Formel för exponentiell respons

I matematik är den exponentiella svarsformeln (ERF), även känd som exponentiell respons och komplex ersättning , en metod som används för att hitta en speciell lösning av en icke-homogen linjär vanlig differentialekvation av valfri ordning. Formeln för exponentiellt svar är tillämplig på icke-homogena linjära vanliga differentialekvationer med konstanta koefficienter om funktionen är polynom , sinusformad , exponentiell eller kombinationen av de tre. Den allmänna lösningen av en icke-homogen linjär vanlig differentialekvation är en överlagring av den allmänna lösningen av den associerade homogena ODE och en speciell lösning till den icke-homogena ODE. Alternativa metoder för att lösa vanliga differentialekvationer av högre ordning är metod för obestämda koefficienter och metod för variation av parametrar .

Sammanhang och metod

Tillämplighet

$f(t)=B_{1}e^{\gamma _{1}t}+B_{2}e^{\gamma _{2}t}+\cdots + B_{n}e^{\gamma _{n}t}$ -homogen differentialekvation är tillämplig om den icke-homogena ekvationen är eller skulle kunna transformeras till att bilda ; där $B,\gamma$ är reella eller komplexa tal och $f(t)$ är en homogen linjär differentialekvation av valfri ordning. Sedan kan den exponentiella svarsformeln tillämpas på varje term på höger sida av en sådan ekvation. På grund av linjäritet kan den exponentiella svarsformeln tillämpas så länge den högra sidan har termer, som läggs ihop av superpositionsprincipen .

Komplex ersättning

Komplex ersättning är en metod för att omvandla en icke-homogen ekvationsterm till en komplex exponentialfunktion, vilket gör en given differentialekvation till en komplex exponential.

Betrakta differentialekvationen $y''+y=\cos(t)$ .

För att göra komplex ersättning kan Eulers formel användas;

{\begin{aligned}\cos(t)&=\operatörsnamn {Re} (e^{it})=\operatörsnamn {Re} (\cos(t) +i\sin(t))\\\sin(t)&=\operatörsnamn {Im} (e^{it})=\operatörsnamn {Im} (\cos(t)+i\sin(t))\ end{aligned}}

Därför ändras given differentialekvation till $z''+z=e^{it}$ . Lösningen av den komplexa differentialekvationen kan hittas som $z(t)$ , från vilken den reella delen är lösningen av den ursprungliga ekvationen.

Komplex ersättning används för att lösa differentialekvationer när den icke-homogena termen uttrycks i termer av en sinusformad funktion eller en exponentialfunktion, som kan omvandlas till en komplex exponentialfunktionsdifferentiering och integration. En sådan komplex exponentialfunktion är lättare att manipulera än den ursprungliga funktionen.

När den icke-homogena termen uttrycks som en exponentiell funktion, kan ERF-metoden eller metoden med obestämda koefficienter användas för att hitta en viss lösning . Om icke-homogena termer inte kan omvandlas till komplexa exponentialfunktioner, kan Lagrangemetoden för variation av parametrar användas för att hitta lösningar.

Linjär tidsinvariant operator

Differentialekvationerna är viktiga för att simulera naturfenomen . I synnerhet finns det många fenomen som beskrivs som linjära differentialekvationer av hög ordning , till exempel fjädervibration, LRC-krets , strålavböjning , signalbehandling , styrteori och LTI-system med återkopplingsslingor.

Matematiskt är systemet tidsinvariant om närhelst ingången $f(t)$ har respons $x(t)$ då för varje konstant "a", ingången $f(ta)$ har svar $x(ta)$ . Fysiskt betyder tidsinvarians att systemets svar inte beror på vilken tid inmatningen börjar. Till exempel, om ett fjäder-massasystem är i jämvikt , kommer det att reagera på en given kraft på samma sätt, oavsett när kraften applicerades.

När det tidsinvarianta systemet också är linjärt kallas det ett linjärt tidsinvariant system (LTI-system). De flesta av dessa LTI-system är härledda från linjära differentialekvationer, där den icke-homogena termen kallas insignalen och lösningen av de icke-homogena ekvationerna kallas svarssignalen. Om insignalen ges exponentiellt ändras också motsvarande svarssignal exponentiellt.

