Hermite konstant

Inom matematiken bestämmer Hermite -konstanten , uppkallad efter Charles Hermite , hur kort ett element av ett gitter i den euklidiska rymden kan vara.

Konstanten γ _n för heltal n > 0 definieras enligt följande. För ett gitter L i det euklidiska rummet R ⁿ med enhet kovolym, dvs vol( R ⁿ / L ) = 1, låt λ ₁ ( L ) beteckna den minsta längden av ett element som inte är noll i L . Då √ γ _n maximum av λ ₁ ( L ) över alla sådana gitter L .

Kvadratroten i definitionen av eremitkonstanten är en fråga om historisk konvention .

Alternativt kan Hermite-konstanten γ _n definieras som kvadraten på den maximala systolen för en platt n -dimensionell torus med enhetsvolym.

Exempel

Hermitkonstanten är känd i dimensionerna 1–8 och 24.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	24
$\gamma _{n}^{n}$	$1$	${\frac {4}{3}}$	$2$	$4$	$8$	${\frac {64}{3}}$	$64$	$2^{8}$	$4^{24}$

För n = 2 har man γ ₂ = 2 / √ 3 . Detta värde uppnås av det hexagonala gittret av Eisenstein-heltalen .

Uppskattningar

Det är känt att

$\gamma _{n}\leq \left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {n-1}{2}}.$

En starkare uppskattning på grund av Hans Frederick Blichfeldt är

$\gamma _{n}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)\Gamma \left( 2+{\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{n}},$

där $\Gamma (x)$ är gammafunktionen .

Se även

• Loewners torus ojämlikhet

•   Cassels, JWS (1997). En introduktion till talens geometri . Classics in Mathematics (Reprint of 1971 ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61788-4 .
•    Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmetik av kvadratiska former . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4 . Zbl 0785.11021 .
•    Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diofantiska approximationer och diofantiska ekvationer . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 1467 (2:a uppl.). Springer-Verlag . sid. 9. ISBN 3-540-54058-X . Zbl 0754.11020 .