Tunnfilmsekvation

Inom vätskemekanik är tunnfilmsekvationen en partiell differentialekvation som ungefär förutsäger tidsutvecklingen av tjockleken h av en vätskefilm som ligger på en yta. Ekvationen härleds via smörjteori som bygger på antagandet att längdskalorna i ytriktningarna är betydligt större än i riktningen vinkelrät mot ytan. I den icke-dimensionella formen av Navier-Stokes ekvation är kravet att ordningstermer ε ² och ε ² Re är försumbara, där ε ≪ 1 är bildförhållandet och Re är Reynolds-talet . Detta förenklar de styrande ekvationerna avsevärt. Emellertid är smörjteori, som namnet antyder, typiskt härledd för flöde mellan två fasta ytor, varför vätskan bildar ett smörjande lager. Tunnfilmsekvationen gäller när det finns en enda fri yta . Med två fria ytor måste flödet behandlas som ett trögflytande ark.

Definition

Den grundläggande formen för en 2-dimensionell tunnfilmsekvation är

${\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {Q}$

där vätskeflödet $\mathbf {Q}$ är

$\mathbf {Q} ={\frac {h^ {3}}{3\mu }}\left[\nabla \right(\gamma \nabla ^{2}h+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{n} } )+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ]+{\frac {h^{2}}{2\mu }}\mathbf {A}$ ,

och μ är vätskans viskositet (eller dynamiska viskositet), h ( x , y , t ) är filmtjocklek, γ är gränsytspänningen mellan vätskan och gasfasen ovanför den, $\rho$ är vätskedensitet och $\displaystyle \mathbf {A} }$ { ytskjuvningen. Ytskjuvningen kan orsakas av flödet av den överliggande gasen eller ytspänningsgradienter. Vektorerna $\mathbf {{\hat {e}}_{i}}$ representerar enhetsvektorn i ytkoordinatriktningarna, där punktprodukten tjänar till att identifiera gravitationskomponenten i varje riktning. Vektorn $\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$ är enhetsvektorn vinkelrät mot ytan.

En generaliserad tunnfilmsekvation diskuteras i

${\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\ mu }}\nabla \cdot \left(h^{n}\,\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h\right)\right)$ .

När $n<3$ kan detta representera flöde med glidning vid den fasta ytan hela $n=1$ beskriver tjockleken på en tunn brygga mellan två vätskemassor i en Hele-Shaw cell . Värdet $n=3$ representerar ytspänningsdrivet flöde.

En form som ofta undersöks med avseende på bristning av tunna vätskefilmer innebär tillägg av ett lösgörande tryck Π( h ) i ekvationen, som i

${\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac { 1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{3}\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h-\Pi (h)\right)\right)$

där funktionen Π( h ) vanligtvis är mycket liten i värde för medelstora filmtjocklekar h och växer mycket snabbt när h går väldigt nära noll.

Egenskaper

Fysiska tillämpningar, egenskaper och lösningsbeteende för tunnfilmsekvationen granskas i. Med inkluderandet av fasförändring vid substratet härleds en form av tunnfilmsekvation för en godtycklig yta. En detaljerad studie av det stadiga flödet av en tunn film nära en rörlig kontaktlinje ges in. För ett flytspänningsflöde undersöks vätskeflöde driven av gravitation och ytspänning i.

För rent ytspänningsdrivet flöde är det lätt att se att en statisk (tidsoberoende) lösning är en rotationsparaboloid

$h(x,y)=AB(x^{2}+y^{2})\,$

och detta stämmer överens med den experimentellt observerade sfäriska lockformen av en statisk fastsittande droppe , eftersom en "platt" sfärisk hatt som har liten höjd exakt kan approximeras i andra ordningen med en paraboloid. Detta hanterar dock inte droppens omkrets korrekt där värdet på funktionen h ( x , y ) sjunker till noll och under, eftersom en verklig fysisk vätskefilm inte kan ha en negativ tjocklek. Detta är en anledning till att den disjunkande trycktermen Π( h ) är viktig i teorin.

En möjlig realistisk form av den disjunkande trycktermen är

$\Pi (h)=B\left[\left({\frac {h_{*}}{h}} \right)^{n}-\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{m}\right]$

där B , h _* , m och n är några parametrar. Dessa konstanter och ytspänningen $\gamma$ kan ungefär relateras till jämviktsvinkeln vätske-fasta ämnen $\theta _{e}$ genom ekvationen

$B\approx {\frac {(m-1)(n-1)}{ h_{*}(nm)}}\gamma (1-\cos \theta _{e})$ .

Tunnfilmsekvationen kan användas för att simulera flera beteenden hos vätskor, såsom fingersättningsinstabiliteten i gravitationsdrivet flöde.

Avsaknaden av en andra ordningens tidsderivata i tunnfilmsekvationen är ett resultat av antagandet om ett litet Reynolds tal i dess härledning, vilket tillåter ignorering av tröghetstermer beroende på vätskedensitet ρ {\displaystyle \ $}$ . Detta är något liknande situationen med Washburns ekvation , som beskriver det kapillärdrivna flödet av en vätska i ett tunt rör.

Se även

• Partiell differentialekvation
• Smörjteori
• Skiftande tryck

externa länkar

• Viskösa tunna filmer - Max Planck Institute