Monomial representation

Inom de matematiska områdena representationsteori och gruppteori är en linjär representation ρ ( rho ) av en grupp G en monomisk representation om det finns en finitindex- undergrupp H och en endimensionell linjär representation σ av H , så att ρ är ekvivalent med den inducerade representationen Ind _H ^G σ .

Alternativt kan man definiera det som en representation vars bild finns i de monomiala matriserna .

Här kan till exempel G och H vara ändliga grupper , så att inducerad representation har en klassisk betydelse. Den monomiala representationen är bara lite mer komplicerad än permutationsrepresentationen av G på cosets av H . Det är bara nödvändigt att hålla reda på skalärer som kommer från σ applicerade på element av H .

Definition

För att definiera den monomiska representationen måste vi först introducera begreppet monomiskt utrymme. Ett monomialt utrymme är en trippel $(V,X,(V_{x})_{x\in X})$ där $V$ är ett ändligt dimensionellt komplext vektorrum, $X$ är en ändlig mängd och $(V_{x})_{x\in X}$ är en familj av endimensionella delrum av $V$ så att $V=\oplus _{x\in X}V_{x}$ .

Låt nu $G$ vara en grupp, den monomiala representationen av $G$ på $V$ är en grupphomomorfism $\rho :G\ till \mathrm {GL} (V)$ så att för varje element $g\in G$ , $\rho (g)$ permuterar $V_{x }$ s, betyder detta att $\rho$ inducerar en handling genom permutation av $G$ på $X$ .

• "Monomial representation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•   Karpilovsky, Gregory (1985). Projektiva representationer av ändliga grupper . M. Dekker. ISBN 978-0-8247-7313-7 .