Med tanke på följande ${\displaystyle n}:$ te ordningens linjära differentialekvation

a_{n} {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+ \cdots +a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{0}y=f(t)\qquad \qquad \quad (1)

och betecknar

L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{ n-1}+\cdots +a_{1}D^{1}+a_{0}I,

D^ {k}={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}(k=1,2,\ldots ,n),

där $a_{0},\ldots ,a_{n}$ är de konstanta koefficienterna, ger differentialoperator $L$ , som är linjär och tidsinvariant och känd som LTI operatör . Operatören $L$ erhålls från dess karakteristiska polynom ;

P(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n -1}+\cdots +a_{0}

genom att formellt ersätta det obestämda s här med differentieringsoperatorn $D$

L=P(D)

P(D)=a_{n }D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{0}I

Därför kan ekvationen (1) skrivas som

P(D)y=f(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)

Probleminställning och ERF-metod

Med tanke på LTI-differentialekvationen ovan, med exponentiell ingång ${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t}} ,$ där $B$ och $\gamma$ ges nummer. Då är en speciell lösning

$y_{p}={\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\qquad$

ange endast att $P(\gamma )\neq 0$ .

Bevis : På grund av lineariteten hos operatorn $P(D)$ , kan ekvationen skrivas som

P(D)(y_ {p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}} P(D)(e^{\gamma t})\qquad \qquad (3)

Å andra sidan, sedan

P(D)\left(e^{\gamma t}\right)=P(\gamma )e^{\gamma t },

genom att ersätta detta i ekvation (3), produceras

P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B }{P(\gamma )}}P(D)\left(e^{\gamma t}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(\gamma )e^{\ gamma t}=Be^{\gamma t}.

Därför är $y_{p}$ en speciell lösning på den icke-homogena differentialekvationen.

Således kallas ovanstående ekvation för ett visst svar $y_{p}$ exponentiell responsformel (ERF) för den givna exponentiella inmatningen.

I synnerhet i fallet med $P(\gamma )=0$ , ges en lösning till ekvation (2) av

y_{p}={\frac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}}, \qquad P'(\gamma )\neq 0

och kallas resonanssvarsformeln .

Exempel

Låt oss hitta den specifika lösningen på 2:a ordningens linjära icke-homogena ODE;

2x''+x'+x=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t).

Det karakteristiska polynomet är $P(s)=2s^{2}+s+1$ . Den icke-homogena termen, $f(t)=1+2e^{t}+e^{-t}\ cos(t)$ kan skrivas enligt följande

f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t),f_{1}(t)=1,f_{2}(t)= 2e^{t},f_{3}(t)=e^{-t}\cos(t).

Sedan, de specifika lösningarna som motsvarar $f_{1}(t),f_{2}(t)$ och $f_{3} (t)$ , hittas.

Först, med tanke på en icke-homogen term, $f_{1}(t)=1$ . I detta fall, eftersom $f_{1}(t)=1=e^{0\cdot t},\gamma =0$ och $P(\gamma )=P(0)=1\neq 0$ .

från ERF kan en speciell lösning som motsvarar $f_{1}(t)$ hittas.

x_{1p}={\frac {f_{1}(t)}{P(0)}}={\frac {1 }{1}}=1

.

På liknande sätt kan en speciell lösning hittas motsvarande $f_{2}(t)$ .

x_{2p}={\frac {f_{2}(t)}{P(1)}}={\frac {2e^{t}}{4}}={\frac {e^{ t}}{2}}.

Låt oss hitta en speciell lösning på DE som motsvarar 3:e termen;

2x''+x'+x=e^{-t}\cos(t).

För att göra detta måste ekvationen ersättas av ekvationen med komplexa värden, av vilken den är den verkliga delen:

2z''+z'+z=e^{(-1+i)t}.

Genom att tillämpa den exponentiella responsformeln (ERF), produceras

{\begin{aligned}z_{p}&={\frac {e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)}}\ \&={\frac {ie^{(-1+i)t}}{3}}&&P(-1+i)=2(-1+i)^{2}+(-1+i)+ 1=-3i\end{aligned}}

och den verkliga delen är

x_{3p}=-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).

är den specifika lösningen av den givna ekvationen, $x_{p}$

x_{p}=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+{\frac {e^{t}}{2}}-{\frac {1}{3}} e^{-t}\sin(t).

Jämförelse med metod för obestämda koefficienter

Metoden med obestämda koefficienter är en metod för att på lämpligt sätt välja en lösningstyp enligt formen av den icke-homogena termen och bestämma den obestämda konstanten, så att den uppfyller den icke-homogena ekvationen. Å andra sidan får ERF-metoden en speciallösning baserad på differentialoperatör. Likhet för båda metoderna är att speciallösningar av icke-homogena linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter erhålls, medan formen på ekvationen i beaktande är densamma i båda metoderna.

