Lista över ekvationer i vågteori

Den här artikeln sammanfattar ekvationer i teorin om vågor .

Definitioner

Allmänna grundstorheter

Huvudartiklar: Transversal wave och Longitudinal wave

En våg kan vara longitudinell där svängningarna är parallella (eller antiparallella) med utbredningsriktningen, eller tvärgående där svängningarna är vinkelräta mot utbredningsriktningen. Dessa svängningar kännetecknas av en periodiskt tidsvarierande förskjutning i parallell eller vinkelrät riktning, och därför är den momentana hastigheten och accelerationen också periodiska och tidsvarierande i dessa riktningar. (vågens skenbara rörelse på grund av de successiva svängningarna av partiklar eller fält kring deras jämviktspositioner) fortplantar sig vid fas- och grupphastigheterna parallella eller antiparallella med utbredningsriktningen, vilket är gemensamt för longitudinella och tvärgående vågor. Nedan hänvisar oscillerande förskjutning, hastighet och acceleration till kinematik i vågens oscillerande riktningar - transversell eller longitudinell (matematisk beskrivning är identisk), grupp- och fashastigheterna är separata.

Kvantitet (vanligt namn)	(Vanliga) symbol/er	SI-enheter	Dimensionera
Antal vågcykler	N	dimensionslös	dimensionslös
(oscillerande) förskjutning	Symbol för varje storhet som varierar periodiskt, såsom h , x , y (mekaniska vågor), x , s , η (längdvågor) I , V , E , B , H , D (elektromagnetism), u , U (luminala vågor) ), ψ , Ψ , Φ (kvantmekanik). De flesta allmänna ändamål använder y , ψ , Ψ . För allmänhet här används A och kan ersättas med vilken annan symbol som helst, eftersom andra har specifika, vanliga användningsområden. $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!$ för longitudinella vågor, $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!$ för tvärgående vågor.	m	[L]
(Oscillerande) förskjutningsamplitud	0 Vilken kvantitetssymbol som helst tecknad med 0, m eller max, eller den versaler (om förskjutningen var med gemener). Här används för allmänt A och kan ersättas.	m	[L]
(Oscillerande) hastighetsamplitud	0 V , v , vm _ . Här används v . 0	ms −1	[L][T] −1
(Oscillerande) accelerationsamplitud	0 A , a , a m . Här används a . 0	ms −2	[L][T] −2
Rumslig position Position för en punkt i rymden, inte nödvändigtvis en punkt på vågprofilen eller någon utbredningslinje	d , r	m	[L]
0 Vågprofilförskjutning Längs utbredningsriktningen, avstånd (väglängd) av en våg från källpunkten r till valfri punkt i rymden d (för longitudinella eller tvärgående vågor)	L , d , r $\mathbf {r} \equiv r\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\equiv \mathbf {d} -\mathbf {r} _{ 0}\,\!$	m	[L]
Fasvinkel	δ, ε, φ	rad	dimensionslös

