Ekvationslista inom kvantmekaniken

Den här artikeln sammanfattar ekvationer i teorin om kvantmekanik .

Vågfunktioner

En grundläggande fysisk konstant som förekommer inom kvantmekaniken är Planck-konstanten , h . En vanlig förkortning är ħ = h /2 π , även känd som den reducerade Planck-konstanten eller Dirac-konstanten .

Kvantitet (vanligt namn)	(Vanligt) Symbol/er	Definiera ekvation	SI-enheter	Dimensionera
Vågfunktion	ψ, Ψ	Att lösa från Schrödinger-ekvationen	varierar med situation och antal partiklar
Sannolikhetstäthet för vågfunktion	ρ	$\rho =\left|\Psi \right|^{2}=\Psi ^{*}\Psi$	m −3	[L] −3
Sannolikhetsström för vågfunktion	j	Icke-relativistisk, inget yttre fält: ${\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {-i\hbar }{2m}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^ {*}\right)\\&={\frac {\hbar }{m}}\operatörsnamn {Im} \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi \right)=\operatörsnamn {Re} \left (\Psi ^{*}{\frac {\hbar }{im}}\nabla \Psi \right)\end{aligned}}$ stjärna * är komplext konjugat	m −2 s −1	[T] −1 [L] −2

Den allmänna formen av vågfunktion för ett system av partiklar, var och en med position r _i och z-komponent av spin s _{z i} . Summor är över den diskreta variabeln s _z , integraler över kontinuerliga positioner r .

För tydlighetens och korthetens skull samlas koordinaterna till tuplar, indexen märker partiklarna (vilket inte kan göras fysiskt, men är matematiskt nödvändigt). Följande är generella matematiska resultat som används i beräkningar.

Egendom eller effekt	Nomenklatur	Ekvation
Vågfunktion för N partiklar i 3d	r = ( r 1 , r 2 ... r N ) s z = ( s z 1 , s z 2 , ..., s z N )	I funktionsnotation: $\Psi =\Psi \left(\mathbf {r} ,\mathbf {s_{z}} ,t\right)$ i bra–ket notation : $|\Psi \rangle =\sum _{s_{z1}}\sum _{s_{z2}}\cdots \sum _{s_{zN}}\int _{V_{1}}\int _ {V_{2}}\cdots \int _{V_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\cdots \mathrm { d} \mathbf {r} _{N}\Psi |\mathbf {r} ,\mathbf {s_{z}} \rangle$ för icke-interagerande partiklar: $\Psi =\prod _{n=1}^{N}\Psi \left(\mathbf {r} _{n} ,s_{zn},t\right)$
Position-momentum Fourier-transform (1 partikel i 3d)	Φ = momentum-rymdvågfunktion Ψ = position-rymdvågfunktion	${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {p} ,s_{z},t)&={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}} }\int \limits _{\mathrm {all\,space} }e^{-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }\Psi (\mathbf {r} ,s_{z} ,t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \\&\upharpoonleft \downharpoonright \\\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)&={\frac {1} {{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }e^{+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }\Phi (\mathbf {p} ,s_{z},t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {p} _{n}\\\end{aligned}}$
Allmän sannolikhetsfördelning	V j = volym (3d-region) partikel kan uppta, P = Sannolikhet att partikel 1 har position r 1 i volym V 1 med spin s z 1 och partikel 2 har position r 2 i volym V 2 med spin s z 2 osv.	$P=\sum _{s_{zN}}\cdots \sum _{s_{z2}}\sum _{s_{z1}}\int _{V_{N}}\cdots \int _{V_ {2}}\int _{V_{1}}\left|\Psi \right|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\mathrm {d} ^{ 3}\mathbf {r} _{2}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,\!$
Allmänt normaliseringstillstånd _		$P=\sum _{s_{zN}}\cdots \sum _{s_{z2}}\summa _{s_{z1}}\int \limits _{\ mathrm {alla\,mellanslag} }\cdots \int \limits _{\mathrm {alla\,mellanslag} }\;\int \limits _{\mathrm {alla\,mellanslag} }\left|\Psi \right| ^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \mathrm {d} ^{3 }\mathbf {r} _{N}=1\,\!$

