Holonomisk funktion

Ytterligare information: P-rekursiv ekvation

Inom matematik , och mer specifikt inom analys , är en holonomisk funktion en jämn funktion av flera variabler som är en lösning av ett system av linjära homogena differentialekvationer med polynomkoefficienter och som uppfyller ett lämpligt dimensionsvillkor i termer av D-modulteorin . Mer exakt är en holonomisk funktion ett element i en holonomisk modul av smidiga funktioner. Holonomiska funktioner kan också beskrivas som differentiably finita funktioner , även kända som D-finita funktioner . När en potensserie i variablerna är Taylor-expansionen av en holonomisk funktion, kallas sekvensen av dess koefficienter, i ett eller flera index, även holonomisk . Holonomiska sekvenser kallas också P-rekursiva sekvenser : de definieras rekursivt av multivariata återfall som tillfredsställs av hela sekvensen och av lämpliga specialiseringar av den. Situationen förenklas i det univariata fallet: varje univariat sekvens som uppfyller en linjär homogen återfallsrelation med polynomkoefficienter, eller motsvarande en linjär homogen differensekvation med polynomkoefficienter, är holonomisk.

Holonomiska funktioner och sekvenser i en variabel

Definitioner

Låt $\mathbb {K}$ vara ett fält med karakteristik 0 (till exempel $\mathbb {K} =\mathbb {Q}$ eller $\mathbb {K } =\mathbb {C}$ ).

En funktion $f=f(x)$ kallas D-finit (eller holonomisk ) om det finns polynom $0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x ]$ så att

$a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{ 1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0$

håller för alla x . Detta kan också skrivas som $Af=0$ där

$A=\summa _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}$

och $D_{x}$ är differentialoperatorn som mappar $f(x)$ till $f'(x)$ . $A$ kallas en annihilerande operator av f (de annihilerande operatorerna för $f$ bildar ett ideal i ringen $\mathbb {K} [x][ D_{x}]$ , kallad förintaren av ${\displaystyle f} )$ . Kvantiteten r kallas den utplånande operatörens ordning . I förlängningen sägs den holonomiska funktionen f vara av ordning r när en utplånande operatör av sådan ordning existerar.

En sekvens $c=c_{0},c_{1},\ldots$ kallas P-rekursiv (eller holonomisk ) om det finns polynom $a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \ mathbb {K} [n]$ så att

$a_{r}(n)c_{n+r}+ a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0$

håller för alla n . Detta kan också skrivas som $Ac=0$ där

$A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}$

och $S_{n}}$ displaystyle skiftoperatorn som mappar $c_{0},c_{1},\ldots$ till $c_ {1},c_{2},\ldots$ . $A$ kallas en annihilerande operator av c (de annihilerande operatorerna för $c$ bildar ett ideal i ringen $\mathbb {K} [n][ S_{n}]$ , kallad annihilator av $c$ ). Kvantiteten r kallas den utplånande operatörens ordning . I förlängningen sägs den holonomiska sekvensen c vara av ordningen r när en utplånande operatör av sådan ordning existerar.

Holonomiska funktioner är just de genererande funktionerna för holonomiska sekvenser: om $f(x)$ är holonomisk, då koefficienterna $c_{n}$ i potensseriens expansion

$f(x)=\summa _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

bilda en holonomisk sekvens. Omvänt, för en given holonomisk sekvens $c_{n}$ , är funktionen som definieras av summan ovan holonomisk (detta är sant i betydelsen formell potensserie, även om summan har en konvergensradie noll ) .

Stängningsegenskaper

Holonomiska funktioner (eller sekvenser) uppfyller flera stängningsegenskaper . I synnerhet bildar holonomiska funktioner (eller sekvenser) en ring . De är dock inte stängda under delning och bildar därför inte ett fält .

Om $f(x)=\summa _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}$ och $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}$ är holonomiska funktioner, då är följande funktioner också holonomisk:

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)} ,$ där $\alpha$ och ${ \displaystyle \beta }$ är konstanter
• $h(x)=f(x)g(x)$ ( Cauchy-produkten av sekvenserna)
• $h(x)=\summa _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}$ (Hadamard-produkten av sekvenserna)
• $h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt$
• $h(x)=\summa _{n=0}^{\infty }(\summa _{k=0}^ {n}f_{k})x^{n}$
• $h(x)=f(a(x))$ , där $a(x)$ är valfri algebraisk funktion . Men $a(f(x))$ är i allmänhet inte holonomisk.

En avgörande egenskap hos holonomiska funktioner är att stängningsegenskaperna är effektiva: givna annihilerande operatorer för $f$ och $g$ , en annihilerande operator för $h$ enligt definitionen med någon av ovanstående operationer kan beräknas explicit.

Exempel på holonomiska funktioner och sekvenser

Exempel på holonomiska funktioner inkluderar:

• alla algebraiska funktioner , inklusive polynom och rationella funktioner
• sinus- och cosinusfunktionerna (men inte tangent, cotangens, sekant eller cosekant)
• de hyperboliska sinus- och cosinusfunktionerna (men inte hyperbolisk tangens, cotangens, sekant eller cosekant)
• exponentialfunktioner och logaritmer (till valfri bas)
• den generaliserade hypergeometriska funktionen ${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{ p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)$ , betraktad som en funktion av $x$ med alla parametrar $a_{i}$ , ${\ displaystyle b_{i}}$ höll fast
• felfunktionen ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)$ }
• Bessel -funktionerna $J_{n}(x)$ , $Y_{n}(x)$ , $I_{n}( x)$ , $K_{n}(x)$
• de luftiga funktionerna $\operatorname {Ai} (x)$ , $\operatorname {Bi} (x)$

Klassen av holonomiska funktioner är en strikt superuppsättning av klassen av hypergeometriska funktioner. Exempel på specialfunktioner som är holonomiska men inte hypergeometriska inkluderar Heun-funktionerna .

