Systolisk frihet

I differentialgeometri hänvisar systolisk frihet till det faktum att slutna Riemannska grenrör kan ha godtyckligt liten volym oavsett deras systoliska invarianter. Det vill säga, systoliska invarianter eller produkter av systoliska invarianter ger i allmänhet inte universella (dvs krökningsfria) nedre gränser för den totala volymen av ett slutet Riemann-grenrör.

Systolisk frihet upptäcktes först av Mikhail Gromov i en IHÉ.S. preprint 1992 (som så småningom dök upp som Gromov 1996 ), och utvecklades vidare av Mikhail Katz , Michael Freedman och andra. Gromovs observation utvecklades av Marcel Berger ( 1993 ). En av de första publikationerna som studerade systolisk frihet i detalj är av Katz (1995) .

Systolisk frihet har tillämpningar inom kvantfelskorrigering . Croke & Katz (2003) kartlägger de viktigaste resultaten om systolisk frihet.

Exempel

Det komplexa projektiva planet tillåter riemannska mått med godtyckligt liten volym, så att varje väsentlig yta har en area på minst 1. Här kallas en yta "väsentlig" om den inte kan dras samman till en punkt i det omgivande 4-grenröret.

Systolisk begränsning

Motsatsen till systolisk frihet är systolisk begränsning, kännetecknad av närvaron av systoliska ojämlikheter såsom Gromovs systoliska ojämlikhet för väsentliga grenrör .

• Berger, Marcel (1993), "Systoles et applications selon Gromov", Séminaire Bourbaki (på franska), 1992/93 . Astérisque 216, Exp. nr 771, 5, 279–310.
• Croke, Christopher B.; Katz, Mikhail (2003), "Universal volym bounds in Riemannian manifolds", Surveys in differential geometry, VIII (Boston, MA, 2002) , Somerville, MA: Int. Press, s. 109–137 .
• Freedman, Michael H. (1999), " Z ₂ -systolic-freedom", Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998) , Geom. Topol. Monogr., vol. 2, Coventry: Geom. Topol. Publ., s. 113–123 .
• Freedman, Michael H. ; Meyer, David A.; Luo, Feng (2002), " Z ₂ -systolic freedom and quantum codes", Mathematics of quantum computation , Comput. Matematik. Ser., Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, s. 287–320 .
• Freedman, Michael H. ; Meyer, David A. (2001), Projective plane and planar quantum codesjournal=Found. Comput. Matematik. vol. 1, s. 325–332 .
• Gromov, Mikhail (1996), "Systoles and intersystolic inequalities", Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) , Sémin. Congr., vol. 1, Paris: Soc. Matematik. Frankrike, s. 291–362 .
•   Katz, Mikhail (1995), "Motexempel till isosystoliska ojämlikheter", Geom. Dedicata , 57 (2): 195–206, doi : 10.1007/bf01264937 , S2CID 11211702 .