Till exempel, för att hitta en speciell lösning av $y''+y=e^{t}$ med metoden med obestämda koefficienter måste man lösa den karakteristiska ekvationen $\lambda ^{2}+1=0,\lambda =\pm i$ . Den icke-homogena termen $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ anses då och eftersom $\gamma =1$ inte är en karakteristisk rot , ger den en speciell lösning i form av $y_{p}(t)=Ae^ {\gamma t}$ , där $A$ är obestämd konstant. Substituering i ekvationen för att bestämma de preliminära konstantutbytena

\lambda ^{2}Ae^{\lambda t}+Ae^{\lambda t}=e^{\lambda t}

därför

A={\frac {1}{\lambda ^{2}+1}}.

Den specifika lösningen kan hittas i form:

y_{p}(t)=Ae^{\lambda t}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.

Å andra sidan kräver den exponentiella svarsformelmetoden att karakteristiskt polynom $P(s)=s^{2}+1$ ska hittas, varefter de icke-homogena termerna $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ är komplex ersatt. Den specifika lösningen hittas sedan med hjälp av formeln

y_{p}(t)={\frac {e^{\lambda t}}{P(\lambda )}}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2 }+1}}.

Generaliserad exponentiell responsformel

Den exponentiella svarsformelmetoden diskuterades i fallet $P(\gamma )\neq 0$ . I fallet med $P(\gamma )=0,P'(\gamma )\neq 0$ beaktas också resonanssvarsformeln .

I fallet med ${\displaystyle P(\gamma )=P'(\gamma )= \cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0,P^{k}(\gamma )\neq 0} ,$ vi kommer att diskutera hur ERF-metoden kommer att beskrivas i detta avsnitt.

Låt $P(D)$ vara en polynomoperator med konstanta koefficienter, och $P^{(m)}$ dess $m$ -te derivata. Sedan ODE

P(D)y=Be^{\gamma t}

, där

\gamma

är reell eller komplex.

har den specifika lösningen som följer.

$P(\gamma )\neq 0$ . I detta fall kommer en viss lösning att ges av $y_{p}(t)={\tfrac {Be^{\gamma t}}{P (\gamma )}}$ .( exponentsvarsformel )

$P(\gamma )=0$ men $P'(\gamma )\neq 0$ . I detta fall kommer en speciell lösning att ges av $y_{p}(t)={\tfrac {Bte^{\gamma t}} {P'(\gamma )}}$ .( resonanssvarsformel )

$P(\gamma )=P' (\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0$ men $P^{k}(\gamma )\neq 0$ . I det här fallet kommer en särskild lösning att ges av

$y_{p}(t)={\frac {Bt^{k}e^{ \gamma t}}{P^{(k)}(\gamma )}},k=2,\ldots ,m$

Ovanstående ekvation kallas generaliserad exponentiell svarsformel .

Exempel

För att hitta en speciell lösning av följande ODE;

y'''-3y'+2y=6e^{t}.

det karakteristiska polynomet är $P(s)=s^{3}-3s+2$ .

Genom beräkningen får vi följande:

P(1)=0,P'(1)=0,P''(1)=6\ neq 0.

Den ursprungliga exponentiella svarsformeln är inte tillämplig i detta fall på grund av division med noll. Därför, med hjälp av den generaliserade exponentiella svarsformeln och beräknade konstanter, är en speciell lösning

y_{p}(t)={\frac {6t^{2}e^{t}}{P''(1)}}={\frac {6t^{2}e^{t} }{6}}=t^{2}e^{t}.

Applikationsexempel

Rörelse av föremål som hänger från en fjäder

Objekt som hänger från en fjäder med förskjutning $d$ . Den kraft som verkar är gravitation, fjäderkraft, luftmotstånd och alla andra yttre krafter.

Från Hookes lag uttrycks objektets rörelseekvation enligt följande;

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=F(t),

där $F(t)$ är yttre kraft.

Om man nu antar att draget försummas och ${\displaystyle F(t)=F_{0}\cos(\omega t)} ,$ där $\omega ={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}$ (den yttre kraftfrekvensen sammanfaller med egenfrekvensen). Därför uttrycks den harmoniska oscillatorn med sinusformad tvingande term som följande:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F(t).

Då är en speciell lösning

x_{p}={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).

Tillämpa komplex ersättning och ERF: om $z_{p}$ är en lösning på det komplexa DE

m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+kz=F_{0}e^{ i\omega t},

då kommer $x_{p}=\operatörsnamn {Re} (z_{p})$ att vara en lösning på det givna DE.

