz}{dt}}=\phi (z,t)$ har en sluten lösning z ( t ). Sedan

$\lambda _{n}(z_{0})\approx \int _{0}^{1}\phi (z(t),t)\,dt.$

Annars är integranden dåligt definierad även om värdet på integralen är lätt att beräkna. I detta fall kan man kalla integralen för en "virtuell" integral.

Exempel. $_ \displaystyle \phi (z,t)={\frac {2t-\cos y}{1-\sin x\cos y}}+i{\frac {1-2t\sin x}{1-\sin x \cos y}},\int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt}$

Exempel 1: Virtuella tunnlar – Topografisk (moduli) bild av virtuella integraler (en för varje punkt) i det komplexa planet. [−10,10]

Två konturer flyter mot en attraktiv fixpunkt (röd till vänster). Den vita konturen ( c = 2) avslutas innan den når den fasta punkten. Den andra konturen ( c ( n ) = kvadratroten ur n ) slutar vid den fasta punkten. För båda konturerna är n = 10 000

Exempel. Låta:

$g_{n}(z)=z+{\frac {c_{n}}{n}}\phi (z),\quad {\text{with}}\quad f(z)=z+\phi (z).$

Ställ sedan in ${\displaystyle T_{1,n}(z )=g_{n}(z),T_{k,n}(z)=g_{n}(T_{k-1,n}(z)),} och T n$ ( z ₎ = T n , _n ( z ). Låta

$T(z)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(z)$

när den gränsen finns. Sekvensen { Tn ₎ ( z )} definierar konturer γ = γ( cn _, z ) som följer flödet av vektorfältet f ( z . Om det finns en attraktiv fixpunkt α, vilket betyder | f ( z ) − α| ≤ ρ| z − α| för 0 ≤ ρ < 1, sedan T _n ( z ) → T ( z ) ≡ α längs γ = γ( c _n , z ), förutsatt (till exempel) $c_{n}={\ sqrt {n}}$ . Om c _n ≡ c > 0, så är Tn ( _. z ) → T ( z ), en punkt på konturen γ = γ( c , z ) Det är lätt att se det

$\oint _{\gamma }\phi (\zeta )\ ,d\zeta =\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\summa _{k=1}^{n}\phi ^{2}\left(T_{k- 1,n}(z)\höger)$

och

$L(\gamma (z))=\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\phi \left(T_{k-1,n}(z)\right)\right|,$

när dessa gränser finns.

Dessa begrepp är marginellt relaterade till aktiv konturteori inom bildbehandling, och är enkla generaliseringar av Eulermetoden

Självreplikerande expansioner

Serier

Serien som definieras rekursivt av f _n ( z ) = z + g _n ( z ) har egenskapen att den n:te termen predikeras på summan av de första n − 1 termerna. För att använda teorem (GF3) är det nödvändigt att visa begränsning i följande betydelse: Om varje f _n är definierad för | z | < M sedan | Gn ₍ z ) | < M måste följa före | f _n ( z ) − z | = | gn ₍ z ) | ≤ Cβ _n definieras för iterativa ändamål. Detta beror på att $g_{n}(G_{n-1}(z))$ förekommer under hela expansionen. Begränsningen

$|z|<R=MC\summa _{k=1}^{\infty }\beta _{k}>0$

tjänar detta syfte. Sedan G _n ( z ) → G ( z ) enhetligt på den begränsade domänen.

Exempel (S1). Uppsättning

$f_{n}(z)=z+{\frac {1}{\rho n^{2}}}{\sqrt { z}},\qquad \rho >{\sqrt {\frac {\pi }{6}}}$

och M = ^p2 . Då är R = ρ ² − (π/6) > 0. Då, om ${\displaystyle S=\left\{z:|z|<R,\operatörsnamn {Re} (z)>0\right\}} ,$ z i S antyder | Gn ₍ z ) | < M och sats (GF3) gäller, så att

${\begin{ aligned}G_{n}(z)&=z+g_{1}(z)+g_{2}(G_{1}(z))+g_{3}(G_{2}(z))+\ cdots +g_{n}(G_{n-1}(z))\\&=z+{\frac {1}{\rho \cdot 1^{2}}}{\sqrt {z}}+{\ frac {1}{\rho \cdot 2^{2}}}{\sqrt {G_{1}(z)}}+{\frac {1}{\rho \cdot 3^{2}}}{\ sqrt {G_{2}(z)}}+\cdots +{\frac {1}{\rho \cdot n^{2}}}{\sqrt {G_{n-1}(z)}}\end {Justerat}}$

konvergerar absolut, är därför konvergent.

