Kubik ömsesidighet

Kubisk ömsesidighet är en samling satser i elementär och algebraisk talteori som anger förhållanden under vilka kongruensen x ³ ≡ p (mod q ) är lösbar; ordet "reciprocitet" kommer från formen av huvudsatsen , som säger att om p och q är primära tal i ringen av Eisensteins heltal , båda coprime till 3, är kongruensen x ³ ≡ p (mod q ) lösbar om och endast om x ³ ≡ q (mod p ) är lösbar.

Historia

Någon gång före 1748 gjorde Euler de första gissningarna om den kubiska residualiteten av små heltal, men de publicerades inte förrän 1849, efter hans död.

Gauss publicerade verk nämner kubiska rester och ömsesidighet tre gånger: det finns ett resultat som hänför sig till kubiska rester i Disquisitiones Arithmeticae (1801). I inledningen till det femte och sjätte beviset för kvadratisk ömsesidighet (1818) sa han att han publicerade dessa bevis eftersom deras tekniker ( Gauss lemma respektive Gaussiska summor ) kan tillämpas på kubisk och biquadratisk ömsesidighet. Slutligen, en fotnot i den andra (av två) monografier om biquadratic reciprocity (1832) anger att kubisk reciprocitet är lättast att beskriva i ringen av Eisenstein-heltal.

Av sin dagbok och andra opublicerade källor framgår det att Gauss kände till reglerna för kubisk och kvartsresiditet för heltal senast 1805, och upptäckte de fullständiga satserna och bevisen för kubisk och biquadratisk ömsesidighet omkring 1814. Bevis för dessa hittades i hans postuma papper, men det är inte klart om de är hans eller Eisensteins.

Jacobi publicerade flera satser om kubisk residualitet 1827, men inga bevis. I sina Königsbergsföreläsningar 1836–37 presenterade Jacobi bevis. De första publicerade bevisen var av Eisenstein (1844).

Heltal

En kubisk rest (mod p ) är vilket tal som helst som är kongruent med tredje potensen av ett heltal (mod p ). Om x ³ ≡ a (mod p ) inte har en heltalslösning, är a en kubisk icke-rest (mod p ).

Som ofta är fallet i talteorin är det lättare att arbeta med moduloprimtal, så i detta avsnitt antas alla moduli p , q , etc. vara positiva, udda primtal.

Vi noterar först att om q ≡ 2 (mod 3) är ett primtal så är varje tal en kubisk rest modulo q . Låt q = 3 n + 2; eftersom 0 = 0 ³ uppenbarligen är en kubisk rest, anta att x inte är delbart med q . Sedan genom Fermats lilla teorem ,

$x^{q}\equiv x{\bmod {q}},\qquad x^{q-1}\equiv 1{\bmod { q}}$

Multiplicera de två kongruenserna vi har

$x^{2q-1}\equiv x{\bmod {q}}$

q med 3 n + 2 har vi:

$x^{2q-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}.$

Därför är det enda intressanta fallet när modulen p ≡ 1 (mod 3). I det här fallet kan restklasserna som inte är noll (mod p ) delas in i tre uppsättningar som var och en innehåller ( p −1)/3 tal. Låt e vara en kubisk icke-rest. Den första uppsättningen är de kubiska resterna; den andra är e gånger siffrorna i den första uppsättningen, och den tredje är e ² gånger siffrorna i den första uppsättningen. Ett annat sätt att beskriva denna uppdelning är att låta e vara en primitiv rot (mod p ); då är den första (resp. andra, tredje) mängden de tal vars index med avseende på denna rot är kongruenta med 0 (resp. 1, 2) (mod 3). I gruppteorins ordförråd är den första uppsättningen en undergrupp av index 3 i den multiplikativa gruppen $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ och de andra två är dess cosets.

Primer ≡ 1 (mod 3)

En sats från Fermat säger att varje primtal p ≡ 1 (mod 3) kan skrivas som p = a ² + 3 b ² och (förutom tecknen för a och b ) är denna representation unik.

Låter vi m = a + b och n = a − b , ser vi att detta är ekvivalent med p = m ² − mn + n ² (vilket är lika med ( n − m ) ² − ( n − m ) n + n ² = m ² + m ( n − m ) + ( n − m ) ² , så m och n bestäms inte unikt). Således,

${\begin{aligned} 4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+ 3(mn)^{2}\end{aligned}}$

och det är en enkel övning att visa att exakt en av m , n eller m − n är en multipel av 3, så

$p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),$

och denna representation är unik upp till tecknen L och M .