Allmänna härledda kvantiteter

Kvantitet (vanligt namn)	(Vanliga) symbol/er	Definiera ekvation	SI-enheter	Dimensionera
Våglängd	λ	Allmän definition (tillåter FM ): $\lambda =\mathrm {d} r/\mathrm {d} N\,\!$ För icke-FM-vågor reduceras detta till: $\lambda =\Delta r/\Delta N\,\!$	m	[L]
Vågnummer, k -vektor, vågvektor	k , σ	Två definitioner används: $\mathbf {k} =\left(2\pi /\lambda \right)\mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!$$\mathbf {k} =\left(1/\lambda \right)\mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!$	m −1	[L] −1
Frekvens	f, v	Allmän definition (tillåter FM ): $f=\mathrm {d} N/\mathrm {d} t\,\!$ För icke-FM-vågor reduceras detta till: $f=\Delta N/\Delta t\,\!$ I praktiken sätts N till 1 cykel och t = T = tidsperiod för 1 cykel, för att erhålla den mer användbara relationen: $f=1/T\,\!$	Hz = s −1	[T] −1
Vinkelfrekvens / pulsatans	ω	$\omega =2\pi f=2\pi /T\,\!$	Hz = s −1	[T] −1
Oscillerande hastighet	v , v t , v	Längsgående vågor: $\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial A/\partial t\right)\, \!$ Tvärvågor: $\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\left(\partial A/\partial t\right )\,\!$	ms −1	[L][T] −1
Oscillerande acceleration	a , ett t	Längsgående vågor: $\mathbf {a} =\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial ^{2}A/\partial t^{2}\höger)\,\!$ Tvärvågor: $\mathbf {a} =\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\left(\partial ^{2}A /\partial t^{2}\right)\,\!$	ms −2	[L][T] −2
Banlängdsskillnad mellan två vågor	L , AL , Ax , AR	$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\,\!$	m	[L]
Fashastighet	v sid	Allmän definition: $\mathbf {v} _{\mathrm {p} }=\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\Delta r /\Delta t\right)\,\!$ I praktiken reduceras till den användbara formen: $\mathbf {v} _{\mathrm {p} }=\lambda f\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }=\left(\omega /k\right)\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!$	ms −1	[L][T] −1
(Längsgående) grupphastighet	v g	$\mathbf {v} _{\mathrm {g} }=\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial \ omega /\partial k\right)\,\!$	ms −1	[L][T] −1
Tidsfördröjning, tidsfördröjning/led	AT _	$\Delta t=t_{2}-t_{1}\,\!$	s	[T]
Fasskillnad	δ , Δε , Δϕ	$\Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}\,\!$	rad	dimensionslös
Fas	Ingen standardsymbol	$\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \mp \omega t+\phi =2\pi N\,\!$ Fysiskt; övre tecken: vågutbredning i + r riktning undre tecken: vågutbredning i − r riktning Fasvinkeln kan släpa om: ϕ > 0 eller bly om: ϕ < 0.	rad	dimensionslös

Relation mellan rum, tid, vinkelanaloger som används för att beskriva fasen:

${\frac {\Delta r}{\lambda }}={\frac {\Delta t}{T}}={\frac {\phi }{2 \pi }}\,\!$

Modulationsindex

Kvantitet (vanligt namn)	(Vanliga) symbol/er	Definiera ekvation	SI-enheter	Dimensionera
AM index :	h , h AM	$h_{AM}=A/A_{m}\,\!$ A = bärvågsamplitud A m = toppamplitud för en komponent i den modulerande signalen	dimensionslös	dimensionslös
FM-index :	h FM	$h_{FM}=\Delta f/f_{m}\,\!$ Δf = max . avvikelse för den momentana frekvensen från bärvågsfrekvensen f m = toppfrekvensen för en komponent i den modulerande signalen	dimensionslös	dimensionslös
PM index :	h PM	$h_{PM}=\Delta \phi \,\!$ Δ ϕ = toppfasavvikelse	dimensionslös	dimensionslös

Akustik

Kvantitet (vanligt namn)	(Vanliga) symbol/er	Definiera ekvation	SI-enheter	Dimensionera
Akustisk impedans	Z	$Z=\rho v\,\!$ v = ljudets hastighet, ρ = volymdensiteten för mediet	kg m −2 s −1	[M] [L] −2 [T] −1
Specifik akustisk impedans	z	$z=ZS\,\!$ S = yta	kg s −1	[M] [T] −1
Ljud nivå	β	$\beta =\left(\mathrm {dB} \right)10\log \left|{\frac {I}{I_{0}}}\right|\,\!$	dimensionslös	dimensionslös

Ekvationer

I det följande är n, m alla heltal ( Z = uppsättning heltal ); $n,m\in \mathbf {Z} \,\!$ .