Exempel (S2) : $f_{n}(z)=z+{\frac {1}{n^ {2}}}\cdot \varphi (z),\varphi (z)=2\cos(x/y)+i2\sin(x/y),>G_{n}(z)=f_{n} \circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}(z),\qquad [-10,10],n=50$

Exempel (S2)- En topografisk (moduli) bild av en självgenererande serie.

Produkter

Produkten definieras rekursivt av

$f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z)),\qquad |z|\leqslant M,$

har utseendet

$G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n}\left(1+g_{k}\left(G_{k-1}(z)\right)\right ).$

För att tillämpa Teorem GF3 krävs att:

$\left|zg_{n}(z)\right|\leq C\beta _{n},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}<\infty .$

Återigen måste ett begränsningstillstånd stödja

$\left|G_{n-1}(z)g_{n}(G_{n-1}(z))\right|\leq C\beta _{n}.$

Om man känner till Cβ _n i förväg räcker det med följande:

$|z|\leqslant R={\frac {M}{P}}\qquad {\text{där}}\quad P=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1 +C\beta _{n}\right).$

Sedan G _n ( z ) → G ( z ) enhetligt på den begränsade domänen.

Exempel (P1). Antag att $f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z))$ med $g_{n}(z)={\tfrac {z^{2}}{n^{3}}},$ observerar efter några preliminära beräkningar, att | z | ≤ 1/4 innebär | Gn ₍ z ) | < 0,27. Sedan

$\left|G_{n}(z){\frac {G_{n}(z)^{2}}{n^{3}}}\right |<(0.02){\frac {1}{n^{3}}}=C\beta _{n}$

och

$G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n- 1}\left(1+{\frac {G_{k}(z)^{2}}{n^{3}}}\right)$

konvergerar enhetligt.

Exempel (P2).

$g_{k,n}(z)=z\left(1+{\frac {1}{n }}\varphi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\right),$

$G_{n,n}(z)=\left(g_{n,n}\ circ g_{n-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)=z\prod _{k=1}^{n}(1+P_{k,n} (z)),$

$P_{k,n}(z)={\frac {1 }{n}}\varphi \left(G_{k-1,n}(z),{\tfrac {k}{n}}\right),$

$\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+P_{k,n}(z)\right)=1+P_{ 1,n}(z)+P_{2,n}(z)+\cdots +P_{k-1,n}(z)+R_{n}(z)\sim \int _{0}^{ 1}\pi (z,t)\,dt+1+R_{n}(z),$

$\varphi (z)=x\cos(y)+iy\sin(x),\int _{0}^{1} (z\pi (z,t)-1)\,dt,\qquad [-15,15]:$

Exempel (P2): Picassos universum – en härledd virtuell integral från en självgenererande oändlig produkt. Klicka på bilden för högre upplösning.

Fortsättning bråk

Exempel (CF1) : En självgenererande fortsatt fraktion.

${\begin{aligned}F_{n}(z)&={\frac {\rho (z)}{\delta _{1}+}}{\frac {\ rho (F_{1}(z))}{\delta _{2}+}}{\frac {\rho (F_{2}(z))}{\delta _{3}+}}\cdots { \frac {\rho (F_{n-1}(z))}{\delta _{n}}},\\\rho (z)&={\frac {\cos(y)}{\cos( y)+\sin(x)}}+i{\frac {\sin(x)}{\cos(y)+\sin(x)}},\qquad [0<x<20],[0< y<20],\qquad \delta _{k}\equiv 1\end{aligned}}$

Exempel CF1: Minskande avkastning – en topografisk (moduli) bild av en självgenererande fortsatt bråkdel.

Exempel (CF2) : Beskrivs bäst som en självgenererande omvänd Euler-fortsatt fraktion .

$G_{n}(z)={\frac { \rho (G_{n-1}(z))}{1+\rho (G_{n-1}(z))-}}\ {\frac {\rho (G_{n-2}(z) )}{1+\rho (G_{n-2}(z))-}}\cdots {\frac {\rho (G_{1}(z))}{1+\rho (G_{1}( z))-}}\ {\frac {\rho (z)}{1+\rho (z)-z}},$

$\rho (z)=\rho (x+iy)=x\cos(y)+iy\sin(x), \qquad [-15,15],n=30$

Exempel CF2: Dream of Gold – en topografisk (moduli) bild av en självgenererande omvänd Euler-fortsatt fraktion.

Se även

• Generaliserad fortsatt bråk

Externa länkar

• Gill, J. (2017). "En grundbok om den elementära teorin om oändliga sammansättningar av komplexa funktioner" ( PDF) . Kommunikationer i den analytiska teorin om fortsatta bråk . XXIII .