För relativt primtal heltal definierar m och n den rationella kubiska restsymbolen som

$\left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}= {\begin{cases}1&m{\text{ är en kubisk rest }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ är en kubisk icke-rest }}{\bmod {n}}\end{ fall}}$

Det är viktigt att notera att denna symbol inte har de multiplikativa egenskaperna hos Legendre-symbolen; för detta behöver vi det verkliga kubiska tecknet som definieras nedan.

Eulers gissningar. Låt p = a ² + 3 b ² vara ett primtal. Sedan gäller följande:

${\begin{aligned}\left[ {\tfrac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 3\mid b\\\left[{\tfrac {3}{p}}\right]_{ 3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ eller }}9\mid (a\pm b)\\\left[{\tfrac {5}{p}}\right]_ {3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 15\mid b{\text{ eller }}3\mid b{\text{ och }}5\mid a{\text{ eller }}15\mid (a \pm b){\text{ eller }}15\mid (2a\pm b)\\\left[{\tfrac {6}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \ quad 9\mid b{\text{ eller }}9\mid (a\pm 2b)\\\left[{\tfrac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad (3\mid b{\text{ och }}7\mid a){\text{ eller }}21\mid (b\pm a){\text{ eller }}7\mid (4b\pm a) ){\text{ eller }}21\mid b{\text{ eller }}7\mid (b\pm 2a)\end{aligned}}$

De två första kan räknas om enligt följande. Låt p vara ett primtal som är kongruent med 1 modulo 3. Sedan:

• 2 är en kubisk rest av p om och endast om p = a ² + 27 b ² .
• 3 är en kubisk rest av p om och endast om 4 p = a ² + 243 b ² .

Gauss sats. Låt p vara ett positivt primtal så att

$p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).$

Sedan $L(n!)^{3}\equiv 1{\bmod {p}}.$

Man kan lätt se att Gauss sats innebär:

$\left[{\tfrac {L}{p}}\right]_{3}=\left[{\tfrac {M}{p} }\right]_{3}=1.$

Jacobis sats (angiven utan bevis). Låt q ≡ p ≡ 1 (mod 6) vara positiva primtal. Uppenbarligen är både p och q också kongruenta med 1 modulo 3, antag därför:

$p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),\qquad q={\tfrac {1}{4}}\left( L'^{2}+27M'^{2}\right).$

Låt x vara en lösning av x ² ≡ −3 (mod q ). Sedan

$x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod {q}},$

och vi har:

${\begin{aligned}\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad \ vänster[{\frac {{\frac {L+3Mx}{2}}p}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {L +3Mx}{L-3Mx}}{q}}\höger]_{3}=1\\\vänster[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\ Långhögerpil \quad \left[{\frac {\frac {LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}}\right]_{3}=1\end{aligned}}$

Lehmer s sats. Låt q och p vara primtal, med $p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).$ Sedan:

$\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad q\mid LM{\text { or }}L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\bmod {q}},$

där

$u\not \equiv 0,1,-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}}{\bmod {q}}\quad {\text{and} }\quad 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}}.$

Observera att det första villkoret innebär: att alla tal som delar L eller M är en kubisk rest (mod p ).

De första exemplen på detta är likvärdiga med Eulers gissningar:

${\begin{aligned}\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod {2}}\\\left[{\frac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {3}}\\\left [{\frac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {5}}\\\left[{\frac {7}{ p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}}\end{aligned}}$

Eftersom uppenbarligen L ≡ M (mod 2) kan kriteriet för q = 2 förenklas som:

${\displaystyle \left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {2}}.} Martinets sats$

. Låt p ≡ q ≡ 1 (mod 3) vara primtal, $pq={\tfrac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}).$ Sedan

$\left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {L}{q}}\right]_{3} =1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {p}{q}}\right]_{3}=1 .$

Sharifis teorem. Låt p = 1 + 3 x + 9 x ² vara ett primtal. Då är varje divisor av x en kubisk rest (mod p ).

Eisenstein heltal

Bakgrund

I sin andra monografi om biquadratisk ömsesidighet säger Gauss:

Satserna om biquadratiska rester glimmar med största enkelhet och äkta skönhet först när aritmetikens fält utvidgas till imaginära tal, så att utan begränsningar utgör talen i formen a + bi studieobjektet ... vi kallar sådana tal. integralkomplexa tal . [fet i originalet]

Dessa nummer kallas nu ringen av Gaussiska heltal , betecknade med Z [ i ]. Observera att i är en fjärde rot av 1.

I en fotnot tillägger han

Teorin om kubiska rester måste på liknande sätt baseras på en övervägande av tal av formen a + bh där h är en imaginär rot av ekvationen h ³ = 1 ... och på samma sätt leder teorin om rester av högre makter till införandet av andra imaginära storheter.