Stående vågor

Fysisk situation	Nomenklatur	Ekvationer
Harmoniska frekvenser	f n = n:e vibrationssättet, n:te övertonen, (n-1):e övertonen	$f_{n}={\frac {v}{\lambda _{n}}}={\frac {nv}{2L}}= nf_{1}\,\!$

Utbreder sig vågor

Ljudvågor

Fysisk situation	Nomenklatur	Ekvationer
Genomsnittlig vågkraft	0 P = Ljudeffekt på grund av källan	$\langle P\rangle =\mu v\omega ^{2}x_{m}^{2}/2\,\!$
Ljudintensitet	Ω = Helvinkel	$I=P_{0}/(\Omega r^{2})\,\!$ $I=P/A=\rho v\omega ^{2}s_{m}^{2}/2\,\!$
Akustisk taktfrekvens	f 1 , f 2 = frekvenser för två vågor (nästan lika amplituder)	$f_{\mathrm {beat} }=\left|f_{2}-f_{1}\right|\,\!$
Dopplereffekt för mekaniska vågor	V = ljudvågens hastighet i medium f 0 = Källfrekvens f r = Mottagarfrekvens v 0 = Källhastighet v r = Mottagarens hastighet	$f_{r}=f_{0}{\frac {V\pm v_{r}}{V\mp v_{0}}}\,\!$ övre tecknen indikerar relativ ansats, nedre tecknen indikerar relativ lågkonjunktur.
Mach konvinkel (Supersonic shockwave, sonic boom)	v = kroppens hastighet v s = lokal ljudhastighet θ = vinkeln mellan färdriktningen och koniska enveloppen för överlagrade vågfronter	$\sin \theta ={\frac {v}{v_{s}}}\,\!$
Akustiskt tryck och förskjutningsamplituder	0 p = tryckamplitud 0 s = förskjutningsamplitud v = ljudets hastighet ρ = lokal densitet av medium	$p_{0}=\left(v\rho \omega \right)s_{0}\,\!$
Vågfunktioner för ljud		Akustiska beats $s=\left[2s_{0}\cos \left(\omega 't\right)\right]\cos \left (\omega t\right)\,\!$ Ljudförskjutningsfunktion $s=s_{0}\cos(kr-\omega t)\,\!$ Ljudtrycksvariation $p=p_{0}\sin(kr-\omega t)\,\!$

Gravitationsvågor

Huvudartikel: Gravitationsvåg § Källor till gravitationsvågor

Gravitationsstrålning för två kretsande kroppar i låghastighetsgränsen.

Fysisk situation	Nomenklatur	Ekvationer
Utstrålade kraft	P = Strålad effekt från systemet, t = tid, r = separation mellan masscentra m 1 , m 2 = massorna av de kretsande kropparna	$P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm { d} t}}=-{\frac {32}{5}}\,{\frac {G^{4}}{c^{5}}}\,{\frac {(m_{1}m_{ 2})^{2}(m_{1}+m_{2})}{r^{5}}}$
Orbital radie sönderfall		${\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}} =-{\frac {64}{5}}{\frac {G^{3}}{c^{5}}}{\frac {(m_{1}m_{2})(m_{1}+ m_{2})}{r^{3}}}\$
Orbital livstid	0 r = initialt avstånd mellan de kretsande kropparna	$t={\frac {5}{256}}{\frac {c^{5}}{G ^{3}}}{\frac {r_{0}^{4}}{(m_{1}m_{2})(m_{1}+m_{2})}}\$

Superposition, interferens och diffraktion

Fysisk situation	Nomenklatur	Ekvationer
Principen för superposition	N = antal vågor	$y_{\mathrm {net} }=\summa _{i=1}^{N}y_{i}\,\!$
Resonans	ω d = drivande vinkelfrekvens (extern agent) ω nat = naturlig vinkelfrekvens (oscillator)	$\omega _{d}=\omega _{\mathrm {nat} }\,\!$
Fas och störningar	Δ r = väglängdsskillnad φ = fasskillnad mellan två på varandra följande vågcykler	${\frac {\Delta r}{\lambda }}={\frac {\Delta t}{T}}={\frac {\phi }{2 \pi }}\,\!$ Konstruktiv interferens $n={\frac {\lambda }{\Delta x}}\,\!$ Destruktiv interferens $n+{\frac {1}{2}}={\frac {\lambda }{\Delta x}}\,\!$

Vågutbredning

En vanlig missuppfattning uppstår mellan fashastighet och grupphastighet (analogt med masscentrum och tyngdpunkt). De råkar vara lika i icke-spridande media. I dispersiva medier är fashastigheten inte nödvändigtvis densamma som grupphastigheten. Fashastigheten varierar med frekvensen.

