Kvadratroten ur 7

Kvadratroten ur 7
Rationalitet	Irrationell
Framställningar
Decimal	2,64575 13110 64590 590..._10
Algebraisk form
Fortsatt bråkdel
Binär	10.1010 0101 0100 1111 1111..._2
Hexadecimal	2.A54F F53A 5F1D..._16

Rektangeln som avgränsar en liksidig triangel på sida 2, eller en regelbunden hexagon på sida 1, har storleken kvadratroten av 3 med kvadratroten av 4 , med kvadratrotens diagonal av 7.

En Logarex-system Darmstadt skjutregel med 7 och 6 på A- och B-skalor, och kvadratrötter från 6 och av 7 på C- och D-skalor, som kan avläsas som något mindre än 2,45 respektive något mer än 2,64

Kvadratroten ur 7 är det positiva reella talet som, multiplicerat med sig självt, ger primtalet 7 . Det kallas mer exakt den huvudsakliga kvadratroten ur 7 , för att skilja det från det negativa talet med samma egenskap. Detta nummer förekommer i olika geometriska och talteoretiska sammanhang. Det kan betecknas i surdform som:

{\sqrt {7}}\,,

och i exponentform som:

7^{\frac {1}{2}}.

Det är ett irrationellt algebraiskt tal . De första sextio signifikanta siffrorna i dess decimalexpansion är:

2,64575 13110 64590 59050 16157 53639 26042 57102 59183 08245 01803 6833... .

som kan avrundas uppåt till 2,646 till cirka 99,99 % noggrannhet (cirka 1 del på 10 000); det vill säga det skiljer sig från det korrekta värdet med cirka 1/4 000 . Uppskattningen 127 / 48 (≈ 2,645833...) är bättre: trots att den har en nämnare på endast 48, skiljer den sig från det korrekta värdet med mindre än 1 / 12 000 , eller mindre än en del av 33 000.

Mer än en miljon decimalsiffror av kvadratroten ur sju har publicerats.

Rationella uppskattningar

Förklaring av hur man extraherar kvadratroten från 7 till 7 platser och mer, från Hawney, 1797

Extraktion av decimalbråk-approximationer till kvadratrötter med olika metoder har använt kvadratroten ur 7 som exempel eller övning i läroböcker, i hundratals år. Olika antal siffror efter decimaltecknet visas: 5 år 1773 och 1852, 3 år 1835, 6 år 1808 och 7 år 1797. En extraktion med Newtons metod ( ungefär) illustrerades 1922, varvid man kom fram till att det är 2. närmaste tusendel".

För en familj med bra rationella approximationer kan kvadratroten ur 7 uttryckas som den fortsatta bråkdelen

{\displaystyle [2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac { 1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}}}}}.} (

sekvens A010121 i OEIS )

De successiva partiella utvärderingarna av den fortsatta fraktionen, som kallas dess konvergenter , närmar sig ${\sqrt {7}}$ :

{\frac {2}{1}},{\frac { }{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {37}{14}},{\frac {45}{17}}, {\frac {82}{31}},{\frac {127}{48}},{\frac {590}{223}},{\frac {717}{271}},\dots

Deras täljare är 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257...(sekvens A041008, deras nämnare, OE 1 är nämnaren , OE , 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192,...(sekvens A041009 i OEIS ) .

Varje konvergent är en bästa rationella approximation av ${\sqrt {7}}$ ; med andra ord, det är närmare ${\sqrt {7}}$ än någon rationell med en mindre nämnare. Ungefärliga decimalekvivalenter förbättras linjärt (antal siffror proportionellt mot konvergent tal) med en hastighet av mindre än en siffra per steg:

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {3}{1}}=3.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5, \quad {\frac {8}{3}}=2.66\dots ,\quad {\frac {37}{14}}=2.6429...,\quad {\frac {45}{17}}=2.64705. ..,\quad {\frac {82}{31}}=2.64516...,\quad {\frac {127}{48}}=2.645833...,\quad \ldots

Var fjärde konvergent, som börjar med $8 / 3$ , uttryckt som $x / y$ , uppfyller Pells ekvation

x^{2}-7y^{2}=1.

När ${\sqrt {7}}$ approximeras med den $x n +1 = 1/2, babyloniska (x n + 7 / x n)$ metoden börjar med $x 1 = 3$ och använder , den $n$ :te approximanten $x n$ är lika med den $2 n$ :e konvergenten av den fortsatta fraktionen:

x_{1}=3,\quad x_{2}={\frac {8}{3}}=2.66...,\quad x_{3}={\frac {127}{48}} =2.6458...,\quad x_{4}={\frac {32257}{12192}}=2.645751312...,\quad x_{5}={\frac {2081028097}{786554688}}=2.645754519.. .,\quad \dots

Alla utom den första av dessa uppfyller Pells ekvation ovan.

Den babyloniska metoden är likvärdig med Newtons metod för rotfynd tillämpad på polynomet $x^{2}-7$ . Newtons metoduppdatering, $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f '(x_{n}),$ är lika med $(x_{n}+7/x_{n})/2$ när $f(x)=x^{2}-7$ . Metoden konvergerar därför kvadratiskt (antal exakta decimalsiffror proportionellt mot kvadraten på antalet Newton- eller babyloniska steg).

Geometri

Rotrektanglar illustrerar en konstruktion av kvadratroten ur 7 (diagonalen av rot-6-rektangeln).

I plan geometri kan kvadratroten av 7 konstrueras via en sekvens av dynamiska rektanglar , det vill säga som den största diagonalen av de rektanglar som illustreras här.

Den minimala omslutande rektangeln i en liksidig triangel med kantlängd 2 har en diagonal av kvadratroten av 7.

Utanför matematik

Skanna av US-dollarsedlar omvänd med rot 7 rektangelanteckning

På baksidan av den nuvarande amerikanska endollarsedeln har den "stora innerlådan" ett förhållande mellan längd och bredd av kvadratroten av 7, och en diagonal på 6,0 tum, för att uppnå mätnoggrannhet.

Se även

Irrationella siffror
Chaitins ( $Ω$ ) Liouville Prime ( $ρ$ ) Omega Cahen Logaritm av 2 Gauss ( $G$ ) Tolfte roten av 2 Apéry's ( $ζ (3)$ ) Plast ( $ρ$ ) Kvadratroten ur 2 Supergolden ratio ( $ψ$ ) Erdős–Borwein ( $E$ ) Gyllene snittet ( $φ$ ) Kvadratroten ur 3 Kvadratroten ur 5 Silverförhållande ( $δ S$ ) Kvadratroten ur 6 Kvadratroten ur 7 Eulers ( $e$ ) Pi ( $π$ )
Schizofren Transcendental Trigonometrisk