Nödvändigt grenrör

Inom geometri är ett väsentligt grenrör en speciell typ av slutet grenrör. Begreppet introducerades först uttryckligen av Mikhail Gromov .

Definition

En sluten mångfald M kallas väsentlig om dess fundamentalklass [ M ] definierar ett element som inte är noll i homologin för dess fundamentala grupp π , eller mer exakt i homologin för motsvarande Eilenberg–MacLane-utrymme K ( π , 1), via den naturliga homomorfism

$H_{n}(M)\to H_{n}(K(\pi ,1)),$

där n är dimensionen för M . Här tas den fundamentala klassen i homologi med heltalskoefficienter om grenröret är orienterbart, och i koefficienter modulo 2, annars.

Exempel

• Alla slutna ytor (dvs 2-dimensionella grenrör) är väsentliga med undantag för 2-sfären S ² .
• Verkligt projektivt utrymme RP ⁿ är viktigt eftersom inkluderingen

  $\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty }$

är injektiv i homologi, där

${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)} är$

Eilenberg– MacLane-utrymme i den finita cykliska gruppen av ordning 2.

• Alla kompakta asfäriska grenrör är väsentliga (eftersom att de är asfäriska betyder att grenröret i sig redan är ett K ( π , 1)) I synnerhet
  • är alla kompakta hyperboliska grenrör väsentliga.
• Alla linsutrymmen är viktiga.

Egenskaper

• Den sammankopplade summan av väsentliga grenrör är väsentlig.
• Varje grenrör som tillåter en karta som inte är noll till ett väsentligt grenrör är i sig självt väsentligt.

Se även

• Gromovs systoliska ojämlikhet för väsentliga grenrör
• Systolisk geometri