Ekvationer

Våg-partikeldualitet och tidsevolution

Egendom eller effekt	Nomenklatur	Ekvation
Planck–Einsteins ekvation och de Broglies våglängdsrelationer	P = ( E/c , p ) är fyrmomentet , K = (ω/ c , k ) är fyrvågsvektorn , E = partikelns energi ω = 2π f är partikelns vinkelfrekvens och frekvens ħ = h /2π är Plancks konstanter c = ljusets hastighet	$\mathbf {P} =(E/c,\mathbf {p} )=\hbar (\omega /c, \mathbf {k} )=\hbar \mathbf {K}$
Schrödinger ekvation	Ψ = systemets vågfunktion Ĥ = Hamiltonsk operator , E = energiegenvärde för systemet i är den imaginära enheten t = tid	Allmänt tidsberoende fall: $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$ Tidsoberoende skiftläge: ${\hat {H}}\Psi =E\Psi$
Heisenbergs ekvation	 = operatör för en observerbar egenskap [ ] är kommutatorn $\langle \,\rangle$ anger medelvärdet	${\frac {d}{dt}}{\hat {A} }(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}} (t)}{\partial t}},$
Tidsutveckling i Heisenbergs bild ( Ehrenfest-satsen )	m = massa , V = potentiell energi , r = position , p = momentum , av en partikel.	${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}} \rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}},{\hat {H}}]\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$ För momentum och position; $m{\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {p} \rangle$ ${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =-\langle \nabla V\rangle$

Icke-relativistisk tidsoberoende Schrödinger-ekvation

Nedan sammanfattas de olika former som Hamiltonian tar, med motsvarande Schrödinger-ekvationer och former av vågfunktionslösningar. Observera i fallet med en rumslig dimension, för en partikel reduceras den partiella derivatan till en vanlig derivata .

	En partikel	N partiklar
En dimension	${\hat {H}}={\frac {{\hat {p} }^{2}}{2m}}+V(x)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}} +V(x)$	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\summa _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{ n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\\&=-{\frac {\hbar ^{2}} {2}}\summa _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2 }}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\end{aligned}}$ där positionen för partikel n är x n .
	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}} {dx^{2}}}\Psi +V\Psi$	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\ frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\Psi +V\Psi \,.$
	$\Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }\,.$ Det finns en ytterligare begränsning — lösningen får inte växa i oändlighet, så att den antingen har en finit L 2 -norm (om det är ett bundet tillstånd ) eller en långsamt divergerande norm (om den är en del av ett kontinuum ): $\|\psi \|^{2}=\int |\psi (x)|^{2}\,dx.\,$	$\Psi =e^{-iEt/\hbar }\psi (x_{1},x_{2}\cdots x_ {N})$ för icke-interagerande partiklar $\Psi =e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (x_{n})\,,\quad V(x_{1}, x_{2},\cdots x_{N})=\summa _{n=1}^{N}V(x_{n})\,.$
Tre dimensioner	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\frac { {\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {\hbar ^ {2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\end{aligned}}$ där partikelns position är r = ( x, y, z ).	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\summa _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _ {2},\cdots \mathbf {r} _{N})\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\summa _{n=1}^{N}{\ frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r } _{N})\end{aligned}}$ där positionen för partikel n är r n = ( x n , y n , z n ), och Laplacian för partikel n med hjälp av motsvarande positionskoordinater är $\nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{ {\partial x_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}}{{\partial z_{n}}^{2}}}$
	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\summa _{n =1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi +V\Psi$
	$\Psi =\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$	$\Psi =e^{-iEt/\hbar }\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N})$ för icke-interagerande partiklar $\Psi =e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (\mathbf {r} _{n})\,,\quad V( \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})=\summa _{n=1}^{N}V(\mathbf { r} _{n})$

Icke-relativistisk tidsberoende Schrödinger-ekvation

Återigen, sammanfattade nedan är de olika formerna Hamiltonian tar, med motsvarande Schrödinger-ekvationer och lösningar.

	En partikel	N partiklar
En dimension	${\hat {H}}={\frac {{\ hatt {p}}^{2}}{2m}}+V(x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{ \partial x^{2}}}+V(x,t)$	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\summa _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p }}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)\\&=-{\frac {\ hbar ^{2}}{2}}\summa _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_ {n}^{2}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)\end{aligned}}$ där positionen för partikel n är x n .
	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi$	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\summa _{n=1}^{N} {\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\Psi +V\Psi \,.$
	$\Psi =\Psi (x,t)$	$\Psi =\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)$
Tre dimensioner	${\begin{aligned}{\hat {H}}&= {\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\&=-{ \frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\ mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1} ^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}, \cdots \mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}$
	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2 }}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{ \frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\ Psi +V\Psi$ Denna sista ekvation har en mycket hög dimension, så lösningarna är inte lätta att visualisera.
	$\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)$	$\Psi =\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf { r} _{N},t)$