Fashastigheten är den hastighet med vilken fasen av vågen fortplantar sig i rymden .

Grupphastigheten är den hastighet med vilken vågenveloppen, dvs förändringarna i amplitud, fortplantar sig . Vågomslaget är profilen för vågamplituderna; alla tvärgående förskjutningar är bundna av kuvertprofilen.

Intuitivt är våghöljet vågens "globala profil", som "innehåller" ändrande "lokala profiler inuti den globala profilen". Var och en fortplantar sig med generellt olika hastigheter som bestäms av den viktiga funktion som kallas spridningsrelationen . Användningen av den explicita formen ω ( k ) är standard, eftersom fashastigheten ω / k och grupphastigheten d ω /dk vanligtvis har lämpliga representationer av denna funktion.

Fysisk situation	Nomenklatur	Ekvationer
Idealiserade icke-spridande media	p = (alla typer av) Stress eller tryck, ρ = Volym Mass Density, F = Spännkraft, μ = linjär massdensitet för medium	$v={\sqrt {\frac {p}{\rho }}}={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}\,\!$
Spridningsförhållande		Implicit form $D\left(\omega ,k\right)=0$ Explicit form $\omega =\omega \left(k\right)$
Amplitudmodulering , AM		$A=A\left(t\right)$
Frekvensmodulering , FM		$f=f\left(t\right)$

Allmänna vågfunktioner

Vågeekvationer

Fysisk situation	Nomenklatur	Våg ekvation	Allmän lösning/er
Icke-dispersiv vågekvation i 3d	A = amplitud som funktion av position och tid	$\nabla ^{2}A={\frac {1}{v_{\parallel }^{2}}}{\frac {\partial ^ {2}A}{\partial t^{2}}}\,\!$	$A\left(\mathbf {r} ,t\right)=A\left(x-v_{\parallel }t\right)\, \!$
Exponentiellt dämpad vågform	0 A = Initial amplitud vid tidpunkten t = 0 b = dämpningsparameter		$A=A_{0}e^{-bt}\sin \left(kx-\omega t+\phi \right)\, \!$
Korteweg–de Vries ekvation	α = konstant	${\frac {\partial y}{\partial t}}+\alpha y{\frac {\partial y}{\ partiell x}}+{\frac {\partial ^{3}y}{\partial x^{3}}}=0\,\!$	$A(x,t)={\frac {3v_{\parallel }}{\ alpha }}\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v_{\parallel }}}{2}}\left(x-v_{\parallel}t\right)\right] \,\!$

Sinusformade lösningar till 3d-vågsekvationen

N olika sinusformade vågor

Komplex amplitud för våg n $A_{n}=\left|A_{n}\right|e^{i\left(\mathbf {k} _{\mathrm { n} }\cdot \mathbf {r} -\omega _{n}t+\phi _{n}\right)}\,\!$

Resulterande komplex amplitud för alla N vågor $A=\summa _{n=1}^{N}A_{n}\,\!$

Amplitudmodul $A={\sqrt {AA^{*}}}={\sqrt {\sum _{n=1}^{N}\summa _{m=1}^{N}\left |A_{n}\right|\left|A_{m}\right|\cos \left[\left(\mathbf {k} _{n}-\mathbf {k} _{m}\right)\cdot \mathbf {r} +\left(\omega _{n}-\omega _{m}\right)t+\left(\phi _{n}-\phi _{m}\right)\right]}} \,\!$

De tvärgående förskjutningarna är helt enkelt de verkliga delarna av de komplexa amplituderna.

