Pus ojämlikhet

En animation av den romerska ytan som representerar RP ² i R ³

I differentialgeometri relaterar Pus ojämlikhet , bevisad av Pao Ming Pu , arean av en godtycklig Riemannisk yta homeomorphic till det verkliga projektiva planet med längden på de slutna kurvorna som finns i det .

Påstående

En elev till Charles Loewner , Pu bevisade i sin avhandling från 1950 ( Pu 1952 ) att varje riemannsk yta $M$ som är homeomorf till det verkliga projektiva planet uppfyller ojämlikheten

$\operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}\operatörsnamn {Systole} (M)^{2 },$

där $\operatorname {Systole} (M)$ är systolen för $M$ . Jämlikheten uppnås just när metriken har konstant Gaussisk krökning .

Med andra ord, om alla icke-sammandragbara slingor i $M$ har minst ${\displaystyle L} längd$ , då $\operatorname {Area} (M)\ geq {\frac {2}{\pi }}L^{2},$ och likheten gäller om och endast om $M$ erhålls från en euklidisk sfär med radien $r =L/\pi$ genom att identifiera varje punkt med dess antipodal.

Pu's papper angav också för första gången Loewners ojämlikhet , ett liknande resultat för Riemannska mått på torus .

Bevis

Pu:s ursprungliga bevis bygger på uniformiseringsteoremet och använder ett medelvärdesargument enligt följande.

är den Riemannska ytan $(M,g)$ konformt diffeomorf till ett runt projektivt plan. Detta betyder att vi kan anta att ytan $M$ erhålls från den euklidiska enhetssfären $S^{2}$ genom att identifiera antipodalpunkter och det Riemannska längdelementet i varje punkt $x$ är

$\mathrm {dLength} =f(x)\mathrm {dLength} _{\text{Euklidisk}},$

där $\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}$ är det euklidiska längdelementet och funktionen $f:S ^{2}\to (0,+\infty )}$ , kallad konformfaktorn , uppfyller $f(-x)=f(x)$ .

är det universella höljet för $M$$S^{2}$ , en slinga $\gamma \subseteq M$ är ej kontraktsbar om och endast om dess lyftning ${\widetilde {\gamma }}\subseteq S^{2}$ går från en punkt till sin motsats, och längden på varje kurva $\gamma$ är

$\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{\widetilde {\gamma }}f\,\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}.$

Med förbehåll för begränsningen att var och en av dessa längder är minst $L$ , vill vi hitta en $f$ som minimerar

$\operatorname {Area} (M,g)=\int _{S_{+}^ {2}}f(x)^{2}\,\mathrm {dArea} _{\text{Euklidisk}}(x),$

där $S_{+}^{2}$ är den övre halvan av sfären.

En viktig observation är att om vi medelvärderar flera olika $f_{i}$ som uppfyller längdbegränsningen och har samma area $A$ , så får vi en bättre konform faktor ${\displaystyle f_{\text{new}}={\frac {1}{n}}\sum _{0\leq i<n}f_{i}} , som också uppfyller$ längden begränsning och har

$\operatorname {Area} (M,g_{\text{ new}})=\int _{S_{+}^{2}}\left({\frac {1}{n}}\summa _{i}f_{i}(x)\right)^{2 }\mathrm {dArea} _{\text{Euklidisk}}(x)$

$\qquad \qquad \leq {\frac {1}{n}}\summa _{i}\left(\int _{S_{+}^{2}}f_{i}(x)^{2}\ mathrm {dArea} _{\text{Euklidisk}}(x)\right)=A,$

och olikheten är strikt om inte funktionerna $f_{i}$ är lika.

Ett sätt att förbättra en icke-konstant $f$ är att erhålla de olika funktionerna $f_{i}$ från $f$ genom att använda rotationer av sfären ${\ displaystyle R_{i}\in SO^{3}}$ , som definierar $f_{i}(x)=f(R_{i}(x))$ . Om vi ​​medelvärde över alla möjliga rotationer får vi en $f_{\text{new}}$ som är konstant över hela sfären. Vi kan ytterligare reducera denna konstant till minimivärdet $r={\frac {L}{\pi }}$ tillåtet av längdbegränsningen. Sedan erhåller vi det unika måttet som uppnår minimiarean $2\pi r^{2}={\frac {2}{\pi }}L^{2}$ .