Fotoemission

Egendom/effekt	Nomenklatur	Ekvation
Fotoelektrisk ekvation	K max = Maximal kinetisk energi för utstött elektron (J) h = Plancks konstant f = frekvensen av infallande fotoner (Hz = s −1 ) φ , Φ = Arbetsfunktion för materialet fotonerna infaller på (J)	$K_{\mathrm {max} }=hf-\Phi \,\!$
Tröskelfrekvens och arbetsfunktion	φ , Φ = Arbetsfunktion för materialet fotonerna infaller på (J) 00 f , ν = Tröskelfrekvens (Hz = s −1 )	Kan endast hittas genom experiment. De Broglie-relationerna ger relationen mellan dem: $\phi =hf_{0}\,\!$
Foton momentum	p = rörelsemängd för foton (kg ms −1 ) f = fotons frekvens (Hz = s −1 ) λ = fotons våglängd (m)	De Broglies relationer ger: $p=hf/c=h/\lambda \,\!$

Kvantosäkerhet

Egendom eller effekt	Nomenklatur	Ekvation
Heisenbergs osäkerhetsprinciper	n = antal fotoner φ = vågfas [, ] = kommutator	Position-momentum $\sigma (x)\sigma (p)\geq {\frac {\hbar }{2}}\,\!$ Energitid $\sigma (E)\sigma (t)\geq {\frac {\hbar }{2}}\,\!$ Talfas $\sigma (n)\sigma (\phi )\geq {\frac {\hbar }{2}}\,\!$
Spridning av observerbara	A = observerbara (egenvärden för operator)	${\begin{aligned}\sigma (A)^{2}&=\langle (A -\langle A\rangle )^{2}\rangle \\&=\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}\end{aligned}}$
Allmän osäkerhetsrelation	A , B = observerbara (egenvärden för operator)	$\sigma (A)\sigma (B)\geq {\frac {1}{2}}\langle i[ {\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle$

Sannolikhetsfördelningar

Egendom eller effekt	Ekvation
Täthet av stater	$N(E)=8{\sqrt {2}}\pi m^{3/2}E^{1/2 }/h^{3}\,\!$
Fermi–Dirac distribution (fermioner)	$P(E_{i})={\frac {g(E_{i})}{e^{( E-\mu )/kT}+1}}$ var P ( E i ) = sannolikhet för energi E i g ( E i ) = degeneration av energi E i (antal tillstånd med samma energi) μ = kemisk potential
Bose–Einstein distribution (bosoner)	$P(E_{i})={\frac {g(E_{i})}{e^{ (E_{i}-\mu )/kT}-1}}$

Vinkelmoment

Huvudartiklar: vinkelmomentoperator och kvantnummer

Egendom eller effekt	Nomenklatur	Ekvation
Vinkelmomentum kvanttal	s = spinnkvanttal m s = spinnmagnetiskt kvanttal ℓ = Azimutalt kvanttal m ℓ = azimutalt magnetiskt kvanttal j = totalt vinkelmoment kvantantal m j = totalt vinkelmoment magnetiskt kvanttal	Spin: ${\begin{aligned}&\Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)}}\,\hbar \\&m_{s}\in \{-s,-s+1\cdots s-1,s\}\\\end{ Justerat}}\,\!$ Orbital: ${\begin{aligned}&\ell \in \{0n-1cdots \}\\&m_{\ell }\in \{-\ell ,-\ell +1\cdots \ell -1,\ell \}\\\end{aligned}}\,\!$ Totalt: ${\begin{aligned}&j=\ell +s\\&m_{j}\in \{|\ell -s|,|\ell -s|+1\cdots |\ell +s|- 1,|\ell +s|\}\\\end{aligned}}\,\!$
Vinkelmomentstorlekar _	vinkelmomenta: S = Spinn, L = orbital, J = totalt	Spinns storlek: $|\mathbf {S} |=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}\,\!$ Orbital magnitud: $|\mathbf {L} |=\hbar {\sqrt {\ell (\ell +1)}}\,\!$ Total magnitud: $\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} \,\!$ $|\mathbf {J} |=\hbar {\sqrt {j(j+1)}}\,\!$
Vinkelmomentkomponenter _		Snurra: $S_{z}=m_{s}\hbar \,\!$ Orbital: $L_{z}=m_{\ell }\hbar \,\!$

Magnetiska ögonblick

I det följande är B ett applicerat externt magnetfält och kvanttalen ovan används.

