Linjär komplex struktur

Inom matematiken är en komplex struktur på ett verkligt vektorrum V en automorfism av V som kvadrerar till minusidentiteten − I . En sådan struktur på V tillåter en att definiera multiplikation med komplexa skalärer på ett kanoniskt sätt för att betrakta V som ett komplext vektorrum.

Varje komplex vektorrum kan utrustas med en kompatibel komplex struktur, men det finns i allmänhet ingen kanonisk sådan struktur. Komplexa strukturer har tillämpningar inom representationsteori såväl som i komplex geometri där de spelar en väsentlig roll i definitionen av nästan komplexa grenrör , till skillnad från komplexa grenrör . Termen "komplex struktur" hänvisar ofta till denna struktur på grenrör; när det istället hänvisar till en struktur på vektorrum, kan det kallas en linjär komplex struktur .

Definition och egenskaper

En komplex struktur på ett verkligt vektorrum V är en verklig linjär transformation

$$J:V\to V$$

Så att

$$J^{2}=-\mathrm {Id} _{V}.$$

Här betyder J ² J sammansatt med sig själv och Id _V är identitetskartan på V . Det vill säga, effekten av att applicera J två gånger är densamma som multiplikation med −1 . Detta påminner om multiplikation med den imaginära enheten dvs. , En komplex struktur tillåter en att förse V med strukturen av ett komplext vektorrum . Komplex skalär multiplikation kan definieras av

$$(x+iy)v=xv+yJ(v)$$

för alla reella tal x , y och alla vektorer v i V . Man kan kontrollera att detta faktiskt ger V strukturen för ett komplext vektorrum som vi betecknar V _J .

Om man går åt andra hållet, om man börjar med ett komplext vektorrum W så kan man definiera en komplex struktur på det underliggande reella rummet genom att definiera Jw = iw för alla w ∈ W .

Mer formellt är en linjär komplex struktur på ett reellt vektorrum en algebra-representation av de komplexa talen C , tänkt som en associativ algebra över de reella talen . Denna algebra realiseras konkret som

$$\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$$

vilket motsvarar i ² = −1 . Då är en representation av C ett reellt vektorrum V , tillsammans med en verkan av C på V (en karta C → End( V ) ). Konkret är detta bara en åtgärd av i , eftersom detta genererar algebra, och operatorn som representerar i (bilden av i i End( V ) ) är exakt J .

Om V _J har komplex dimension n måste V ha reell dimension 2 n . Det vill säga, ett änddimensionellt utrymme V tillåter en komplex struktur endast om det är jämnt. Det är inte svårt att se att varje jämndimensionell vektorrymd medger en komplex struktur. Man kan definiera J på paren e , f av basvektorer genom Je = f och Jf = − e och sedan utsträckas genom linjäritet till hela V . Om ( v ₁ , …, v _n ) är en grund för det komplexa vektorrummet V _J så är ( v ₁ , Jv ₁ , …, v _n , Jv _n ) en grund för det underliggande reella rummet V .

En reell linjär transformation A : V → V är en komplex linjär transformation av det motsvarande komplexa rummet V _J om och endast om A pendlar med J , dvs om och endast om

$$AJ=JA.$$

På samma sätt är ett reellt delrum U av V ett komplext delrum av V _J om och endast om J bevarar U , dvs om och endast om

$$JU=U.$$

Exempel

Elementärt exempel

Samlingen av 2x2 reella matriser M(2, R ) över det reella fältet är 4-dimensionell. Vilken matris som helst

$J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}$ med a ² + bc = –1

har kvadrat lika med det negativa i identitetsmatrisen. En komplex struktur kan bildas i M(2, R ): med identitetsmatris I, element xI + y J, med matrismultiplikation bildar komplexa tal.

C ⁿ

Det grundläggande exemplet på en linjär komplex struktur är strukturen på R ^{2 n} som kommer från den komplexa strukturen på C ⁿ . Det vill säga, det komplexa n -dimensionella rummet C ⁿ är också ett reellt 2 n -dimensionellt utrymme – med samma vektoraddition och reell skalär multiplikation – medan multiplikation med det komplexa talet i inte bara är en komplex linjär transformation av rummet, trodde av som ett komplext vektorrum, men också ett verkligt linjär transformation av rymden, tänkt som ett verkligt vektorrum. Konkret beror detta på att skalär multiplikation med i pendlar med skalär multiplikation med reella tal $i(\lambda v)=( i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)$ – och fördelar över vektoraddition. Som ett komplex n × n matris, detta är helt enkelt den skalära matrisen med i på diagonalen. Den motsvarande reella 2 n × 2 n matrisen betecknas J .

