Systoler av ytor

Inom matematik studerades systoliska ojämlikheter för kurvor på ytor först av Charles Loewner 1949 (opublicerad; se anmärkning i slutet av PM Pu :s artikel '52). Givet en stängd yta definieras dess systole , betecknad sys , som den minsta längden av en slinga som inte kan dras ihop till en punkt på ytan. Den systoliska arean för en metrik definieras som förhållandet area/sys ² . Det systoliska förhållandet SR är den reciproka kvantiteten sys ² /area. Se även Introduktion till systolisk geometri .

Torus

Kortaste öglan på en torus

1949 bevisade Loewner sin ojämlikhet $}} ,$ \ displaystyle 2 ^/ { ^\ sqrt med likhet i plattan (konstant krökning) fall av liksidig torus (se hexagonalt gitter ).

Riktigt projektivt plan

Ett liknande resultat ges av Pu:s olikhet för det verkliga projektiva planet från 1952, på grund av Pao Ming Pu , med en övre gräns på π /2 för det systoliska förhållandet SR(RP ² ), som också uppnås i fallet med konstant krökning.

Klein flaska

En handblåst Klein-flaska (emulering)

För Klein-flaskan K erhöll Bavard (1986) en optimal övre gräns för $\pi /{\sqrt {8}}$ för det systoliska förhållandet:

$\mathrm {SR} (K)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {8}}},$

baserad på verk av Blatter från 1960-talet.

Genus 2

En orienterbar yta av släkte 2 uppfyller Loewners bundna ${\displaystyle \mathrm {SR} (2)\leq {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}} ,$ se (Katz- Sabourau '06). Det är okänt om varje yta av positivt släkte uppfyller Loewners gräns eller inte. Det förmodas att de alla gör det. Svaret är jakande för släktet 20 och uppåt av (Katz-Sabourau '05).

Godtyckligt släkte

För en sluten yta av släktet g visade Hebda och Burago (1980) att det systoliska förhållandet SR(g) ovanför begränsas av konstanten 2. Tre år senare hittade Mikhail Gromov en övre gräns för SR(g) given av en konstant gånger

${\frac {(\log g)^{2}}{g}}.$

En liknande nedre gräns (med en mindre konstant) erhölls av Buser och Sarnak. De uppvisade nämligen aritmetiska hyperboliska Riemann-ytor med systole som uppförde sig som en konstant gånger $\log(g)$ . Observera att arean är 4π(g-1) från Gauss-Bonnet-satsen, så att SR(g) beter sig asymptotiskt som en konstant tid ( $\displaystyle {\tfrac {(\log g)^{ 2}}{g}}}$ .

Studiet av det asymptotiska beteendet för stora släktet $g$ i systolen hos hyperboliska ytor avslöjar några intressanta konstanter. Hurwitz-ytor $\Sigma _{g}$ definierade av ett torn av huvudsakliga kongruensundergrupper i gruppen (2,3,7) hyperboliska triangeln uppfyller gränsen

$\mathrm {sys} (\Sigma _{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,$

resultatet av en analys av Hurwitz quaternion order . En liknande gräns gäller för mer allmänna aritmetiska fuchsiska grupper . Detta resultat från 2007 av Mikhail Katz , Mary Schaps och Uzi Vishne förbättrar en ojämlikhet på grund av Peter Buser och Peter Sarnak när det gäller aritmetiska grupper definierade över ${\displaystyle \mathbb {Q} } ,$ från 1994, som innehöll en additiv som inte var noll konstant. För Hurwitz-ytorna av principiell kongruenstyp är det systoliska förhållandet SR(g) asymptotiskt till

${\frac {4}{9\pi }}{\frac {(\log g)^{2}}{g}}.$

hittades följande asymptotiska övre gräns för SR(g) i (Katz-Sabourau 2005):

${\frac {(\log g)^{2}}{\pi g}},$

se även (Katz 2007), sid. 85. Genom att kombinera de två uppskattningarna får man snäva gränser för det asymptotiska beteendet hos det systoliska förhållandet mellan ytor.

Sfär

Det finns också en version av ojämlikheten för metrik på sfären, för den invarianta L definierad som den minsta längden av en sluten geodetisk av metriken. År 80 antog Gromov en nedre gräns på $1/2{\sqrt {3}}$ för förhållandet area/ L ² . En nedre gräns på 1/961 erhållen av Croke '88 har nyligen förbättrats av Nabutovsky , Rotman och Sabourau.

Se även

• Differentiell geometri av ytor

• Bavard, C. (1986). "Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein" . Matematiska Annalen . 274 (3): 439–441. doi : 10.1007/BF01457227 .
• Buser, P .; Sarnak, P. (1994). "På periodmatrisen för en Riemann-yta av stort släkte (Med en bilaga av JH Conway och NJA Sloane)" . Inventiones Mathematicae . 117 (1): 27–56. Bibcode : 1994InMat.117...27B . doi : 10.1007/BF01232233 .
•   Gromov, Mikhael (1983). "Fylla Riemannska grenrör" . Journal of Differential Geometry . 18 (1): 1–147. doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR 0697984 .
• Hebda, James J. (1982). "Några nedre gränser för ytarean" . Inventiones Mathematicae . 65 (3): 485–490. Bibcode : 1982InMat..65..485H . doi : 10.1007/BF01396632 .
•   Katz, Mikhail G. (2007). Systolisk geometri och topologi . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 137. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4177-8 .
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2005). "Entropi av systoliskt extrema ytor och asymptotiska gränser". Ergodisk teori och dynamiska system . 25 (4): 1209–1220. arXiv : math/0410312 . doi : 10.1017/S0143385704001014 .
• Katz, Mikhail G.; Sabourau, Stéphane (2006). "Hyperelliptiska ytor är Loewner" . Proceedings of the American Mathematical Society . 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG/0407009 . doi : 10.1090/S0002-9939-05-08057-3 .
• Katz, Mikhail G.; Schaps, Mary; Vishne, Uzi (2007). "Logaritmisk tillväxt av systole av aritmetiska Riemann-ytor längs kongruensundergrupper" . Journal of Differential Geometry . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . doi : 10.4310/jdg/1180135693 .
•   Pu, PM (1952). "Vissa ojämlikheter i vissa icke-orienterbara Riemannska grenrör" . Pacific Journal of Mathematics . 2 : 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR 0048886 .