Egendom eller effekt	Nomenklatur	Ekvation
orbitalt magnetiskt dipolmoment	e = elektronladdning m e = elektronvilomassa L = elektronomloppsrörelsemängd g ℓ = orbital Landé g-faktor μ B = Bohr magneton	${\boldsymbol {\mu }}_{\ell }=-e\mathbf {L} /2m_{e}=g_{\ ell }{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\mathbf {L} \,\!$ z-komponent: $\mu _{\ell ,z}=-m_{\ell }\mu _{B}\,\!$
spin magnetiskt dipolmoment	S = elektronspin vinkelmomentum g s = snurr Landé g-faktor	${\boldsymbol {\mu }}_{s}=-e\mathbf {S} /m_{e}=g_{s}{ \frac {\mu _{B}}{\hbar }}\mathbf {S} \,\!$ z-komponent: $\mu _{s,z}=-eS_{z}/m_{e}=g_ {s}eS_{z}/2m_{e}\,\!$
dipolmomentpotential _	U = potentiell energi för dipolen i fältet	$U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu _{z}B\,\!$

Väteatomen

Huvudartikel: Väteatom

Egendom eller effekt	Nomenklatur	Ekvation
Energinivå	E n = energiegenvärde n = huvudsakligt kvanttal e = elektronladdning m e = elektronvilomassa 0 ε = permittivitet för ledigt utrymme h = Plancks konstant	$E_{n}=-me^{4}/8\varepsilon _{0}^{2}h ^{2}n^{2}=-13.61\,\mathrm {eV} /n^{2}$
Spektrum	λ = våglängden för emitterad foton, under elektronisk övergång från E i till E j	${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{j }^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right),\,n_{j}<n_{i}\,\!$

Se även

• Definiera ekvation (fysikalisk kemi)
• Lista över elektromagnetismekvationer
• Lista över ekvationer i klassisk mekanik
• Lista över ekvationer i strömningsmekanik
• Lista över ekvationer i gravitation
• Ekvationslista inom kärn- och partikelfysik
• Lista över ekvationer i vågteori
• Lista över fotonikekvationer
• Lista över relativistiska ekvationer

Källor

•   PM Whelan; MJ Hodgeson (1978). Essential Principles of Physics (2:a upplagan). John Murray. ISBN 0-7195-3382-1 .
•   G. Woan (2010). Cambridge Handbook of Physics Formulas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2 .
•   A. Halpern (1988). 3000 lösta problem i fysik, Schaum-serien . Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   RG Lerner ; GL Trigg (2005). Encyclopaedia of Physics (2:a uppl.). VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer. s. 12–13. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2:a upplagan). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3 .
•   PA tipper; G. Mosca (2008). Fysik för forskare och ingenjörer: med modern fysik ( 6:e upplagan). WH Freeman och Co. ISBN 978-1-4292-0265-7 .
•   LN Hand; JD Finch (2008). Analytisk mekanik . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0 .
•   TB Arkill; CJ Millar (1974). Mekanik, vibrationer och vågor . John Murray. ISBN 0-7195-2882-8 .
•   HJ Pain (1983). The Physics of Vibrations and Waves (3:e upplagan). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-90182-2 .
•   JR Forshaw; AG Smith (2009). Dynamik och relativitet . Wiley. ISBN 978-0-470-01460-8 .
•   GAG Bennet (1974). Elektricitet och modern fysik (2:a uppl.). Edward Arnold (Storbritannien). ISBN 0-7131-2459-8 .
•   IS Grant; WR Phillips; Manchester Physics (2008). Elektromagnetism (2:a uppl.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9 .
•   DJ Griffiths (2007). Introduktion till elektrodynamik (3:e uppl.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2 .

Vidare läsning

•   LH Greenberg (1978). Fysik med moderna tillämpningar . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0 .
•   JB Marion; WF Hornyak (1984). Fysikens principer . Holt-Saunders International Saunders College. ISBN 4-8337-0195-2 .
•   A. Beiser (1987). Concepts of Modern Physics (4:e upplagan). McGraw-Hill (Internationell). ISBN 0-07-100144-1 .
•   HD Ung; RA Freedman (2008). University Physics – With Modern Physics (12:e upplagan). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 978-0-321-50130-1 .