Landé g -faktor

Inom fysiken är Landé orbital g -faktor ett särskilt exempel på en g -faktor , nämligen för en elektron med både spinn och vinkelmoment . Den är uppkallad efter Alfred Landé , som först beskrev den 1921.

Inom atomfysik är Landé g -faktor en multiplikativ term som förekommer i uttrycket för energinivåerna hos en atom i ett svagt magnetfält . Kvanttillstånden för elektroner i atomära orbitaler är normalt degenererade i energi , med dessa degenererade tillstånd som alla delar samma rörelsemängd . När atomen placeras i ett svagt magnetfält lyfts dock degenerationen.

Beskrivning

Faktorn uppstår under beräkningen av första ordningens störning i en atoms energi när ett svagt enhetligt magnetfält (det vill säga svagt i jämförelse med systemets interna magnetfält) appliceras på systemet. Formellt kan vi skriva faktorn som,

g_{J}=g_{L}{\frac {J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}}+g_{S }{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.

Orbitalen $g_{L}$ är lika med 1, och under approximationen $g_{S}=2$ förenklar uttrycket ovan till

g_{J}(g_{L}=1,g_{S}=2)=1+{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)} {2J(J+1)}}.

Här är J den totala elektroniska rörelsemängden , L är den orbitala rörelsemängden och S är rörelsemängden . Eftersom $}$ för elektroner ser man ofta denna formel skriven med 3/4 istället för ${\displaystyle S(S+1)$ . Storheterna g _L och g _S är andra g -faktorer för en elektron. Du bör notera att för en $S=0$ -atom, $g_{J}=1$ och för en $L=0$ -atom, $g_{J}=2$ .

Om vi vill veta g -faktorn för en atom med totalt atomärt rörelsemängd ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J} }} (kärna +$ ${\displaystyle F=J+I,J+I-1,\dots ,|JI|} ,$ ), så att det totala atommängdmängdskvantumtalet kan ta värdena vilket ger

{ \begin{aligned}g_{F}&=g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}+ g_{I}{\frac {\mu _{\text{N}}}{\mu _{\text{B}}}}{\frac {F(F+1)+I(I+1)- J(J+1)}{2F(F+1)}}\\&\approx g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)} {2F(F+1)}}\end{aligned}}

Här är $\mu _{\text{B}}$ Bohr-magneten och $\mu _{\text{N}}$ är kärnmagneten . Denna sista approximation är motiverad eftersom $\mu _{N}$ är mindre än $\mu _{B}$ av förhållandet mellan elektronmassan och protonmassan.

En härledning

Följande arbete är en vanlig härledning.

Både orbital vinkelmomentum och spin vinkelmoment för elektroner bidrar till det magnetiska momentet. I synnerhet bidrar var och en av dem ensam till det magnetiska momentet genom följande form

{\vec {\mu }}_{L}=-{\vec {L}}g_{L}\mu _{\rm {B} }/\hbar

{\vec {\mu }}_{S}=-{\vec {S}}g_{S}\mu _{ \rm {B}}/\hbar

{\vec {\mu }}_{J}={\vec {\mu }}_{L}+ {\vec {\mu }}_{S}

var

g_{L}=1

g_{S}\approx 2

Observera att negativa tecken i uttrycken ovan beror på att en elektron bär negativ laddning, och värdet av $g_{S}$ kan härledas naturligt från Diracs ekvation . Det totala magnetiska momentet ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}},$ som en vektoroperator, ligger inte på riktningen för det totala vinkelmomentet ${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}} ,$ eftersom g-faktorerna för orbital och spindel är olika. Men på grund av Wigner-Eckart-satsen ligger dess förväntade värde i praktiken på riktningen av ${\vec {J}}$ som kan användas vid bestämning av g -faktorn enligt vinkelreglerna momentum koppling . I synnerhet definieras g -faktorn som en konsekvens av själva satsen

\langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle =-g_{J}\mu _ {\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle

Därför,

\langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{ z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J} }|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle

\sum _{J'_{z}}\langle J,J_{z}|{\vec {\mu}}_{J}|J,J'_{z}\ rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-\summa _{J'_{z}}g_{J}\mu _ {\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle

\langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}\cdot {\vec {J }}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J }}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\quad \hbar ^{2}J(J+1)

Man får

{\begin{aligned}g_{J}\langle J,J_{z}|{\vec {J }}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle &=\langle J,J_{z}|g_{L}{{\vec {L}}\cdot {\vec {J }}}+g_{S}{{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}|J,J_{z}\rangle \\&=\langle J,J_{z}|g_{ L}{({\vec {L}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2} -{\vec {S}}^{2}))}+g_{S}{({\vec {S}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J }}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}|J,J_{z}\rangle \\&={\frac { g_{L}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)+L(L+1)-S(S+1))+{\frac {g_{S}\hbar ^{ 2}}{2}}(J(J+1)-L(L+1)+S(S+1))\\g_{J}&=g_{L}{\frac {J(J+1) )+L(L+1)-S(S+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S( S+1)}{2J(J+1)}}\end{aligned}}

Se även

^ Landé, Alfred (1921). "Öber den anomalen Zeemaneffekt". Zeitschrift für Physik . 5 (4): 231. Bibcode : 1921ZPhy....5..231L . doi : 10.1007/BF01335014 .
^ Nave, CR (25 januari 1999). "Magnetiska interaktioner och Landes g-faktor" . Hyperfysik . Georgia State University . Hämtad 14 oktober 2014 .
^ Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Fasta tillståndets fysik . Saunders College. ISBN 9780030493461 .
^ Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009). Modern atom- och kärnfysik (reviderad utg.). World Scientific. sid. 132. ISBN 9789814277167 .

[1] Landé, Alfred (1921). "Öber den anomalen Zeemaneffekt". Zeitschrift für Physik . 5 (4): 231. Bibcode : 1921ZPhy....5..231L . doi : 10.1007/BF01335014 .

[2] Nave, CR (25 januari 1999). "Magnetiska interaktioner och Landes g-faktor" . Hyperfysik . Georgia State University . Hämtad 14 oktober 2014 .

[3] Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Fasta tillståndets fysik . Saunders College. ISBN 9780030493461 .

[4] Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009). Modern atom- och kärnfysik (reviderad utg.). World Scientific. sid. 132. ISBN 9789814277167 .