Loewners torus ojämlikhet

Charles Loewner 1963

I differentialgeometri är Loewners torusojämlikhet en ojämlikhet som beror på Charles Loewner . Den relaterar systolen och arean av ett godtyckligt Riemann-mått på 2-torus .

Påstående

Kortaste öglan på en torus

1949 bevisade Charles Loewner att varje måttenhet på 2- torus $\mathbb {T} ^{2}$ uppfyller den optimala ojämlikheten

$\operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatörsnamn {area} (\mathbb {T } ^{2}),$

där "sys" är dess systole , dvs minsta längd av en icke-sammandragbar slinga. Konstanten som visas på höger sida är Hermite-konstanten $\gamma _{2}$ i dimension 2, så att Loewners torusolikhet kan skrivas om som

$\operatörsnamn {sys} ^{2}\leq \gamma _{2}\;\operatörsnamn {område} (\mathbb {T} ^{2}).$

Ojämlikheten nämndes första gången i litteraturen i Pu (1952) .

Fall av jämställdhet

Gränsfallet för jämlikhet uppnås om och endast om metriken är platt och homotetisk med den så kallade liksidiga torusen , dvs. torus vars grupp av däckstransformationer är just det hexagonala gittret som sträcks av kubrötter av enhet i $\ mathbb {C}$ .

Alternativ formulering

Givet ett dubbelt periodiskt mått på $\mathbb {R} ^{2}$ (t.ex. en inbäddning i $\mathbb {R} ^{3}$ som är invariant med en ${\ displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ isometrisk åtgärd), det finns ett element som inte är noll $g\in \mathbb {Z} ^{2}$ och en punkt $p\in \mathbb {R} ^{2}$ så att ${\textstyle \operatorname {dist} (p,gp)^{2} \leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatörsnamn {area} (F)} ,$ där $F$ är en grundläggande domän för åtgärden, medan $\operatorname {dist }$ är det Riemannska avståndet, nämligen minsta längden på en väg som förenar $p$ och $gp$ .

Bevis på Loewners torusojämlikhet

Loewners torusojämlikhet kan enklast bevisas genom att använda beräkningsformeln för variansen,

$\operatörsnamn {E} (X^{2})-(\operatörsnamn {E} (X))^{2}=\mathrm {var} (X).$

Formeln tillämpas nämligen på sannolikhetsmåttet som definieras av måttet på enhetens area flat torus i den konforma klassen för den givna torusen. För den slumpmässiga variabeln X tar man konformfaktorn för det givna måttet med avseende på den platta. Sedan uttrycker det förväntade värdet E( X ² ) för X ^{2 den totala arean för det givna måttet.} Samtidigt kan det förväntade värdet E( X ) av X relateras till systolen genom att använda Fubinis sats . Variansen av X kan då betraktas som den isosystoliska defekten, analogt med den isoperimetriska defekten av Bonnesens ojämlikhet . Detta tillvägagångssätt ger därför följande version av Loewners torusolikhet med isosystolisk defekt:

$\mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}(\mathrm {sys} )^{2}\geq \mathrm {var} (f),$

där ƒ är den konforma faktorn för metriken med avseende på en enhetsarea platt metrik i dess konforma klass.

Högre släkte

Oavsett om ojämlikheten

$(\mathrm {sys} )^{2}\leq \gamma _{2}\,\mathrm {area}$

är tillfredsställt av alla ytor av icke-positiva Euler-egenskaper är okänd. För orienterbara ytor av släktet 2 och släktet 20 och uppåt är svaret jakande, se arbete av Katz och Sabourau nedan.

Se även

• Pu:s ojämlikhet för det verkliga projektiva planet
• Gromovs systoliska ojämlikhet för väsentliga grenrör
• Gromovs ojämlikhet för komplext projektivt rum
• Eisenstein heltal (ett exempel på ett hexagonalt gitter)
• Systoler av ytor

•    Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2009). "Loewners torus ojämlikhet med isosystolisk defekt". Journal of Geometric Analysis . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . doi : 10.1007/s12220-009-9090-y . MR 2538936 . S2CID 18444111 .
•    Katz, Mikhail G. (2007). Systolisk geometri och topologi . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 137. Med bilaga av J. Solomon. Providence, RI: American Mathematical Society . doi : 10.1090/surv/137 . ISBN 978-0-8218-4177-8 . MR 2292367 .
•    Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2005). "Entropi av systoliskt extrema ytor och asymptotiska gränser". Ergodic Theory Dynamic. System . 25 (4): 1209–1220. arXiv : math.DG/0410312 . doi : 10.1017/S0143385704001014 . MR 2158402 . S2CID 11631690 .
•    Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2006). "Hyperelliptiska ytor är Loewner". Proc. Amer. Matematik. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG/0407009 . doi : 10.1090/S0002-9939-05-08057-3 . MR 2196056 . S2CID 15437153 .
•   Pu, Pao Ming (1952). "Vissa ojämlikheter i vissa icke-orienterbara Riemannska grenrör" . Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR 0048886 .