Omformulering

Alternativt tillåter varje måttenhet på sfären $S^{2}$ invariant under antipodalkartan ett par motsatta punkter $p,q\in S^{2}$ vid Riemannskt avstånd $p,q)}$$d^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\operatörsnamn {area} (S^{2}).$ som uppfyller

En mer detaljerad förklaring av denna synpunkt finns på sidan Introduktion till systolisk geometri .

Fyllningsområde gissningar

En alternativ formulering av Pu:s ojämlikhet är följande. Av alla möjliga fyllningar av den riemannska cirkeln med längden $2\pi$ med en $2$ -dimensionell skiva med den starkt isometriska egenskapen, har den runda halvklotet den minsta arean.

För att förklara denna formulering börjar vi med observationen att ekvatorialcirkeln för enheten $2$ -sfär $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ är en Riemann-cirkel $S^{1}$ med längden $2\pi$ . Närmare bestämt induceras den Riemannska avståndsfunktionen för ${\displaystyle S^{1}} från det omgivande Riemannska avståndet på sfären.$ Observera att denna egenskap inte uppfylls av standardinbäddningen av enhetscirkeln i det euklidiska planet. Det euklidiska avståndet mellan ett par motsatta punkter i cirkeln är faktiskt bara $2$ , medan det i den Riemannska cirkeln är $\pi$ .

Vi betraktar alla fyllningar av $S^{1}$ av en $2$ -dimensionell skiva, så att den metrik som induceras av inkluderingen av cirkeln som gränsen för skivan är den riemannska metriken för en cirkel med längden $2\pi$ . Införandet av cirkeln som gräns kallas då en starkt isometrisk inbäddning av cirkeln.

Gromov förmodade att den runda halvklotet ger det "bästa" sättet att fylla cirkeln även när fyllningsytan tillåts ha positivt släkte ( Gromov 1983 ).

Isoperimetrisk ojämlikhet

Pus ojämlikhet har en märklig likhet med den klassiska isoperimetriska ojämlikheten

$L^{2}\geq 4\pi A$

för Jordan-kurvor i planet, där $L$ är längden på kurvan medan $A$ är området i regionen den avgränsar. I båda fallen begränsas nämligen en 2-dimensionell storhet (area) av (kvadraten på) en 1-dimensionell storhet (längd). Ojämlikheten går dock i motsatt riktning. Således kan Pus ojämlikhet ses som en "motsatt" isoperimetrisk ojämlikhet.

Se även

• Fyllningsområde gissningar
• Gromovs systoliska ojämlikhet för väsentliga grenrör
• Gromovs ojämlikhet för komplext projektivt rum
• Loewners torus ojämlikhet
• Systolisk geometri
• Systoler av ytor

•   Gromov, Mikhael (1983). "Fyllning av Riemannska grenrör" . J. Differential Geom. 18 (1): 1–147. doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR 0697984 .
•    Gromov, Mikhael (1996). "Systoler och intersystoliska ojämlikheter". I Besse, Arthur L. (red.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [ Proceedings of the Roundtable on Differential Geometry ]. Séminaires et Congrès. Vol. 1. Paris: Soc. Matematik. Frankrike. s. 291–362. ISBN 2-85629-047-7 . MR 1427752 .
•    Gromov, Misha (1999) [1981]. Metriska strukturer för riemannska och icke-riemannska rum . Framsteg i matematik. Vol. 152. Med bilagor av M. Katz, P. Pansu och S. Semmes. Översatt från franskan av Sean Michael Bates. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3898-9 . MR 1699320 .
•    Katz, Mikhail G. (2007). Systolisk geometri och topologi . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 137. Med bilaga av J. Solomon. Providence, RI: American Mathematical Society . doi : 10.1090/surv/137 . ISBN 978-0-8218-4177-8 . MR 2292367 .
•   Pu, Pao Ming (1952). "Vissa ojämlikheter i vissa icke-orienterbara Riemannska grenrör" . Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR 0048886 .