I sin första monografi om kubisk ömsesidighet utvecklade Eisenstein teorin om talen som byggdes upp från en kubrot av enhet; de kallas nu ringen av Eisenstein heltal . Eisenstein sa (omskrivning) "för att undersöka egenskaperna hos denna ring behöver man bara konsultera Gauss arbete på Z [ i ] och modifiera bevisen". Detta är inte förvånande eftersom båda ringarna är unika faktoriseringsdomäner .

De "andra imaginära kvantiteter" som behövs för "teorin om rester av högre makter" är ringarna av heltal i de cyklotomiska talfälten ; Gauss- och Eisenstein-heltalen är de enklaste exemplen på dessa.

Fakta och terminologi

Låta

$\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{ \frac {2\pi i}{3}},\qquad \omega ^{3}=1.$

Och betrakta ringen av Eisensteins heltal :

$\mathbb {Z} [\omega ]=\left\{a+b\omega \ :\ a,b\in \mathbb {Z} \right\}.$

Detta är en euklidisk domän med normfunktionen som ges av:

$N(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.$

Observera att normen alltid är kongruent med 0 eller 1 (mod 3).

Gruppen av enheter i $\mathbb {Z} [\omega ]$ (elementen med en multiplikativ invers eller motsvarande de med enhetsnorm) är en cyklisk grupp av enhets sjätte rötter,

$\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}.$

$\mathbb {Z} [\omega ]$ är en unik faktoriseringsdomän . Primtalen delas in i tre klasser:

• 3 är ett specialfall:

$3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}.$

Det är det enda primtal i $\mathbb {Z}$ som är delbart med kvadraten av ett primtal i $\mathbb {Z} [\omega ]$ . primtal 3 sägs förgrena sig i $\mathbb {Z} [\omega ]$ .

• Positiva primtal i $\mathbb {Z}$ kongruenta med 2 (mod 3) är också primtal i $\mathbb {Z} [\omega ]$ . Dessa primtal sägs förbli inerta i $\mathbb {Z} [\omega ]$ . Observera att om $q$ är något inert primtal då:

$N(q)=q^{2}\equiv 1{\bmod {3}}.$

• Positiva primtal i $\mathbb {Z}$ kongruenta med 1 (mod 3) är produkten av två konjugera primtal i $\mathbb {Z} [\omega ]$ . Dessa primtal sägs dela sig i $\mathbb {Z} [\omega ]$ . Deras faktorisering ges av:

${\displaystyle p=N(\pi )=N({\overline {\pi }})=\pi {\overline {\pi }}.} till$

exempel

$7=(3+\omega )(2-\omega ).$

Ett tal är primärt om det är coprime till 3 och kongruent med ett vanligt heltal modulo $(1-\omega )^{2},$ vilket är detsamma som att säga att det är kongruent med $\pm 2$ modulo 3. Om $\gcd(N(\lambda ),3)=1$ en av $\lambda ,\omega \lambda ,$ eller $\omega ^{2}\lambda$ är primär. Dessutom är produkten av två primära tal primär och konjugatet av ett primärtal är också primär.

Den unika faktoriseringssatsen för $\mathbb {Z} [\omega ]$ är: om $\lambda \neq 0,$ då

$=display \pm \omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}} \pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots ,\qquad \mu \in \{0,1,2\},\quad \nu ,\alpha _{1},\alpha _{ 2},\ldots \geqslant 0}$

där varje $\pi _{i}$ är ett primärt (enligt Eisensteins definition) primtal. Och denna representation är unik, upp till faktorernas ordning.

Begreppen kongruens och största gemensamma divisor definieras på samma sätt i $\mathbb {Z} [\omega ]$ som de är för de vanliga heltalen $\mathbb {Z}$ . Eftersom enheterna delar alla tal, är en kongruens modulo $\lambda$ också sann modulo vilken som helst associering av $\lambda$ , och varje associering av en GCD är också en GCD.

Kubisk restkaraktär

Definition

En analog till Fermats lilla teorem är sann i $\mathbb {Z} [\omega ]$ : om $\alpha$ inte är delbar med ett primtal $\pi$ ,

$\alpha ^{N(\pi )-1}\equiv 1{\bmod {\pi }}.$

Antag nu att $N(\pi )\neq 3$ så att $N(\pi )\equiv 1{\bmod {3}}.$ Eller sätt annorlunda $3\mid N(\pi )-1.$ Då kan vi skriva:

$\alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\bmod {\pi }},$

för en unik enhet $\omega ^{k}.$ Denna enhet kallas den kubiska restkaraktären för $\alpha$ modulo $\pi$ och betecknas med