Det karakteristiska polynomet är ${\displaystyle P(s)=ms^{2}+k} ,$ och $\gamma =i\omega$ , så att $P(\gamma )=0$ . Men eftersom $P'(s)=2ms$ , då $P'(\ gamma )=P'(i\omega )=2m\omega i\neq 0$ . Således ger resonansfallet av ERF

{\begin{aligned}y_{p}&=\operatörsnamn {Re} \left({\frac {F_{0}te^{i\omega t}}{P'(\gamma )}}\ höger)\\[4pt]&=\operatörsnamn {Re} \left({\frac {F_{0}t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega } }\right)\\[4pt]&=\operatörsnamn {Re} \left({\frac {-F_{0}t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t))}{2m \omega }}\right)\\[4pt]&={\frac {F_{0}t\sin(\omega t)}{2m\omega }}\\[4pt]&={\frac {F_{ 0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).\end{aligned}}

Elektriska kretsar

Med tanke på den elektriska ström som flyter genom en elektrisk krets, bestående av ett motstånd ( $R$ ), en kondensator ( $C$ ), en spole ledningar ( $L$ ) och ett batteri ( $E$ ), seriekopplad.

Detta system beskrivs av en integral-differentialekvation hittad av Kirchhoff kallad Kirchhoffs spänningslag , som relaterar motståndet $R$ , kondensatorn $C$ , induktorn $L$ , batteri $E$ , och strömmen $I$ i en krets enligt följande,

LI'(t)+RI(t)+{\ frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t}I(s)\,ds=\int _{t_{0}}^{t}E(s)\,ds

Att differentiera båda sidorna av ovanstående ekvation ger följande ODE.

LI''(t)+RI'(t)+{\frac {1}{C} }I(t)=E(t)

Antag nu $E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)$ , där $\ omega _{0}={\sqrt {\tfrac {1}{LC}}}$ . ( $\omega _{0}$ kallas resonansfrekvens i LRC-krets ). Under ovanstående antagande kan utsignalen (särskild lösning) som motsvarar ingången $E(t)$ hittas. För att göra det kan given input konverteras i komplex form:

E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)=\operatörsnamn {Im } (E_{0}e^{i\omega _{0}t})

Det karakteristiska polynomet är ${\displaystyle P(s)=Ls^{2}+Rs+{\frac {1}{s}}} ,$ där $P(i\omega _{0})=i\omega _{0}R\neq 0$ . Därför, från ERF, kan en speciell lösning erhållas enligt följande;

{\begin{aligned}I_{p}&=\operatörsnamn {Im} \left({\frac {E_{0}e^{ i\omega _{0}t}}{P(i\omega _{0})}}\right)\\&=\operatörsnamn {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i \omega _{0}t}}{i\omega _{0}R}}\right)\\&=\operatörsnamn {Im} \left({\frac {-E_{0}(i\cos(\ omega _{0}t)-\sin(\omega _{0}t))}{\omega _{0}R}}\right)\\[4pt]&={\frac {-E_{0} \cos(\omega _{0}t)}{\omega _{0}R}}\end{aligned}}

Komplex förstärkning och fasfördröjning

Med tanke på det allmänna LTI-systemet

P(D)x=Q(D)f(t)

där $f(t)$ är indata och $P(D),Q(D)$ är givna polynomoperatorer, samtidigt som man antar att $P(s)\neq 0$ . I det fall att ${\displaystyle f(r)=F_{0}\cos(\omega t)} , är$ en speciell lösning till given ekvation

x_{p}(t)=\operatörsnamn {Re} \left(F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t }\höger).

Med tanke på följande begrepp som främst används inom fysik och signalbehandling.

Ingångens amplitud är $F_{0}$ . Denna har samma enheter som ingångsmängden.
Vinkelfrekvensen för ingången är $\omega$ . Den har enheter för radianer/tid. Ofta kommer det att kallas det som frekvens, även om frekvensen tekniskt sett borde ha enheter av cykler/tid.
Svarets amplitud är $A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|$ . Denna har samma enheter som svarskvantiteten.
Förstärkningen är $g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|$ . Förstärkningen är den faktor som ingångsamplituden multipliceras med för att få amplituden på svaret. Den har de enheter som behövs för att konvertera indataenheter till utdataenheter.
Fasfördröjningen är $\phi =-\operatörsnamn {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))$ . Fasfördröjningen har enheter av radianer, dvs den är dimensionslös.
Tidsfördröjningen är $\phi /\omega$ . Detta har tidsenheter. Det är den tid då toppen av utsignalen släpar efter den för ingången.
Den komplexa förstärkningen är $Q(i\omega )/P(i\omega )$ . Detta är den faktor som den komplexa ingången multipliceras med för att få den komplexa utmatningen.

externa länkar