Moniskt polynom

I algebra är ett moniskt polynom ett univariat polynom som inte är noll (det vill säga ett polynom i en enda variabel) där den ledande koefficienten (den högsta gradens icke-nollkoefficient) är lika med 1. Det vill säga ett moniskt polynom är en som kan skrivas som

$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$

med $n\geq 0.$

Används

I det här avsnittet används "polynom" som en förkortning för univariat polynom och, om inte uttryckligen anges, tillhör polynomens koefficienter ett fast fält .

Moniska polynom används ofta i algebra och talteori , eftersom de producerar många förenklingar och de undviker divisioner och nämnare. Här är några exempel.

Varje polynom är associerat med ett unikt moniskt polynom. I synnerhet kan den unika faktoriseringsegenskapen för polynom anges som: Varje polynom kan unikt faktoriseras som produkten av dess ledande koefficient och en produkt av moniska irreducerbara polynom .

Vietas formler är enklare när det gäller moniska polynom: Den i: e elementära symmetriska funktionen av rötterna till ett moniskt polynom av grad n är lika med $(-1)^{i}c_ {ni},$ där $c_{ni}$ är koefficienten för (n−i): te potensen av det obestämda .

Euklidisk division av ett polynom med ett moniskt polynom introducerar inte divisioner av koefficienter. Därför är det definierat för polynom med koefficienter i en kommutativ ring .

Algebraiska heltal definieras som rötterna till moniska polynom med heltalskoefficienter.

Egenskaper

Varje univariat polynom som inte är noll ( polynom med ett enda obestämt ) kan skrivas

$c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots c_{1}x+c_{0},$

där $c_{n},\ldots ,c_{0}$ är koefficienterna för polynomet, och den ledande koefficienten $c_{n}$ är inte noll. Per definition är ett sådant polynom moniskt om $c_{n}=1.$

En produkt av polynom är monisk om och endast om alla faktorer är moniska.

"Om"-villkoret innebär att de moniska polynomen i en univariat polynomring över en kommutativ ring bildar en monoid under polynommultiplikation.

Två monopolynom är associerade om och bara de är lika, eftersom multiplikationen av ett polynom med en konstant som inte är noll ger ett polynom med denna konstant som sin ledande koefficient.

Delbarhet inducerar en partiell ordning på moniska polynom. Detta resulterar nästan omedelbart från de föregående egenskaperna.

Polynomekvationer

Låt $P(x)$ vara en polynomekvation , där P är ett univariat polynom av grad n . Om man dividerar alla koefficienter för P med dess ledande koefficient $c_{n},$ får man en ny polynomekvation som har samma lösningar och består av att motsvara ett moniskt polynom med noll.

Till exempel ekvationen

$2x^{2}+3x+1=0$

är ekvivalent med den moniska ekvationen

$x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.$

När koefficienterna är ospecificerade, eller tillhör ett fält där division inte resulterar i bråk (som $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,$ eller ett ändligt fält ), kommer denna reduktion till moniska ekvationer kan ge förenklingar. Å andra sidan, som visas av föregående exempel, när koefficienterna är explicita heltal, är det associerade moniska polynomet i allmänhet mer komplicerat. Därför primitiva polynom istället för moniska polynom när det handlar om heltalskoefficienter.

Integrerade element

Moniska polynomekvationer ligger till grund för teorin om algebraiska heltal , och mer allmänt av integralelement .

Låt R vara en subring av ett fält F ; detta innebär att R är en integral domän . Ett element a av F är integral över R om det är en rot av ett moniskt polynom med koefficienter i R .

Ett komplext tal som är integral över heltal kallas ett algebraiskt heltal . Denna terminologi motiveras av det faktum att heltalen är exakt de rationella talen som också är algebraiska heltal. Detta är ett resultat av den rationella rotsatsen , som hävdar att om det rationella talet ${\textstyle {\frac {p}{q}}}$ är en rot av ett polynom med heltalskoefficienter, så är q en divisor av den ledande koefficient; så, om polynomet är moniskt, då är $q=\pm 1,$ och talet är ett heltal. Omvänt är ett heltal p en rot av det moniska polynomet $xa.$

Det kan bevisas att om två element i ett fält F är integraler över en subring R av F , så är summan och produkten av dessa element också integraler över R . Det följer att elementen i F som är integral över R bildar en ring, kallad integralslutningen av R i K . En integral domän som är lika med sin integral stängning i sitt område av fraktioner kallas en integral sluten domän .

Dessa begrepp är grundläggande i algebraisk talteori . Till exempel var många av de många felaktiga bevisen för Fermats sista sats som har skrivits under mer än tre århundraden felaktiga eftersom författarna felaktigt antog att de algebraiska heltalen i ett algebraiskt talfält har unik faktorisering .

Multivariata polynom

används inte termen monisk för polynom med flera variabler. Ett polynom i flera variabler kan dock betraktas som ett polynom i en variabel med koefficienter som polynom i de andra variablerna. Att vara monisk beror alltså på valet av en "huvudvariabel". Till exempel polynomet

$p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{ 2}+3x+5y-8$

är moniskt, om det betraktas som ett polynom i x med koefficienter som är polynom i y :

$p(x,y)=x^{2}+(2y^{2}+3)\,x+(-y^{2}+5y-8);$

men det är inte moniskt när det betraktas som ett polynom i y med koefficienter polynom i x :

$p(x,y)=(2x-1)\,y^{2}+5y+(x^{2}+3x-8).$

I samband med Gröbnerbaser är en monomiell ordning i allmänhet fast. I detta fall kan ett polynom sägas vara moniskt, om det har 1 som sin ledande koefficient (för monomordningen).

För varje definition är en produkt av polynom monisk om och endast om alla faktorer är moniska, och varje polynom är associerat med exakt ett moniskt polynom.

Citat

•   Fraleigh, John B. (2003). En första kurs i abstrakt algebra (7:e upplagan). Pearson utbildning . ISBN 9780201763904 .