Givet en grund $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}$ för det komplexa rummet, detta set, tillsammans med dessa vektorer multiplicerat med i, nämligen $\left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n }\höger\},$ utgöra en grund för det verkliga rummet. Det finns två naturliga sätt att ordna denna bas, som abstrakt motsvarar om man skriver tensorprodukten som $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ eller istället som $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.$

Om man beställer basen som ${\displaystyle \left\{e_{1},ie_{1},e_{ 2},dvs_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},} sedan$ har matrisen för J blockdiagonalformen (nedsänkta för att indikera dimension):

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&&\ddots \\&&&&&&&0&-1\\&&&&&&&1&0\end{bmatrix }}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.$$

Denna ordning har fördelen att den respekterar direkta summor av komplexa vektorrum, vilket här betyder att grunden för $\mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}$ är samma som för $\mathbb {C} ^{m+n}.$

Å andra sidan, om man beställer basen som ${\displaystyle \left\{e_{1},e_ {2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}} ,$ då är matrisen för J blockantidiagonal:

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.$$

Denna ordning är mer naturlig om man tänker på det komplexa rummet som en direkt summa av verkliga rum, som diskuteras nedan.

Data för det reella vektorutrymmet och J -matrisen är exakt samma som data för det komplexa vektorrummet, eftersom J -matrisen tillåter en att definiera komplex multiplikation. På nivån för Lie-algebror och Lie-grupper motsvarar detta inkluderingen av gl( n , C ) i gl(2 n , R ) (Lie-algebras – matriser, inte nödvändigtvis inverterbara) och GL( n , C ) i GL( 2n , R ) :

gl( n , C ) < gl( 2n , R ) och GL( n , C ) < GL( 2n , R ).

Inklusionen motsvarar att glömma den komplexa strukturen (och bara behålla den reella), medan undergruppen GL( n , C ) kan karakteriseras (given i ekvationer) som de matriser som pendlar med J:

$$\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.$$

Motsvarande påstående om Lie-algebra är att subalgebra gl( n , C ) för komplexa matriser är de vars Lie-parentes med J försvinner, vilket betyder $[J,A]=0;$ med andra ord, som kärnan i kartan av bracketing med J, $[J,-].$

Observera att de definierande ekvationerna för dessa påståenden är desamma, eftersom $AJ=JA$ är samma som $AJ-JA=0,$ vilket är detsamma som $[A,J]=0,$ även om betydelsen av att Lie-parentesen försvinner är mindre omedelbar geometriskt än betydelsen av pendling.

Direkt summa

Om V är något reellt vektorrum finns det en kanonisk komplex struktur på den direkta summan V ⊕ V som ges av

$$J(v,w)=(-w,v).$$

Blockmatrisformen för J är _

$$J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}$$

där $I_{V}$ är identitetskartan på V . Detta $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.$ den komplexa strukturen på tensorprodukten

Kompatibilitet med andra strukturer

Om B är en bilinjär form på V så säger vi att J bevarar B if

$$B(Ju,Jv)=B(u,v)$$

för alla u , v ∈ V . En ekvivalent karakterisering är att J är skev-adjoint med avseende på B :

$$B(Ju,v)=-B(u,Jv).$$

Om g är en inre produkt på V så bevarar J g om och endast om J är en ortogonal transformation . På samma sätt bevarar J en icke degenererad , snedsymmetrisk form ω om och endast om J är en symplektisk transformation (det vill säga om ${\textstil \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$ ). För symboliska former ω är det ett intressant kompatibilitetsvillkor mellan J och ω

$$\omega (u,Ju)>0$$

gäller för alla icke-noll u i V . Om detta villkor är uppfyllt, så säger vi att J tamar ω (synonymt: att ω är tam med avseende på J ; att J är tam med avseende på ω ; eller att paret ${\textstyle (\omega , J)}$ är tam).

Givet en symplektisk form ω och en linjär komplex struktur J på V , kan man definiera en associerad bilinjär form g _J på V med

$$g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).$$

Eftersom en symplektisk form är icke degenererad, så är den associerade bilinjära formen det. Den associerade formen bevaras av J om och endast om den symboliska formen är det. Dessutom, om den symplektiska formen bevaras av J , är den associerade formen symmetrisk. Om dessutom ω tämjas av J , så är den associerade formen positiv definitiv . Sålunda är V i detta fall ett inre produktutrymme med avseende på gJ _.