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{ 3}}{\bmod {\pi }}.$

Egenskaper

Den kubiska restkaraktären har formella egenskaper som liknar Legendre-symbolen :

• Om $\alpha \equiv \beta {\bmod {\pi }}$ så är $\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.$
• $\left({\tfrac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3} \left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.$
• ${\overline {\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}}=\left( {\tfrac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}\right)_{3},$ där stapeln anger komplex konjugation.
• Om $\pi$ och $\theta$ är associerade så är $\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right )_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\theta }}\right)_{3}$
• Kongruensen $x^{3}\equiv \alpha {\bmod {\pi }}$ har en lösning i $\mathbb {Z} [\omega ]$ om och endast om $\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.$
• Om $a,b\in \mathbb {Z}$ är sådana att $\gcd(a,b)= \gcd(b,3)=1,$ sedan $\left({\tfrac {a}{b}}\right)_{3}=1.$
• Det kubiska tecknet kan utökas multiplikativt till sammansatta tal (samprim till 3) i "nämnaren" på samma sätt som Legendre-symbolen generaliseras till Jacobi- symbolen . Liksom Jacobi-symbolen, om "nämnaren" för det kubiska tecknet är sammansatt, då om "täljaren" är en kubisk rest mod "nämnaren" kommer symbolen att vara lika med 1, om symbolen inte är lika med 1 då "täljaren" är en kubisk icke-rest, men symbolen kan vara lika med 1 när "täljaren" är en icke-rest:

$\left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}= \left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\alpha _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{ 2}}}\right)_{3}^{\alpha _{2}}\cdots ,$

där

$\lambda =\pi _{ 1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots$

Uttalande av satsen

Låt α och β vara primära. Sedan

${\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.$

Det finns kompletterande satser för enheterna och primtal 1 − ω:

Låt α = a + b ω vara primär, a = 3 m + 1 och b = 3 n . (Om a ≡ 2 (mod 3) ersätter α med dess associerade −α; detta kommer inte att ändra värdet på de kubiska tecknen.)

${\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-ab}{3}}=\omega ^{ -mn},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1} {3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg)}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.$

Se även

• Kvadratisk ömsesidighet
• Kvartisk ömsesidighet
• Oktisk ömsesidighet
• Eisenstein ömsesidighet
• Artin ömsesidighet

Anteckningar

Referenserna till Eulers, Jacobis och Eisensteins originalpapper kopierades från bibliografierna i Lemmermeyer och Cox och användes inte vid förberedelserna av denna artikel.

Euler

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt , Kommentar. Aritmet. 2

Denna skrevs egentligen 1748–1750, men publicerades först postumt; Det finns i Vol V, s. 182–283 av

• Euler, Leonhard (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, vols I–V , Leipzig & Berlin: Teubner

Gauss

De två monografier Gauss publicerade om biquadratisk ömsesidighet har i följd numrerade avsnitt: den första innehåller §§ 1–23 och den andra §§ 24–76. Fotnoter som hänvisar till dessa är av formen "Gauss, BQ, § n ". Fotnoter som hänvisar till Disquisitiones Arithmeticae är av formen "Gauss, DA, Art. n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Kommentar. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Kommentar. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Dessa finns i Gauss' Werke , Vol II, s. 65–92 och 93–148

Gauss femte och sjätte bevis på kvadratisk ömsesidighet är inne

• Gauss, Carl Friedrich (1818), Theoramatis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae

Detta är i Gauss's Werke , Vol II, s. 47–64

Tyska översättningar av alla tre ovanstående är följande, som också har Disquisitiones Arithmeticae och Gauss andra artiklar om talteori.

•   Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (översättare till tyska) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Andra upplagan) , New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 {{ citat }} : |first2= har ett generiskt namn ( hjälp )

Eisenstein

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen , J. Reine Angew. Matematik. 27, s. 289–310 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Characters der Zahl 3, ihrer Teiler Angew. Matematik. 28, s. 28–35 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante , J. Reine Angew. Matematik. 29 s. 177–184 (Crelle's Journal)

Dessa papper finns alla i Vol I av hans Werke .

Jacobi

• Jacobi, Carl Gustave Jacob (1827), De residuis cubicis commentatio numerosa , J. Reine Angew. Matematik. 2 s. 66–69 (Crelle's Journal)

Detta är i Vol VI av hans Werke .

Moderna författare

•   Cox, David A. (1989), Primes of the form x ² + ny ² , New York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

•   Irland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (andra upplagan) , New York: Springer , ISBN 0-387-97329-X

•   Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein , Berlin: Springer , ISBN 3-540-66957-4

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Cubic Reciprocity Theorem" . MathWorld .