Exempel på holonomiska sekvenser inkluderar:

• sekvensen av Fibonacci-tal $F_{n}$ , och mer allmänt, alla konstant-rekursiva sekvenser
• sekvensen av faktorialer $n!$
• sekvensen av binomialkoefficienter ${n \choose k}$ (som funktioner av antingen n eller k )
• sekvensen av övertonstal $H_{n}=\summa _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ och mer allmänt $H_{n,m}=\summa _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}$ för vilket heltal som helst m
• sekvensen av katalanska siffror
• sekvensen av Motzkin-tal .
• sekvensen av störningar .

Hypergeometriska funktioner, Bessel-funktioner och klassiska ortogonala polynom , förutom att vara holonomiska funktioner av deras variabel, är också holonomiska sekvenser med avseende på deras parametrar. Till exempel uppfyller Bessel-funktionerna $J_{n}$ och $Y_{n}$ den andra ordningens linjära återkomsten $x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}$ .

Exempel på icke-holonomiska funktioner och sekvenser

Exempel på icke-holonomiska funktioner inkluderar:

• funktionen ${\frac {x}{e^{x}-1}}$
• funktionen tan( x ) + sek( x )
• kvoten av två holonomiska funktioner är i allmänhet inte holonomisk.

Exempel på icke-holonomiska sekvenser inkluderar:

• Bernoullisiffrorna _
• antalet alternerande permutationer
• antalet heltalspartitioner
• siffrorna $\log(n)$
• talen $n^{\alpha }$ där $\alpha \not \in \mathbb {Z}$
• primtalen _
• uppräkningarna av irreducerbara och sammankopplade permutationer .

Algoritmer och mjukvara

Holonomiska funktioner är ett kraftfullt verktyg i datoralgebra . En holonomisk funktion eller sekvens kan representeras av en ändlig mängd data, nämligen en utplånande operator och en ändlig uppsättning initiala värden, och stängningsegenskaperna tillåter utförande av operationer såsom likhetstester, summering och integration på ett algoritmiskt sätt. Under de senaste åren har dessa tekniker gjort det möjligt att ge automatiserade bevis för ett stort antal specialfunktioner och kombinatoriska identiteter.

Dessutom finns det snabba algoritmer för att utvärdera holonomiska funktioner till godtycklig precision vid vilken punkt som helst i det komplexa planet, och för att numeriskt beräkna vilken post som helst i en holonomisk sekvens.

Programvara för att arbeta med holonomiska funktioner inkluderar:

• HolonomicFunctions [1] -paketet för Mathematica , utvecklat av Christoph Koutschan , som stöder beräkningsstängningsegenskaper och bevis på identiteter för univariata och multivariata holonomiska funktioner
• algolib [2] för Maple , som inkluderar följande paket:
  • gfun , utvecklad av Bruno Salvy, Paul Zimmermann och Eithne Murray, för univariata stängningsegenskaper och bevisning [ 3]
  • mgfun , utvecklad av Frédéric Chyzak, för multivariata stängningsegenskaper och bevisning [4]
  • numgfun , utvecklad av Marc Mezzarobba, för numerisk utvärdering

Se även

Dynamic Dictionary of Mathematical Functions , en onlineprogramvara, baserad på holonomiska funktioner för att automatiskt studera många klassiska och specialfunktioner (utvärdering vid en punkt, Taylor-serier och asymptotisk expansion till valfri användargiven precision, differentialekvationer, återfall för Taylor-koefficienterna serie, derivata, obestämd integral, plottning, ...)

Anteckningar

•   Flajolet, Philippe; Gerhold, Stefan; Salvy, Bruno (2005), "On the non-holonomic character of logarithms, powers, and the n-th prime function", Electronic Journal of Combinatorics , 11 (2), doi : 10.37236/1894 , S2CID 184136 .

•   Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytisk kombinatorik . Cambridge University Press. ISBN 978-0521898065 .

•   Kauers, Manuel; Paule, Peter (2011). Den konkreta tetraedern: symboliska summor, återkommande ekvationer, genererande funktioner, asymptotiska uppskattningar . Text och monografier i symbolisk beräkning. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6 .

• Klazar, Martin (2003). "Oreducerbara och sammankopplade permutationer" (PDF) (122). {{ citera tidskrift }} : Citera tidskrift kräver |journal= ( hjälp ) (ITI Series preprint)

• Mallinger, Christian (1996). Algoritmiska manipulationer och transformationer av univariata holonomiska funktioner och sekvenser ( PDF) (avhandling) . Hämtad 4 juni 2013 .

•   Stanley, Richard P. (1999). Enumerativ kombinatorik . Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56069-6 .

•    Zeilberger, Doron (1990). "A holonomic systems approach to special functions identitys" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 32 (3): 321–368. doi : 10.1016/0377-0427(90)90042-X . ISSN 0377-0427 . MR 1090884 .