Om den symboliska formen ω bevaras (men inte nödvändigtvis tämjas) av J , så är g _J den verkliga delen av den hermitiska formen (av konvention antilinjär i det första argumentet) ${\textstyle h_ {J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ definieras av

$$h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).$$

Förhållande till komplexiseringar

Med tanke på varje reellt vektorrum V kan vi definiera dess komplexisering genom förlängning av skalärer :

$V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .$

Detta är ett komplext vektorrum vars komplexa dimension är lika med den verkliga dimensionen av V . Den har en kanonisk komplex konjugation definierad av

${\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}$

Om J är en komplex struktur på V , kan vi utöka J med linjäritet till V ^C :

$J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.$

Eftersom C är algebraiskt sluten har J garanterat egenvärden som uppfyller λ ^{2 =} −1 , nämligen λ = ± i . Så kan vi skriva

$V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}$

där V ⁺ och V ⁻ är egenrymden för + i respektive − i . Komplexa konjugationsutbyten V ⁺ och V ⁻ . Projektionskartorna på V ^± egenrymden ges av

${\mathcal {P}}^{\pm }={1 \över 2}(1\mp iJ).$

Så att

$V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.$

Det finns en naturlig komplex linjär isomorfism mellan V _J och V ⁺ , så dessa vektorrum kan anses vara lika, medan V ⁻ kan betraktas som det komplexa konjugatet av V _J .

Observera att om V _J har komplex dimension n så har både V ⁺ och V ^{− komplex dimension} n medan V ^C har komplex dimension 2 n .

Abstrakt, om man börjar med ett komplext vektorrum W och tar komplexiseringen av det underliggande reella rummet, erhåller man ett rymd som är isomorft till den direkta summan av W och dess konjugat:

$W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.$

Utökning till relaterade vektorrum

Låt V vara ett reellt vektorrum med en komplex struktur J . Det dubbla utrymmet V * har en naturlig komplex struktur J * som ges av det dubbla (eller transponera ) av J . Komplexifieringen av det dubbla rummet ( V *) ^C har därför en naturlig nedbrytning

$(V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus ( V^{*})^{-}$

in i ± i egenrymden för J *. Under den naturliga identifieringen av ( V *) ^C med ( V ^C )* kan man karakterisera ( V *) ⁺ som de komplexa linjära funktionaler som försvinner på V ⁻ . Likaså ( V *) ⁻ består av de komplexa linjära funktionalerna som försvinner på V ⁺ .

Den (komplexa) tensor , symmetriska och yttre algebran över VC medger också nedbrytningar ^. Den yttre algebra är kanske den viktigaste tillämpningen av denna nedbrytning. I allmänhet, om ett vektorrum U tillåter en sönderdelning U = S ⊕ T , så kan de yttre potenserna av U delas upp enligt följande:

$\Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).$

En komplex struktur J på V inducerar därför en sönderdelning

$\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}$

var

$\Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+}) \otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).$

Alla yttre makter tas över de komplexa talen. Så om V _J har komplex dimension n (verklig dimension 2 n ) då

$\dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\ Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.$

Dimensionerna summerar korrekt som en konsekvens av Vandermondes identitet .

Utrymmet för ( p , q )-former Λ ^{p , q} V _J * är rymden av (komplexa) multilinjära former på V ^C som försvinner på homogena element om inte p är från V ⁺ och q är från V ⁻ . Det är också möjligt att betrakta Λ ^{p , q} V _J * som utrymmet för verkliga multilinjära kartor från V _J till C som är komplexa linjära i p termer och konjugatlinjära i q termer.

Se komplex differentialform och nästan komplex mångfald för tillämpningar av dessa idéer.

Se även

• Nästan komplext grenrör
• Komplext grenrör
• Komplex differentialform
• Komplext konjugerat vektorutrymme
• Hermitisk struktur
• Verklig struktur

•   Kobayashi S. och Nomizu K., Foundations of Differential Geometry , John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7 . (komplexa strukturer diskuteras i volym II, kapitel IX, avsnitt 1).
•   Budinich, P. och Trautman, A. The Spinorial Chessboard , Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (komplexa strukturer diskuteras i avsnitt 3.1).
•   Goldberg SI, Curvature and Homology , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X . (komplexa strukturer och nästan komplexa grenrör diskuteras i avsnitt 5.2).