Gromovs systoliska ojämlikhet för väsentliga grenrör

Inom det matematiska området för Riemannsk geometri begränsar M. Gromovs systoliska ojämlikhet längden av den kortaste icke-sammandragbara slingan på ett Riemann-grenrör i termer av grenrörets volym. Gromovs systoliska ojämlikhet bevisades 1983; det kan ses som en generalisering, om än icke-optimal, av Loewners torusojämlikhet och Pus ojämlikhet för det verkliga projektiva planet .

Tekniskt sett, låt M vara ett väsentligt Riemannmanifold med dimension n ; beteckna med sys π ₁ ( M ) homotopin 1-systole av M , det vill säga den minsta längden av en icke-sammandragbar slinga på M . Sedan tar Gromovs ojämlikhet formen

$\left(\operatörsnamn {sys\pi } _{1}(M)\right)^{n}\leq C_{n}\operatörsnamn {vol} (M),$

där C _n är en universell konstant endast beroende på dimensionen av M .

Viktiga grenrör

Huvudartikel: väsentligt grenrör

En sluten mångfald kallas väsentlig om dess grundläggande klass definierar ett element som inte är noll i homologin för sin fundamentala grupp , eller mer exakt i homologin för motsvarande Eilenberg-MacLane-utrymme . Här tas den fundamentala klassen i homologi med heltalskoefficienter om grenröret är orienterbart, och i koefficienter modulo 2, annars.

Exempel på väsentliga grenrör inkluderar asfäriska grenrör , verkliga projektiva utrymmen och linsutrymmen .

Bevis på Gromovs ojämlikhet

Gromovs originalbevis från 1983 är cirka 35 sidor långt. Den förlitar sig på ett antal tekniker och ojämlikheter i den globala riemannska geometrin. Utgångspunkten för beviset är inbäddningen av X i Banach-utrymmet för Borel-funktioner på X, utrustad med sup-normen. Inbäddningen definieras genom att avbilda en punkt p av X , till den verkliga funktionen på X som ges av avståndet från punkten p . Beviset använder coareaojämlikheten , den isoperimetriska ojämlikheten , konolikheten och deformationssatsen av Herbert Federer .

Fylla invarianter och senaste arbete

En av nyckelidéerna med beviset är introduktionen av fyllningsinvarianter, nämligen fyllningsradien och fyllnadsvolymen för X . Gromov visade nämligen en skarp ojämlikhet när det gäller systolen och fyllningsradien,

$\mathrm {sys\pi } _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (X),$

giltig för alla väsentliga grenrör X ; samt en ojämlikhet

$\mathrm {FillRad} (X)\leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{ }^{\tfrac {1}{n}}(X),$

giltig för alla slutna grenrör X .

Det visades av Brunnbauer (2008) att fyllnadsinvarianterna, till skillnad från de systoliska invarianterna, är oberoende av grenrörets topologi i lämplig mening.

Guth (2011) och Ambrosio & Katz (2011) utvecklade metoder för att bevisa Gromovs systoliska ojämlikhet för väsentliga grenrör.

Ojämlikheter för ytor och polyedrar

Starkare resultat är tillgängliga för ytor, där asymptotikerna när släktet tenderar till oändligheten vid det här laget är väl förstått, se systoler av ytor . En enhetlig ojämlikhet för godtyckliga 2-komplex med icke-fria fundamentala grupper är tillgänglig, vars bevis förlitar sig på Grushkos nedbrytningssats .

Se även

• Fyllningsområde gissningar
• Gromovs ojämlikhet (disambiguation)
• Gromovs ojämlikhet för komplext projektivt rum
• Loewners torus ojämlikhet
• Pus ojämlikhet
• Systolisk geometri

• Ambrosio, Luigi ; Katz, Mikhail (2011), "Flat strömmar modulo p in metric spaces and filling radius inequalities", Commentarii Mathematici Helvetici , 86 ( 3): 557–592, arXiv : 1004.1374 , doi : 10.4171/CMH 3/8271/CMH 3/82 2/CMH , 3/82 2 /CMH   .
• Brunnbauer, M. (2008), "Fyllning av ojämlikheter beror inte på topologi", J. Reine Angew. Matematik. , 624 : 217-231
•     Gromov, M. (1983), "Filling Riemannian manifolds", J. Diff. Geom. , 18 : 1–147, MR 0697984 , Zbl 0515.53037 , PE euclid.jdg/1214509283
•   Guth, Larry (2011), "Volumes of balls in large Riemannian manifolds", Annals of Mathematics , 173 (1): 51–76, arXiv : math /0610212 , doi : 10.4007/annals.2011.253.9 MR .253.9
•   Katz, Mikhail G. (2007), Systolisk geometri och topologi , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 137, Providence, RI: American Mathematical Society , sid. 19, ISBN 978-0-8218-4177-8