1-dimensionella följder för två sinusformade vågor

Följande kan härledas genom att tillämpa principen om superposition på två sinusformade vågor, med hjälp av trigonometriska identiteter. Vinkeladditionen och summa-till-produkt trigonometriska formler är användbara ; i mer avancerat arbete används komplexa tal och fourierserier och transformationer.

Vågfunktion	Nomenklatur	Superposition	Resulterande
Stående våg		${\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=A\sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t\right)\end{aligned}}\,\!$	$y=2A\sin \left(kx\right)\cos \left(\omega t\right)\,\!$
Takter	$\langle \omega \rangle ={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\,\!$ $\langle k\rangle ={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}\,\!$ $\Delta \omega =\omega _{1}-\omega _{2}\,\!$ $\Delta k=k_{1}-k_{2}\,\!$	${\begin{aligned}y_{1}+y_{2}& =A\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)\\&+A\sin \left(k_{2}x+\omega _{2}t\right)\end {Justerat}}\,\!$	$y=2A\sin \left(\langle k\rangle x-\langle \omega \rangle t\right)\cos \left({\frac {\Delta k}{2}}x-{\frac {\Delta \omega }{2}}t\right)\,\!$
Koherent interferens		${\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&= 2A\sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t+\phi \right)\end{aligned}}\,\!$	$y=2A\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)\sin \ vänster(kx-\omega t+{\frac {\phi }{2}}\höger)\,\!$

Se även

• Definiera ekvation (fysikalisk kemi)
• Lista över ekvationer i klassisk mekanik
• Lista över ekvationer i strömningsmekanik
• Lista över ekvationer i gravitation
• Ekvationslista inom kärn- och partikelfysik
• Ekvationslista inom kvantmekaniken
• Lista över fotonikekvationer
• Lista över relativistiska ekvationer
• SI elektromagnetism enheter
• Våg ekvation
• Enkelriktad vågekvation

Källor

•   PM Whelan; MJ Hodgeson (1978). Essential Principles of Physics (2:a upplagan). John Murray. ISBN 0-7195-3382-1 .
•   G. Woan (2010). Cambridge Handbook of Physics Formulas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2 .
•   A. Halpern (1988). 3000 lösta problem i fysik, Schaum-serien . Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   RG Lerner; GL Trigg (2005). Encyclopaedia of Physics (2:a uppl.). VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer. s. 12–13. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2:a upplagan). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3 .
•   PA tipper; G. Mosca (2008). Fysik för forskare och ingenjörer: med modern fysik ( 6:e upplagan). WH Freeman och Co. ISBN 978-1-4292-0265-7 .
•   LN Hand; JD Finch (2008). Analytisk mekanik . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0 .
•   TB Arkill; CJ Millar (1974). Mekanik, vibrationer och vågor . John Murray. ISBN 0-7195-2882-8 .
•   HJ Pain (1983). The Physics of Vibrations and Waves (3:e upplagan). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-90182-2 .
•   JR Forshaw; AG Smith (2009). Dynamik och relativitet . Wiley. ISBN 978-0-470-01460-8 .
•   GAG Bennet (1974). Elektricitet och modern fysik (2:a uppl.). Edward Arnold (Storbritannien). ISBN 0-7131-2459-8 .
•   IS Grant; WR Phillips; Manchester Physics (2008). Elektromagnetism (2:a uppl.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9 .
•   DJ Griffiths (2007). Introduktion till elektrodynamik (3:e uppl.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2 .

Vidare läsning

•   LH Greenberg (1978). Fysik med moderna tillämpningar . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN 0-7216-4247-0 .
•   JB Marion; WF Hornyak (1984). Fysikens principer . Holt-Saunders International Saunders College. ISBN 4-8337-0195-2 .
•   A. Beiser (1987). Concepts of Modern Physics (4:e upplagan). McGraw-Hill (Internationell). ISBN 0-07-100144-1 .
•   HD Ung; RA Freedman (2008). University Physics – With Modern Physics (12:e upplagan). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 978-0-321-50130-1 .